专题01 一元二次方程（4大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（贵州专用）

专题01 一元二次方程 一元二次方程与项及系数 1．（2023秋•贵阳期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．3x+2＝0 B．x2﹣3x＝0 C．x+3xy﹣1＝0 D． 2．（2023秋•织金县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 B．（x﹣1）（x+2）＝1 C．ax2+bx+c＝0 D． 3．（2023秋•黔东南州期末）一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的一次项系数是（　　） A．2 B．﹣4 C．5 D．4 4．（2023秋•黔东南州期末）一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一次项系数是（　　） A．3x B．﹣3x C．3 D．﹣3 5．（2023秋•铜仁市期末）把一元二次方程3x2＝4x﹣1化为一般式，当二次项为3x2时，一次项和常数项分别为（　　） A．4x，﹣1 B．4x，1 C．﹣4x，﹣1 D．﹣4x，1 6．（2023秋•关岭县期末）把方程化成一般式x2+3x＝5，则a、b、c的值分别是（　　） A．1，﹣3，5 B．1，3，﹣5 C．1，3，5 D．0，3，﹣5 解一元二次方程 1．（2023秋•黔南州期末）解方程x2＝4的结果为（　　） A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝4 2．（2023秋•绥阳县期末）若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 3．（2023秋•威宁县期末）三角形的两边分别2和6，第三边是方程x2﹣10x+21＝0的解，则三角形周长为（　　） A．11 B．15 C．11或15 D．不能确定 4．（2023秋•黔东南州期末）解方程： （1）2x2﹣3x＝0； （2）x2﹣5x﹣6＝0． 5．（2023秋•贵阳期末）用适当的方法解下列方程： （1）x（x﹣5）＝3x﹣15； （2）2y2﹣9y+5＝0． 6．（2023秋•盘州市期末）解方程： （1）x2﹣6x+4＝0； （2）8x2﹣10x+3＝0． 7．（2023秋•绥阳县期末）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程x2+6x﹣4＝0的过程如下： 解：x2+6x﹣4＝0 x+6x＝4........① x2+6x+9＝4...② （x+3）2＝4...③ x+3＝±2....④ x+3＝2，x+3＝﹣2 x1＝1，x2＝﹣5 问题： （1）佳佳解方程的方法是 　 　； A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 （2）上述解答过程中，从 　 　步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是 　 　； （3）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 8．（2023秋•黔南州期末）阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．① 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到了降次的目的，体现了 　 　的数学思想． （2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0． 利用跟的判别式求值 1．（2023秋•织金县期末）若关于x的方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．且a≠﹣2 B． C．且a≠﹣2 D． 2．（2023秋•贵阳期末）若关于x的方程ax2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（　　） A．a＝1，c＝3 B．a＝﹣2，c＝﹣4 C．a＝﹣1，c＝3 D．a＝5，c＝1 3．（2023秋•铜仁市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣8x+b＝0有两个相等的实数根，a与b的乘积是 　 　． 实际问题抽象一元二次方程 1．（2023秋•盘州市期末）从正方形的纸片上，剪去3cm宽的一个长方形条，余下的面积为90cm2，设原正方形纸片的边长为x cm，根据题意可以列得方程（　　） A．x2＝90 B．3x＝90 C．3（x﹣3）＝90 D．x（x﹣3）＝90 2．（2023秋•黔东南州期末）如图，某校为生物兴趣小组规划一块长15m，宽12m的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为154m2．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意所列的方程是（　　） A．（15﹣x）（12﹣x）＝154 B．（15﹣x）（12﹣x）﹣x2＝154 C．（15﹣x）（12﹣x）＝77 D．15×12﹣（15﹣x）（12﹣x）＝154 3．（2023秋•黔南州期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校积极开展全民阅读活动，打造书香校园，在各班建立图书角．据统计，九（10）班第一周参与阅读128人次，阅读人次每周递增，到第三周累计参与阅读608人次．若阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程（　　） A．128（1+x）＝608 B．128（1+x）2＝608 C．128（1+x）+128（1+x）2＝608 D．128+128（1+x）+128（1+x）2＝608 4．（2024春•贵州期末）《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方程是（　　） A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．42+（x﹣2）2＝x2 C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝2x2 D．（x﹣4）2+22＝x2 5．（2023秋•贵阳期末）国庆期间电影《志愿军：雄兵出击》上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房8.28亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．2（1+x）＝8.28 B．2（1+x）2＝8.28 C．