专题04 等腰（等边）三角形的性质和判定-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（苏科版）

专题04 等腰（等边）三角形的性质和判定 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 目录 题型一 利用等腰（等边）三角形的性质求解 1 题型二 含30°的直角三角形性质的应用 4 题型三 等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 6 题型四 等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 7 题型五 等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 10 题型六 等腰三角形性质和判定的综合问题 15 题型七 等边三角形性质和判定的综合问题 20 题型八 等腰（等边）三角形中的动点问题 26 题型九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 30 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 利用等腰（等边）三角形的性质求解 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为 ． 2.（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 题型二 含30°的直角三角形性质的应用 例题：（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 2.（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为 ． 题型三 等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 例题：（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组的解恰为等腰的两边长，则的周长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 题型四 等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 题型五 等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 例题：（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 题型六 等腰三角形性质和判定的综合问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 题型七 等边三角形性质和判定的综合问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，，是等边三角形，点在边上． (1)如图1，当点在边上时，求证 (2)如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，求的长． 题型八 等腰（等边）三角形中的动点问题 例题：（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边三角形，连接、． (1)如图①，当点在点右侧时，的度数是______； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③），，，且，其它条件不变，在点运动的过程中，当时，请直接写出的度数． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点，使与互为补角，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当，时，试说明与的位置关系； (3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交于点，若，，点分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值． 题型九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 2．（23-24八年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． (1)如图1，若点，，点为，的点，连接，． ①； ②求点的纵坐标； (2)已知点，． ①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则___________________． 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面2.5米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．5.5米 B．7.5米 C．9.5米 D．10.5米 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等边中，D，E分别是，边上的点，且，与相交于点F，垂直于．则（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接；下列结论：①；②；③平分；（4），其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的底角的度数是 ． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，为中点；④当为等腰三角形时，．其中正确的有 （填序号）．    6．（23-24八年级上·江西赣州·期末）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是 ．    三、解答题 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． (1)求的度数； (2)证明是等边三角形； (3)若的长为2，求的边长． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 10．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交AB于D． (1)当时，求的长； (2)过P作交AB于M． ①求证：是等边三角形； ②求线段的长． 11．（24-25八年级上·全国·期末）（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①请直接写出的度数为_____； ②试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明； （2）拓展探究： 图2，和均为等腰三角形，，点A、D、E在同－直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数线段之间的数量关系，并说明理由．    12．（23-24八年级上·江西赣州·期末）等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于， 等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，请你完成证明过程或解答过程． (1)如图1，是等边三角形，点分别在和的延长线上，且，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则的度数为 ； ②求证：； (2)如图2，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，求证：． 13．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）阅读下列材料，解答问题： 定义：线段把等腰三角形分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图2，在中，，，．求证：为的完美分割线； (2)如图3，是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M．求证：． 14．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，探究等边三角形的有关问题． (1)如图①，“智慧组”在等边中，作于点D，经过探究提出下面结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． ①中等于的角为_____；②______ （直接填空） (2)“奋进组”直接探究了下面的问题： 已知：在中，，，以为腰，在外作等腰，使，，连接，则的度数是个定值，利用图②求出的度数； (3)“创新组”发现：在图②取中点F，连接并延长交直线于点G，若，，则可得出线段的长．请求出线段的长． 15．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图,等腰直角中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图1，若点的横坐标为5，求点坐标； (2)如图2，将摆放至x轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图3，若点坐标为，分别以为直角边在第一、第二象限作等腰直角与等腰直角，连接交轴于点．当点在轴正半轴上移动时，下列两个结论：①的长不变；②的值不变，其中只有一个是正确的，请选择，并求其值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等腰（等边）三角形的性质和判定 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 目录 题型一 利用等腰（等边）三角形的性质求解 1 题型二 含30°的直角三角形性质的应用 4 题型三 等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 6 题型四 等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 7 题型五 等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 10 题型六 等腰三角形性质和判定的综合问题 15 题型七 等边三角形性质和判定的综合问题 20 题型八 等腰（等边）三角形中的动点问题 26 题型九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 30 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 利用等腰（等边）三角形的性质求解 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为 °． