专题06 平方根、立方根、实数-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（苏科版）

专题06 平方根、立方根、实数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（11大题型） 目录 题型一 平方根、算术平方根、立方根 1 题型二 非负数的性质:算术平方根 2 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 3 题型四 平方根与立方根综合 5 题型五 实数和实数的性质 7 题型六 实数与数轴 8 题型七 实数大小比较 9 题型八 实数的运算 10 题型九 程序设计与实数运算 12 题型十 新定义下的实数运算 15 题型十一 与实数运算相关的规律题 16 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 平方根、算术平方根、立方根 例题：（24-25八年级上·全国·期末）1的平方根 ；1的算术平方根 ；1的立方根 ； 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 题型二 非负数的性质:算术平方根 例题：（23-24八年级下·广东江门·期末）已知x、y为实数，且，则 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值是 ． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 例题：（23-24七年级下·广西钦州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）解方程． (1) (2) 2．（24-25八年级上·全国·期末）求下列式子中未知数的值． (1)； (2)． 题型四 平方根与立方根综合 例题：（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，的平方根是，是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是． (1)求a，b的值： (2)求的算术平方根和立方根． 2．（23-24七年级下·重庆秀山·期末）已知的平方根是的立方根是是的整数部分． (1)直接写出的值； (2)若是的小数部分，求的算术平方根． 题型五 实数和实数的性质 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）的相反数是 ． 2．（22-23七年级下·北京丰台·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 题型六 实数与数轴 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 ．（只填一个） 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 题型七 实数大小比较 例题：（24-25八年级上·全国·期末）比较大小：6 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）比较大小： ． 题型八 实数的运算 例题：（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 2．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 题型九 程序设计与实数运算 例题：（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 2．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 题型十 新定义下的实数运算 例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 2．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 题型十一 与实数运算相关的规律题 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 一、单选题 1．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）的立方根是（   ） A． B．4 C．16 D． 2．（23-24七年级下·吉林松原·期末）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．的平方根是 C．64的立方根是 D．9的算术平方根是 4．（23-24八年级上·四川眉山·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．正确的有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②③④ 5．（22-23七年级下·全国·期末）如图，数轴上点A、B、C、D分别表示有理数、、0、2，则表示数的点P应落在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段的延长线上 二、填空题 6．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． 7．（24-25七年级上·全国·期末）若，则的平方根为 ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 9．（23-24七年级下·重庆开州·期末）有一个数值转换器，流程如图： 当输入x的值为81时，输出y的值是 ． 10．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）对于任意两个不相等的实数、，定义一种新运算“”如下：，如：．那么 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·期末）计算 (1)； (2) 12．（23-24七年级上·山东滨州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 14．（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 15．（24-25七年级上·全国·期末）已知在两个连续的自然数a和之间，是b的一个平方根． (1)求a，b的值； (2)比较的算术平方根与的大小． 16．（24-25八年级上·全国·期末）阅读下列材料： 已知求a、b的值． 解：，，且， ，， ，， 根据上述材料回答问题： 已知 的三边a、b、c满足，，判断 的形状，并说明理由． 17．（23-24八年级下·广东江门·期末）若一个含根号的式子可以写成的平方（其中，，，都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根．例如：因为，所以是的完美平方根． (1)已知是的完美平方根，求a的值； (2)若是的完美平方根，用含，的式子表示，． (3)已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根． 18．（23-24八年级上·广东清远·期末）如图，已知（为正整数），认真观察图形，根据你发现的规律解决下列问题． (1)已知，则，同理可得，… 填空：______；______． (2)填空：______． (3)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平方根、立方根、实数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（11大题型） 目录 题型一 平方根、算术平方根、立方根 1 题型二 非负数的性质:算术平方根 2 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 3 题型四 平方根与立方根综合 5 题型五 实数和实数的性质 7 题型六 实数与数轴 8 题型七 实数大小比较 9 题型八 实数的运算 10 题型九 程序设计与实数运算 12 题型十 新定义下的实数运算 15 题型十一 与实数运算相关的规律题 16 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 平方根、算术平方根、立方根 例题：（24-25八年级上·全国·期末）1的平方根 ；1的算术平方根 ；1的立方根 ； 【答案】 1 1 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了求平方根和立方根，根据平方根、算术平方根和立方根的意义，逐个计算即可． 