2（1+x）+2（1+x）2＝8.28 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.28 利用方程的解求字母或式子 1．（2023秋•黔东南州期末）关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一根是1，则m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 2．（2023秋•关岭县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的解是x＝1，则2015﹣a﹣b的值是（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 3．（2023秋•花溪区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2 4．（2023秋•盘州市期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣6m+2022的值为 　 　． 5．（2023秋•威宁县期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一根为0，则k＝（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 利用根与系数的关系求值 1．（2023秋•安顺期末）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•盘州市期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则x+x的值为（　　） A．﹣5 B．3 C．5 D．7 3．（2023秋•织金县期末）已知：x1，x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根，（x1+2）（x2+2）＝11，则a的值为 　 　． 4．（2023秋•遵义期末）已知x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则的值是 　 　． 5．（2023秋•黔东南州期末）设a，b是一元二次方程3x2﹣2x﹣7＝0的两根，则3a2﹣a+b＝　 　． 根的判别式与根与系数的综合 1．（2023秋•黔南州期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值． 2．（2023秋•绥阳县期末）已知关于x的方程：x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根， （1）求实数k的取值范围、 （2）已知方程的一个根为5，求方程的另一个根． 3．（2023秋•盘州市期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式2x2+4x+5的最值． 解：2x2+4x+5 ＝（2x2+4x）+5（分离常数项） ＝2（x2+2x）+5（提二次项系数） （配方） ∵2（x+1）2≥0 ∴2（x+1）2+3≥3 ∴当x＝﹣1时，代数式2x2+4x+5取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式﹣a2+6a﹣4的最值； （2）关于x的方程mx2﹣3（m+2）x+2m+7＝0（m≠0）．求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 一元二次方程的实际应用 1．（2023秋•绥阳县期末）如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　　） A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m 2．（2023秋•黔东南州期末）如图，用一条长20m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为x m． （1）直接写出AD的长；（用含x的代数式表示） （2）矩形ABCD的面积是否可以是60m2？请给出你的结论，并用所学知识说明理由． 3．（2023秋•织金县期末）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元． （1）求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？ （2）当蛋黄粽子销售价为每袋70元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售，经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？ 4．（2023秋•黔东南州期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 5．（2023秋•盘州市期末）第19届亚洲运动会于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重开幕．亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”共同组成“江南忆”组合，三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱．某网店购进一批亚运会吉祥物“宸宸”和“琮琮”，进货价和销售价如下表： 吉祥物 价格 宸宸 琮琮 进货价（元/个） 59 66 销售价（元/个） 79 88 （1）该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“琮琮”共50个，求购进“宸宸”和“琮琮”各多少个； （2）第一次购进的“宸宸”和“琮琮”售完后，该网店再次购进“宸宸”和“琮琮”共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少： （3）亚运会临近结束时，该网店打算把“宸宸”调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元． 6．（2023秋•贵阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s． （1）运动几秒时，点P，Q相距6cm？ （2）△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？ 7．（2023秋•关岭县期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 一元二次方程与项及系数 1．（2023秋•贵阳期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．3x+2＝0 B．x2﹣3x＝0 C．x+3xy﹣1＝0 D． 