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质．利用等腰三角形的两个底角相等的性质、已知条件“，”，根据全等三角形的判定定理推知；由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得；然后根据全等三角形对应角相等得、三角形的外角性质、等量代换求得． 【详解】解：， ， 在与中， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点E为边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 2.（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）等边三角形三线合一，得到，等边对等角结合三角形的外角，推出，进而得到，即可； （2）易得是含30度角的直角三角形，进而得到，中线得到，求出的长，即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴ ∴在中，． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形．熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 题型二 含30°的直角三角形性质的应用 例题：（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到，进而得到，再根据直角三角形的性质可得，从推出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性质求出的值 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为3 2.（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由，可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得，即得，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 例题：（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组的解恰为等腰的两边长，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】加减消元法、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形及解二元一次方程组，三角形三边关系，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题． 先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：解方程组，得： ， ∴等腰三角形的两边长为2，5． 若腰长为2，底边长为5． ∵， ∴不能构成三角形． 若腰长为5，底边长为2，则三角形的周长为． 所以这个等腰三角形的周长为12． 故答案为：12． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 【答案】10或11 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三边关系、等腰三角形的定义，算术平方根、绝对值的非负性，先根据算术平方根、绝对值的非负性得出a，b的值，再结合三边关系，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵a，b为等腰三角形的两边， ∴当腰是3时，则，此时的周长为； ∴当腰是4时，则，此时的周长为； 综上所述，的周长为10或11． 故答案为：10或11． 2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 题型四 等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想． 求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 分三种情况：①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为：或或， 故答案为：或或． 2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 【答案】60或105或150 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质：分和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可． 【详解】解：当时， 则； 当时，， 则； 当时，， 则； 故答案为：60或105或150 题型五 等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 例题：（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】加减消元法、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 【答案】8，8，5或6，6，9 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中线的性质，一元一次方程的实际应用．根据等腰三角形的性质可知，该中线为腰上的中线，则推出腰长和底边长差为，设这个等腰三角形腰长为，则底边长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义，分类讨论：为锐角三角形时，①当是等腰底边上的高时，②当是等腰腰上的高时，当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：依题意有以下两种情况： （1）为锐角三角形时， 此时又有两种情况： ①当是等腰底边上的高时，如图1所示： 为等腰三角形底边上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ； ②当是等腰腰上的高时，如图2所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ． （2）当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，如图3所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ， ． 综上所述：等腰三角形底角的度数为或或． 故答案为：或或． 题型六 等腰三角形性质和判定的综合问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2) (3)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； （3）解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等； （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型七 等边三角形性质和判定的综合问题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【答案】(1)证明详见解析 (2)12 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到平分，求出的度数，再利用三角形内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求解． （2）由等边三角形的性质易得，过点作交于点，进而得到是等边三角形，然后利用证明，进而得到，最后利用线段的和差来求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． 是的中点， 平分， ． ，点与点重合， ， ， ． （2）解：是等边三角形， ． 是的中点， ． 如图3，过点作交于点． ， 是等边三角形， ， ． ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，线段的和差．理解等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质、多边形内角和问题 【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明即可； （2）先说明为等边三角形，即，设，则，然后根据四边形的内角和用x表示出，进而表示出，最后根据三角形内角和即可解答； （3）如图：作，根据题意说明，进而说明，根据，得到，，利用直角三角形的特征，设，则，然后根据线段的和差列方程解答即可． 【详解】（1）证明：在中有， ∵， ， ， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ， 设，则， 在四边形中有：， ， ， ∵的平分线交于点E， ， ，即， ， 故答案为：； （3）如图，作， ， ， ，平分， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ∴，，， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，，是等边三角形，点在边上． (1)如图1，当点在边上时，求证 (2)如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出，从而得出，从而得出； （2）取的中点，连接、，根据和为等边三角形，从而得出和全等，然后得出和全等，从而得出答案； （3）取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 取的中点，连接、， ∵，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图：取的中点，连接、、， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：，即． 