专题05 勾股定理及逆定理-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（苏科版）

专题05 勾股定理及逆定理 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 勾股数的判断 1 题型二 用勾股定理解三角形 2 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 5 题型四 利用等面积法求直接斜边上的高问题 7 题型五 判断能否构成直角三角形 9 题型六 在网格中判断直角三角形 11 题型七 利用勾股定理的逆定理求解 14 题型八 勾股定理及逆定理的实际应用 16 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 勾股数的判断 例题：（23-24八年级下·广东广州·期末）下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方． 根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列是勾股数的一组是（    ） A．4，5，6 B．1，， C．5，12，13 D．1，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果为正整数，且满足，那么，、、叫做一组勾股数． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故此选项不合题意；         B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； C、，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 题型二 用勾股定理解三角形 例题：（24-25八年级上·全国·期末）（1）已知某直角三角形的两边为3，4，则第三边长等于 ； （2）若直角三角形斜边上的高和中线分别是，则它的面积是 ． 【答案】 5或 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质，物理掌握知识点是解题的关键． （1）运用勾股定理即可求解，注意分类讨论； （2）利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出斜边长，即可求解面积． 【详解】解：（1）当长度为3，4的两边为直角边时，则斜边为， 当长度为4的边为斜边时，则第三边为， 故答案为：5或； （2）∵直角三角形斜边上的中线为， ∴斜边为， ∵直角三角形斜边上的高为， ∴面积为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查解平分线的性质，勾股定理．过点D作于点E，由角平分线性质定理得，由勾股定理求出，最后根据三角形面积可求出． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ∵平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， 解得，， 即：点D到的距离是， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点是、的角平分线的交点，且于，则 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】先根据勾股定理求出的长，再过点作，垂足分别为，连接，再利用三角形的面积公式求解即可． 本题考查的是勾股定理及角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 过点作，垂足分别为，连接， 点是、的角平分线的交点，且于， ， ，即， 解得， 故答案为：2． 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为10cm2和16cm2，则正方形A的边长是 cm． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中解直角是解题的关键．根据正方形可以计算斜边和一条直角边，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来． 【详解】解：由题意知，，，且， ∴． ∴正方形A的面积为． ∴正方形A的边长是cm． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【答案】86 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式得到，，，，再由勾股定理推出，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接． 由题意，得，，，． 在中，由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． ． ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为 ． 【答案】4 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及圆的面积，根据题意得出，，然后求解即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵以为直径的半圆面积分别为9和5， ∴， 即， ∴以为直径的半圆面积为：， 故答案为：4． 题型四 利用等面积法求直接斜边上的高问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在中，，则高 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，再根据三角形的面积即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，则边上的高为 ．    【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， 又， 边上的高为， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．    【答案】/ 【知识点】勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：由图可知，， 设的边上的高为，则． 故答案为：． 题型五 判断能否构成直角三角形 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，解题关键是根据三角形内角和求出内角的度数，或根据三角形的三边长判断是否是直角三角形． 【详解】解：A. ∵ ， ∴，符合题意； B. ∵， ∴，不符合题意； C. ∵， ∴，不符合题意； D. ∵，设， ∴，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，6，8 B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 用勾股定理的逆定理进行判断，看较短两边的平方和是否等于长边的平方即可． 【详解】解：A．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； B．，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； C．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； D．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； 故选B． 2．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列条件，能判断是直角三角形的是（　　） A． ，， B． C． ，， D．， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握定义，以及三角形内角和定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴不是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， 不符合勾股定理的逆定理， 无法判定直角， 故B不符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故C符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 题型六 在网格中判断直角三角形 例题：（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ，，， 故答案为：，，； （2）是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）设边上的高为， 的面积， ， ， 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在如图网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若点为的中点，则线段的长为__________． 【答案】(1)为直角三角形；理由见解析 (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理及其逆定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理和网格的特点求出三边长，然后根据勾股定理逆定理判断三角形形状即可； （2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】（1）解：为直角三角形；理由如下： ∵，，， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：∵，为直角三角形，点为的中点， ∴． 2．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），A、B、C、D四点都在小方格的格点上． (1)作点B关于的对称点，连接，； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【知识点】画轴对称图形、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查轴对称作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用勾股定理求出边长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到结论； （3）根据轴对称的性质解题即可． 【详解】（1）如图，点即为所作； （2）解：，，， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）∵点B关于的对称点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 题型七 利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【答案】． 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理．直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形． 【详解】解：，， ， 设，则， 又， ， 或（舍去）， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，四边形中，，，，， (1)求的长． (2)请问是直角三角形吗？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）首先在中，利用勾股定理求出的长； （2）结合（1）的结论，再根据勾股定理逆定理在中，证明是直角三角形． 此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】（1）解：在中， ， ； （2）解：是直角三角形， 理由：由（1）得出 在中，，， ， ∴是直角三角形． 2．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知，在中，，，． (1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1) (2)有，见解析 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）计算得到，即为直角三角形，直接两直角边的积除以求面积． 