【详解】解：1的平方根是，1的算术平方根是1，1的立方根是1， 故答案为：，1，1． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关定义是解题的关键． 本题根据立方根和平方根的定义可知，的平方根是，的立方根是，由此就求出． 【详解】解：，的平方根是； 的立方根是； 故答案为：； 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【答案】 3 2 / 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，绝对值化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据运算法则逐题计算即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 故答案为：（1）3；（2）2；（3）；（4）． 题型二 非负数的性质:算术平方根 例题：（23-24八年级下·广东江门·期末）已知x、y为实数，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了平方的非负性、算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算，即可求解；理解平方与算术平方根的非负性是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）若实数，满足，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据非负数的性质可得，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】； 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 例题：（23-24七年级下·广西钦州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查利用平方根与立方根解方程， （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可； 理解和掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）解方程． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了根据求平方根和求立方根的方法解方程，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）先把方程两边同时除以2，再根据求平方根的方法解方程即可； （2）先把方程两边同时减去27，然后再根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或； （2）解：， ， ∴ 2．（24-25八年级上·全国·期末）求下列式子中未知数的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用立方根，平方根解方程，熟练掌握立方根，平方根的定义是解题的关键； （1）等式两边同除以，可得，再利用平方根解方程即可； （2）等式两边同除以2，可得，再利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 或； （2）解：， ， ， ． 题型四 平方根与立方根综合 例题：（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，的平方根是，是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出，，的值，进而得出代数式的值，根据算术平方根 （2）先求出a，b，c的值，再利用立方根的定义求出答案． 【详解】（1）解：， ， 解得， 的平方根是， ， 解得， ， 的整数部分． 把，，代入得， 原式， 的算术平方根是4， 的算术平方根为4； （2）解：由（1）知：，，， ∴． 的立方根是， 的立方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根及估算无理数的大小等知识点，能够理解和明确已知中相关概念及其性质是解答问题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是． (1)求a，b的值： (2)求的算术平方根和立方根． 【答案】(1)， (2)8，4 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程． （1）根据平方根的定义、立方根的定义列出方程进行解答便可； （2）根据算术平方根、立方根的定义进行计算便可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和的立方根是 ∴，， ∴，； （2）解：当，时，， ∴的算术平方根为，立方根为． 2．（23-24七年级下·重庆秀山·期末）已知的平方根是的立方根是是的整数部分． (1)直接写出的值； (2)若是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，平方根和立方根的概念，求一个数的算术平方根： （1）根据平方根和立方根的概念即可求出a、b的值，估算出，即可求出c的值； （2）根据（1）所求得到，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是的立方根是 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为2，即； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为2． 题型五 实数和实数的性质 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末） ， ． 【答案】 【知识点】实数的性质、化简绝对值 【分析】本题考查了绝对值的概念与性质，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：，， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·天津滨海新·期末）的相反数是 ． 【答案】/ 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 2．（22-23七年级下·北京丰台·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】利用相反数概念和绝对值的性质可得答案． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了相反数和绝对值，关键是掌握正有理数的绝对值是它本身；负有理数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 题型六 实数与数轴 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）若点A在数轴上的位置如图所示，则点A在数轴上表示的无理数可能是 ．（只填一个） 【答案】(答案不唯一) 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴；根据数轴可以得到的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：设点A在数轴上表示的数为， 由数轴可得，， ∵ 故答案为：(答案不唯一)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，首先分别求出点A，B，C，D在数轴上所对应的数的范围，然后根据算术平方根的意义求出即，据此即可得出答案，解答此题的关键是熟练掌握数轴上的点所表示的实数，准确估算出 的范围． 【详解】设点A，B，C，D在数轴上对应的分别是，，，， 则，，，， ∵， ∴， 即：， ∴实数对应的可能是点D， 故答案为：D． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴和实数，首先求出正方形的对角线的长为，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵在数轴上以单位长度为边长画一个正方形， ∴对角线的长为， ∴以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 故答案为：． 题型七 实数大小比较 例题：（24-25八年级上·全国·期末）比较大小：6 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．根据实数的运算及不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）比较大小： ． 【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．作差法判断即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 题型八 实数的运算 例题：（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、化简绝对值 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减； （2）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2)2 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题的关键 （1）依次算乘方、算术平方根和立方根，再算除法，最后算加减； （2）依次算算术平方根、乘方、立方根，再算加减． 【详解】（1） （2） 2．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)8 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2） 题型九 程序设计与实数运算 例题：（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【知识点】相反数的定义、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、程序设计与实数运算 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)0，1 (3)， 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、程序设计与实数运算 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是， ∴，都满足要求． 【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． 2．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3)或． 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意，或 综上所述，或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 题型十 新定义下的实数运算 例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【答案】23 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，掌握已知新运算法则是解题关键．根据已知新运算，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：23． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的关键． 根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 2．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型十一 与实数运算相关的规律题 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）观察下列等式： ①；②；③ (1)类比上述等式，写出第④个等式： (2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第④个等式为； （2）由题意知，第个等式为，证明左式右式即可． 【详解】（1）解：由题意知，第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 证明：左式， 右式， 左式右式，等式成立． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 一、单选题 1．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）的立方根是（   ） A． B．4 C．16 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据题意可得，再根据立方根的性质，即可求解． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 2．（23-24七年级下·吉林松原·期末）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的定义，解题的关键在掌握算术平方根和平方根的区别和联系． 【详解】解：A. ，计算正确，不符合题意； B. ，计算正确，不符合题意； C. ，计算错误，符合题意； D. ，计算正确，不符合题意； 故选C． 3．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．的平方根是 C．64的立方根是 D．9的算术平方根是 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根是解决本题的关键．根据算术平方根、立方根、平方根解决此题． 【详解】解：A．根据平方根的定义，是5的一个平方根，本选项正确，故A符合题意． B．根据平方根的定义，没有平方根，本选项错误，故B不符合题意． C．根据立方根的定义，64的立方根是4，本选项错误，故C不符合题意． D．根据算术平方根的定义，9的算术平方根是3，本选项错误，故D不符合题意． 故选：A． 4．（23-24八年级上·四川眉山·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．正确的有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②③④ 【答案】D 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知一个数的平方根，求这个数、实数的大小比较、实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数与数轴，平方根的定义，无理数的估算，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数；用夹逼法估算无理数的方法；以及一个正数有两个平方根，它们互为相反数．根据实数与数轴，平方根的定义，无理数的估算，逐个进行判断即可． 【详解】解：①实数与数轴一一对应，则数轴上有点能表示这个无理数，故①说法不正确； ②∵，∴， ∴，故②说法正确； ③∵， ∴， ∴，则，故③说法正确； ④∵和是m的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴，故④说法正确； 综上：正确的有②③④， 故选：D． 5．（22-23七年级下·全国·期末）如图，数轴上点A、B、C、D分别表示有理数、、0、2，则表示数的点P应落在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段的延长线上 【答案】B 【知识点】不等式的性质、实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，不等式的性质，掌握相关知识点是解题关键．