题型八 等腰（等边）三角形中的动点问题 例题：（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边三角形，连接、． (1)如图①，当点在点右侧时，的度数是______； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③），，，且，其它条件不变，在点运动的过程中，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】（1）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得出结果； （2）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得出结果； （3）利用等腰三角形性质可证明，得到，结合垂线性质以及平行线性质即可得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当点P在点B左侧时，（1）中的结论仍然成立； （3）为等腰三角形，，且， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线性质，垂线性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点，使与互为补角，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当，时，试说明与的位置关系； (3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交于点，若，，点分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出答案； （2）是等边三角形，得出，证明得出，从而推出，即可得证； （3）将沿对称至，沿对称至，且、分别在、上，连接，此时与和交点即为所求、，此时的周长最小，且、两点重合，此时的周长的最小值即为的长度，然后根据全等三角形的判定以及轴对称的性质证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∵，，平分， ∴垂直平分，， 如图，将沿对称至，沿对称至，且、分别在、上，连接，此时与和交点即为所求、，此时的周长最小，且、两点重合，此时的周长的最小值即为的长度， 由对称的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 此时，过点作交于， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， 由（2）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型九 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【答案】(1)36，72； (2)； (3)或或或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，由题意得出为等腰三角形，即可得解； （2）由等边对等角得出，由题意得出和均为等腰三角形，从而得出，，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （3）由（2）可得：，根据题意得出、是等腰三角形，从而得到，由三角形外角的定义及性质得出，由折叠的性质可得：为等腰三角形，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵为的完美分割线， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵为的完美分割线，， ∴和均为等腰三角形． ∴，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵是它的一条完美分割线，， ∴、是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：为等腰三角形，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴以为边的等腰三角形为或或或． 2．（23-24八年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． (1)如图1，若点，，点为，的点，连接，． ①； ②求点的纵坐标； (2)已知点，． ①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则___________________． 【答案】(1)①30；② (2)①；②或 【知识点】坐标与图形、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、其他问题(轴对称综合题) 【分析】（1）①设点为第一象限内上一点，得出与轴的夹角为,即，则即可得出； ②过点作轴于，过点作轴于，证明．根据是等边三角形，点，，点，，得出，即可求解； （2）①延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，根据定义得出是等边三角形，证明轴，得出，分别求得，解方程，即可得出； ②当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则，根据含度角的直角三角形的性质得出；当时，点在点的左侧，根据，解方程，即可求解． 【详解】（1）①解：如图所示， 设点为第一象限内上一点， ∵为等边三角形，，，则 , ∵点为，的点， ∴与轴的夹角为,即 ∴， ∴， 故答案为：30； ②解：过点作轴于，过点作轴于， ． 点为线段的点， ，，． ． 在和中， ． ． 是等边三角形，点，，点，， ． ， ． ． 点纵坐标为． （2）解：①如图所示，延长交于点，连接交轴于，过点作轴于， ∵点为，的点， ∴， 则是等边三角形， 过点作轴于点，则， ∴ ∵关于对称， ∴，则， ∴轴， ∵点的横坐标为 ∴， ∵，则， ∵，， 则， ∴ 解得： 故答案为：． ②当时，点， 当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则， ∵,，，则() ∴， ∴ ∵ ∴ 当时，点在点的左侧， 同理可得，，则， ∴， 解得：， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面2.5米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．5.5米 B．7.5米 C．9.5米 D．10.5米 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据30度所对的直角边是斜边的一半，求出折断部分的长，进而求出树高即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，米， ∴米， ∴这棵树在折断前的高度为米； 故选B． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等边中，D，E分别是，边上的点，且，与相交于点F，垂直于．则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形全等的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解此题的关键． 作于G，根据等边三角形的性质得，，证，得， 求出，得出，从而得到，再证明得出，推出即可解答． 【详解】解：如图，作于G， ∵是等边三角形， ，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点，连接；下列结论：①；②；③平分；（4），其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，证明即可判断①，进而根据全等三角三角形的性质以及三角形内角和定理可得即可判断②，作于N，于F，进而证明，得出，根据角平分线的判定即可判断③，在上截取，连接．证明得出为等边三角形，则，进而判断④，即可求解． 【详解】证明：①∵等边和等边， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， 则，故②正确； ③作于N，于F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ④在上截取，连接． 由②知， ∴， 由③知：平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形，则， 故，故④正确； 正确的有①②③④，共4个． 故答案为：D． 二、填空题 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的底角的度数是 ． 【答案】/35度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，根据题意可得这个等腰三角形的一个内角是，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵一个等腰三角形的一个外角等于， ∴这个等腰三角形的一个内角是， ∴这个等腰三角形的底角的度数是， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，为中点；④当为等腰三角形时，．其中正确的有 （填序号）．    【答案】①②③ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质，计算各角的度数是解题的关键．①根据三角形外角的性质即可得到；②证明，即可判断；③根据，得，推出，，根据等腰三角形的性质即可判断；④根据三角形外角的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或． 【详解】解：①， ， ，， ， ，故①正确； ②， ， 由①知， ， ， ，故②正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，故③正确； ④， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ， 当时，， ，故④不正确． 正确的有①②③， 故答案为：①②③． 6．（23-24八年级上·江西赣州·期末）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是 ．    