【详解】（1）解：，，， ， ， 即的面积为； （2），，， ，，， ， ， ． 题型八 勾股定理及逆定理的实际应用 例题：（22-23八年级上·四川遂宁·期末）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口， 在中，由勾股定理， 同理可得， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）在中，根据，即可求解； （2）①根据垂线段最短，即可求解；②在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 即入口B到大摆锤C的距离为； （2）解：①由“垂线段最短”得：当时，最短， 即旋转木马E到过山车D的距离最近时，； 故答案为： ②在中，， ∴， 即过山车D到旋转木马E的距离为． 2．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】(1)公路与垂直，计算见解析 (2)818万元 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，是的平分线，，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理及等腰三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据等腰三角形的性质得出，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是的平分线， 在中，， 即， 解得， 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期末）设的三边长分别为a，b，c，满足下列条件的，不是直角三角形的是（  ） A． B． C．a，b，c的值分别为8，40，41 D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A：，即，此时是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， 此时是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，此时不是直角三角形，故本选项符合题意； D、设，∵， 此时是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在四边形中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点 F，交于点 O．若点O是的中点，则的长为（      ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由作图知，由等腰三角形三线合一，得垂直平分，于是，结合平行线的性质证，进一步可证，得，中，运用勾股定理求得答案． 【详解】解连接，，， ， 由题意得：， 点O是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， , 在中， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一，中垂线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；连接辅助线运用等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 4．（24-25八年级上·全国·期末）我们定义：如果一个等腰三角形有一条边长是，那么这个三角形称作帅气等腰三角形．已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，若其中一个三角形是帅气等腰三角形，则这样的直线最多可画（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、找出图中的等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题的关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图，过点作， 设， 则， 由勾股定理，得： ， 即：， 解得：， ， 是帅气等腰三角形， 又， 这样的直线最多可画条， 故选：． 5．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在中，，点，，，为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两点之间线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查利用轴对称求最短路径问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理等级知识．确定出点P的位置是解题的关键． 过点C作，垂足为F，交y轴于E，连接交于P，此时，的值最小．最小值为，求出的长即可． 【详解】解：过点C作，垂足为F，交y轴于E，连接交于P， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴点C、E关于对称， ∴， ∴， 此时，的值最小． 最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，于点D，，则 ． 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，先求出，再利用勾股定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：6． 7．（24-25八年级上·全国·期末）在中，，、、的对边分别为a、b、c，若，的面积为54，则的周长为 ． 【答案】36 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形三边关系是解题的关键； 根据三角形的面积公式求出a，b，根据勾股定理计算即可． 【详解】在中，，， 为直角三角形 在中，设a，b分别为，， 的面积为54， ， 解得：， ，， 在中，由勾股定理得， 的周长为， 故答案为：36． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【答案】 8 5 13 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3， 正方形A，B，C，D的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为， 正方形的面积为13， 故答案为：8，5，13． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，点在上，点在上，将沿直线翻折，点的对称点落在上，在，则的长是 ． 【答案】/ 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理的计算是解题的关键．由折叠得到，再利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】∵，， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 10．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，翻折的性质等知识，当时，画出图形即可解决问题，熟练掌握翻折的性质是解决此题的关键． 【详解】如图，当时， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴点A，，D共线， ∴， ∵，， ∴， ∴； 若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 【答案】米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理推出，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：米，米，米， ， ， ， （米）， （米）． 12．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，正方形网福中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，其中格点已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）． (1)在图中画一个，使其三边长分别为，，； (2)在（1）的条件下，若边上的中点为，直接写出的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题属于几何变换综合题，勾股定理以及逆定理，直角三角形的斜边中线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）利用勾股定理，画出图形即可； （2）先根据勾股定理的逆定理推出是直角三角形，且，再直角三角形的斜边上的中线性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，，，，即为所求； （2），，， ，， ， 是直角三角形，且， 是边上的中点， ， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、直角三角形的两个锐角互余、等边对等角 【分析】（）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答； （）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：在中，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的长为． 14．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上． (1)求 的度数； (2)求四边形 的面积． 【答案】(1) (2)13 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，（1）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理逆定理即可求解； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，，，， ∴， ∴； （2）解；． 【点睛】 15．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且． (1)判断是什么三角形？并说明理由； (2)求修通的公路的长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析； (2)修通的公路的长是． 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形； （）利用的面积公式可得，从而求出的长； 本题考查了勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：直角三角形，理由， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（）得：是直角三角形； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴修通的公路的长是． 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，垂直平分交于O，，点E、F分别在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)探究之间的关系，并证明； (3)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)6 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）在上取点G，连接，使，则，证明，即可得出结论； （2）过点作于，于，依次证明，，，进而得出，最后用等量代换即可得出结论； （3）先求出，进而求出，，利用勾股定理求出，最后用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：在上取点G，连接，使，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点作于，于， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，， ， ， 由（2）知，， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂直平分线定理，勾股定理，三角形内角和定理及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解本题的关键． 