先估算出，再结合不等式的性质，得出，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， 表示数的点P应落在线段上， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握无理数的估算方法是解题的关键．由得到，即可求解． 【详解】∵ ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·期末）若，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、已知式子的值，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据非负数的性质可列出关于x、y的一元一次方程，解出x、y，代入中，求出其平方根即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴4的平方根为 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，解一元一次方程以及代数式求值和求一个数的平方根．根据非负数的性质列出关于x、y的一元一次方程是解答本题的关键． 8．（24-25八年级上·全国·期末）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算的取值范围，进而可求的取值范围，从而可求a，进而求b，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·重庆开州·期末）有一个数值转换器，流程如图： 当输入x的值为81时，输出y的值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了求算术平方根、无理数，根据算术平方根并结合无理数计算即可得解． 【详解】解：当输入x的值为81时，，不是无理数， ，不是无理数， 是无理数，故输出y的值是， 故答案为：． 10．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）对于任意两个不相等的实数、，定义一种新运算“”如下：，如：．那么 ． 【答案】/ 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】主要考查了新定义的实数的运算．根据新定义的运算法则得出． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1)7 (2)3 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据算术平方根、零指数幂、负指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）先根据绝对值、算术平方根、有理数的乘法的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， 12．（23-24七年级上·山东滨州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． 注意两者的区别：一个正数的平方根有两个，且互为相反数，一个正数的立方根是正数，，0的平方根和立方根都是0，负数没有平方根，但有一个立方根． （1）把常数项移项，可利用平方根的定义求x； （2）方程的两边都乘以2，利用立方根的定义求解x． 【详解】（1）解： ， ； 即或； （2）解： ． 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、求代数式的值．解决本题的关键是根据平方根的定义、立方根的定义求出、的值，然后再把、的值代入代数式中求值． （1）根据平方根的定义和立方根的定义可得和，解方程分别求出、的值； （2）把（1）中求出的、的值代入代数式计算出结果，然后再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：（1）的平方根是， ， 解得：， 又的立方根为， ， 解得：， 答：，； （2）解：当，时， ， 的算术平方根为． 14．（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由算术平方根的定义得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 解得， 的立方根为4， ， ， 解得， ，． （2）解：，， ， 的平方根是． 15．（24-25七年级上·全国·期末）已知在两个连续的自然数a和之间，是b的一个平方根． (1)求a，b的值； (2)比较的算术平方根与的大小． 【答案】(1)， (2)的算术平方根 【知识点】求一个数的平方根、平方根概念理解、无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】本题考查估算无理数，平方根，实数的大小比较，能估算无理数的大小是解题的关键． （1）根据无理数估算法估计出，即可求出a，由平方根的定义求得b的值即可； （2）把（1）中a、b值代入，再求出其算术平方根，然后用“夹逼法”比较即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵在两个连续的自然数a和之间， ∴， ∵是b的一个平方根， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴的算术平方根为， ∵，， ∴， 即的算术平方根． 16．（24-25八年级上·全国·期末）阅读下列材料： 已知求a、b的值． 解：，，且， ，， ，， 根据上述材料回答问题： 已知 的三边a、b、c满足，，判断 的形状，并说明理由． 【答案】是等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】等腰三角形的定义、完全平方公式分解因式、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式，非负性，等腰三角形的判定，解题的关键是综合运用以上知识解决问题；先把原等式整理为，再利用完全平方公式得到，根据题意可求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定，即可判断三角形的形状． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 17．（23-24八年级下·广东江门·期末）若一个含根号的式子可以写成的平方（其中，，，都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根．例如：因为，所以是的完美平方根． (1)已知是的完美平方根，求a的值； (2)若是的完美平方根，用含，的式子表示，． (3)已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、列代数式、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义“完美根式”与“完美平方根”，正确理解新定义是解题关键． （1）根据完美平方根的定义，即可获得答案； （2）根据完美平方根的定义，即可获得答案； （3）根据完美根式的定义，可得，进而可得，，确定合理的，的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是的完美平方根， ∴， ∴； （2）∵是的完美平方根， ∴， ∴，； （3）∵为完美根式， ∴， ∴，， ∴可取，， ∵均为整数， ∴，或，， ∴的一个完美平方根是． 18．（23-24八年级上·广东清远·期末）如图，已知（为正整数），认真观察图形，根据你发现的规律解决下列问题． (1)已知，则，同理可得，… 填空：______；______． (2)填空：______． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、用勾股定理解三角形、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了图形类变化规律、勾股定理、实数的混合运算，得出规律是解此题的关键． （1）根据勾股定理，结合图形计算即可得出答案； （2）根据前面列出的式子即可得出规律； （3）将式子转化为，结合进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， …， ， 故答案为：； （3）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$