【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分三种情况考虑：当，分别求出夹角的大小即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ①当时， ∴，即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当是等腰三角形时，或或． 故答案为：或或． 三、解答题 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据等角对等边证明等腰三角形、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． (1)求的度数； (2)证明是等边三角形； (3)若的长为2，求的边长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形，理解等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形是解决问题的关键． （1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据即可得出的度数； （2）根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，再根据等腰三角形性质得，则，由此可得出结论； （3）在中，根据得，则，再由(2)的结论得，由此可得出的长． 【详解】（1）解：在中，，， ． 在中，， ． （2）证明：的垂直平分线交于，交于， ，， ， ， 在中，，，是边上的中线， ． ． ∴是等边三角形． （3）在中，，， ． ． 由（2）可知：是等边三角形， ． ． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形；理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质； （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： ，， 是等边三角形． 10．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交AB于D． (1)当时，求的长； (2)过P作交AB于M． ①求证：是等边三角形； ②求线段的长． 【答案】(1)的长为3； (2)①见详解② 【知识点】两直线平行同位角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）设，则，，证，则，即，解方程即可； （2）①因为，且是边长为9的等边三角形，则证是等边三角形， ②因为是等边三角形得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可解决问题． 本题考查了等边三角形的性判定与质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解： 是等边三角形， ，， 设，则，， ， ， ， 即 解得：， 即的长为3； （2）①如图， ∵， ，， 是等边三角形， ②是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 11．（24-25八年级上·全国·期末）（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①请直接写出的度数为_____； ②试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明； （2）拓展探究： 图2，和均为等腰三角形，，点A、D、E在同－直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；．证明见解析；（2）；；理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）①由条件和均为等边三角形，易证，从而得到：．由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出的度数．②由可得； （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出；根据，可得，所以，据此判断出． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： ∵， ∴． （2）；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， 即， ∴， ∴． ∴． 在等腰直角中，为斜边上的高， ∴， ∴． ∴． 12．（23-24八年级上·江西赣州·期末）等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于， 等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，请你完成证明过程或解答过程． (1)如图1，是等边三角形，点分别在和的延长线上，且，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则的度数为 ； ②求证：； (2)如图2，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，求证：． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质、三角形内角和定理、等边三角形判定与性质，熟练掌握等边三角形判定与性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）①由，，可得；②由是等边三角形，知，故，从而； （2）由是等边三角形，得，，有，而，有，故，可得，故． 【详解】（1）①解：，， ； 故答案为：； ②证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）证明：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 13．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）阅读下列材料，解答问题： 定义：线段把等腰三角形分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图2，在中，，，．求证：为的完美分割线； (2)如图3，是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，即可求出两角的度数；根据两底角相等的三角形为等腰三角形证均为等腰三角形，即可得证结论； （2）根据证，即可得证结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，均为等腰三角形， ∴为的完美分割线； （2）证明：∵是的一条完美分割线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 14．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，探究等边三角形的有关问题． (1)如图①，“智慧组”在等边中，作于点D，经过探究提出下面结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． ①中等于的角为_____；②______ （直接填空） (2)“奋进组”直接探究了下面的问题： 已知：在中，，，以为腰，在外作等腰，使，，连接，则的度数是个定值，利用图②求出的度数； (3)“创新组”发现：在图②取中点F，连接并延长交直线于点G，若，，则可得出线段的长．请求出线段的长． 【答案】(1)①；② (2) (3)8 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①由直角三角形的性质得出答案；②由等边三角形形的性质可得出答案； （2）由等边三角形及等腰三角形的性质求出和的度数，则可得出答案； （3）在上截取，连接，，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案． 【详解】（1）①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）在上截取，连接，， ∵，F为的中点， ∴，， ∴是的中垂线， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 当大于度时，点G在线段上，同理求得． ∵， ∴不合题意， 综上可得，的长为8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图,等腰直角中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图1，若点的横坐标为5，求点坐标； (2)如图2，将摆放至x轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图3，若点坐标为，分别以为直角边在第一、第二象限作等腰直角与等腰直角，连接交轴于点．当点在轴正半轴上移动时，下列两个结论：①的长不变；②的值不变，其中只有一个是正确的，请选择，并求其值． 【答案】(1) (2) (3)①结论正确， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】（1）过点作轴于点，根据同角的余角相等可以得到，进一步可以证明，因此可以得出结论，求得点坐标； （2）分别延长相交于点，结合题意不难证明，从而根据“三线合一”可证得，最后结合全等三角形的性质即可得出结论； （3）过点作轴于点，由题意易证得和，根据全等三角形的性质和线段之间的转化即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ，轴， ， ， 在和中， ， ， ， C点的横坐标为5， ， B点坐标为． （2）如图，分别延长相交于点， ，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分，轴， ， ， ， ． （3）①结论正确，的长为2，理由如下： 如图，过点作轴于点， 是以为顶角的等腰直角三角形，是以为顶角的等腰直角三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、等腰三角形三线合一、同角的余角相等，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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