17．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，已知中，，，，P、Q是的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)则 ______； (2)当t为何值时，点P 在边的垂直平分线上? 此时的长度是多少? (3)当点 Q在边上运动时，直接写出使 成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1)12 (2)； (3)当t为11或12或时，为等腰三角形 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据勾股定理直接求出即可； （2）点P在边的垂直平分线上，则，在中，由勾股定理构建方程求出t的值，再求出即可； （3）分利用等腰三角形的性质和面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵点P在边的垂直平分线上， ∴，， 在中，，即， 解得：， 此时点Q运动的路程为：， ； （3）解：①当时，如图1所示， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2所示， 则， ∴； ③当时，如图3所示， 过B点作于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：当t为11或12或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 18．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）【阅读理解】 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”，例如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边的“中偏度值”为． 【尝试应用】 （1）如图2，在中，，，，求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】 （2）如图3，点为直线上方一点，点到直线的距离，点在直线上，且，若点在直线上，且，求的边的“中偏度值”． 【答案】（1）；（2）的边的“中偏度值”为6或． 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及应用，解答本题的关键是明确题意． （1）根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，即可求解； （2）分两种情况：当当在外部时，当在内部时，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：（1）作的中线，高线，如图， ，，， ， ， ， ， ， 为斜边上的中线，， ， 则的边的“中偏度值”为； （2）①当在外部时， 作的中线，如下图：   ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点到的距离为， 则的边的“中偏度值”为； ②当在内部时， 作的中线，如下图：   ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点到的距离为， 则的边的“中偏度值”为； 综上所述，的边的“中偏度值”为6或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 勾股定理及逆定理 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 勾股数的判断 1 题型二 用勾股定理解三角形 2 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 5 题型四 利用等面积法求直接斜边上的高问题 7 题型五 判断能否构成直角三角形 9 题型六 在网格中判断直角三角形 11 题型七 利用勾股定理的逆定理求解 14 题型八 勾股定理及逆定理的实际应用 16 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 勾股数的判断 例题：（23-24八年级下·广东广州·期末）下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列是勾股数的一组是（    ） A．4，5，6 B．1，， C．5，12，13 D．1，， 2．（23-24八年级下·云南昭通·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 题型二 用勾股定理解三角形 例题：（24-25八年级上·全国·期末）（1）已知某直角三角形的两边为3，4，则第三边长等于 ； （2）若直角三角形斜边上的高和中线分别是，则它的面积是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点是、的角平分线的交点，且于，则 ． 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为10cm2和16cm2，则正方形A的边长是 cm． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为 ． 题型四 利用等面积法求直接斜边上的高问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在中，，则高 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，则边上的高为 ．    2．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．    题型五 判断能否构成直角三角形 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，6，8 B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列条件，能判断是直角三角形的是（　　） A． ，， B． C． ，， D．， 题型六 在网格中判断直角三角形 例题：（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在如图网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若点为的中点，则线段的长为__________． 2．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），A、B、C、D四点都在小方格的格点上． (1)作点B关于的对称点，连接，； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出的值． 题型七 利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，四边形中，，，，， (1)求的长． (2)请问是直角三角形吗？请说明你的理由． 2．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知，在中，，，． (1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法． 题型八 勾股定理及逆定理的实际应用 例题：（22-23八年级上·四川遂宁·期末）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 2．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，是的平分线，，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（24-25八年级上·全国·期末）设的三边长分别为a，b，c，满足下列条件的，不是直角三角形的是（  ） A． B． C．a，b，c的值分别为8，40，41 D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在四边形中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点 F，交于点 O．若点O是的中点，则的长为（      ） A． B．4 C．3 D． 4．（24-25八年级上·全国·期末）我们定义：如果一个等腰三角形有一条边长是，那么这个三角形称作帅气等腰三角形．已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，若其中一个三角形是帅气等腰三角形，则这样的直线最多可画（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 5．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在中，，点，，，为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 6．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，于点D，，则 ． 7．（24-25八年级上·全国·期末）在中，，、、的对边分别为a、b、c，若，的面积为54，则的周长为 ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，点在上，点在上，将沿直线翻折，点的对称点落在上，在，则的长是 ． 10．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 12．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，正方形网福中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，其中格点已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）． (1)在图中画一个，使其三边长分别为，，； (2)在（1）的条件下，若边上的中点为，直接写出的值为 ． 13．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 14．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上． (1)求 的度数； (2)求四边形 的面积． 15．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且． (1)判断是什么三角形？并说明理由； (2)求修通的公路的长． 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，垂直平分交于O，，点E、F分别在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)探究之间的关系，并证明； (3)若，，，求的面积． 17．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，已知中，，，，P、Q是的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)则 ______； (2)当t为何值时，点P 在边的垂直平分线上? 此时的长度是多少? (3)当点 Q在边上运动时，直接写出使 成为等腰三角形的运动时间． 18．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）【阅读理解】 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”，例如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边的“中偏度值”为． 【尝试应用】 （1）如图2，在中，，，，求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】 （2）如图3，点为直线上方一点，点到直线的距离，点在直线上，且，若点在直线上，且，求的边的“中偏度值”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$