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、3x+2＝0中，未知数的次数是1，不符合题意； B、x2﹣3x＝0是一元二次方程，符合题意； C、x+3xy﹣1＝0中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、﹣4＝0中，含有分式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2．（2023秋•织金县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 B．（x﹣1）（x+2）＝1 C．ax2+bx+c＝0 D． 【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、是二元二次方程，故本选项错误； B、整理为x2+x﹣3＝0，是关于x的一元二次方程，故本选项正确； C、a＝0时，是关于x的一元一次方程，故本选项错误； D、分母上有未知数，不是整式方程，故本选项错误． 故选：B． 3．（2023秋•黔东南州期末）一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的一次项系数是（　　） A．2 B．﹣4 C．5 D．4 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可解答． 【解答】解：一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的一次项系数是﹣4， 故选：B． 4．（2023秋•黔东南州期末）一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一次项系数是（　　） A．3x B．﹣3x C．3 D．﹣3 【分析】根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数即可． 【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一次项系数为﹣3． 故选：D． 5．（2023秋•铜仁市期末）把一元二次方程3x2＝4x﹣1化为一般式，当二次项为3x2时，一次项和常数项分别为（　　） A．4x，﹣1 B．4x，1 C．﹣4x，﹣1 D．﹣4x，1 【分析】先移项，把4x和﹣1移到方程左边，然后根据一次项和常数项的定义进行判断． 【解答】解：移项得3x2﹣4x+1＝0， 所以二次项为3x2，一次项为﹣4x，常数项为1． 故选：D． 6．（2023秋•关岭县期末）把方程化成一般式x2+3x＝5，则a、b、c的值分别是（　　） A．1，﹣3，5 B．1，3，﹣5 C．1，3，5 D．0，3，﹣5 【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出a，b，c的值． 【解答】解：将原方程化为一般形式得x2+3x﹣5＝0， ∴a＝1，b＝3，c＝﹣5． 故选：B． 解一元二次方程 1．（2023秋•黔南州期末）解方程x2＝4的结果为（　　） A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝4 【分析】两边直接开平方即可． 【解答】解：∵x2＝4， ∴x1＝﹣2，x2＝2， 故选：C． 2．（2023秋•绥阳县期末）若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【分析】由x＝是某个一元二次方程的根知此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1． 【解答】解：∵x＝是某个一元二次方程的根， ∴此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 3．（2023秋•威宁县期末）三角形的两边分别2和6，第三边是方程x2﹣10x+21＝0的解，则三角形周长为（　　） A．11 B．15 C．11或15 D．不能确定 【分析】求出已知方程的解得到三角形第三边，求出三角形周长即可． 【解答】解：方程x2﹣10x+21＝0，变形得：（x﹣3）（x﹣7）＝0， 解得：x1＝3，x2＝7， 若x＝3，三角形三边为2，3，6，不合题意，舍去， 则三角形的周长为2+6+7＝15． 故选：B． 4．（2023秋•黔东南州期末）解方程： （1）2x2﹣3x＝0； （2）x2﹣5x﹣6＝0． 【分析】（1）根据因式分解法，即可求解， （2）根据因式分解法，即可求解， 【解答】解：（1）2x2﹣3x＝0， 因式分解得：x（2x﹣3）＝0， x＝0或2x﹣3＝0， x1＝0，； （2）x2﹣5x﹣6＝0， 因式分解得：（x+1）（x﹣6）＝0， x+1＝0或x﹣6＝0， x1＝﹣1，x2＝6． 5．（2023秋•贵阳期末）用适当的方法解下列方程： （1）x（x﹣5）＝3x﹣15； （2）2y2﹣9y+5＝0． 【分析】（1）利用提公因式法把方程变形，进而解出方程； （2）利用公式法解出方程． 【解答】解：（1）x（x﹣5）＝3x﹣15， 则x（x﹣5）＝3（x﹣5）， ∴x（x﹣5）﹣3（x﹣5）＝0， ∴（x﹣5）（x﹣3）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝5，x2＝3； （2）2y2﹣9y+5＝0， a＝2，b＝﹣9，c＝5， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4×2×5＝41， 则y＝， ∴y1＝，y2＝． 6．（2023秋•盘州市期末）解方程： （1）x2﹣6x+4＝0； （2）8x2﹣10x+3＝0． 【分析】（1）利用配方法解答即可求解； （2）利用因式分解法解答即可求解 【解答】解：（1）移项得，x2﹣6x＝﹣4， 配方得，x2﹣6x+32＝﹣4+32， 即（x﹣3）2＝5， ∴， ∴或， ∴，； （2）因式分解得，（2x﹣1）（4x﹣3）＝0， ∴2x﹣1＝0或4x﹣3＝0， ∴，． 7．（2023秋•绥阳县期末）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程x2+6x﹣4＝0的过程如下： 解：x2+6x﹣4＝0 x+6x＝4........① x2+6x+9＝4...② （x+3）2＝4...③ x+3＝±2....④ x+3＝2，x+3＝﹣2 x1＝1，x2＝﹣5 问题： （1）佳佳解方程的方法是 　B　； A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 （2）上述解答过程中，从 　②　步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是 　等号右边没有加9　； （3）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【分析】（1）观察解答可得答案； （2）观察解答过程可得答案； （3）用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）由解答过程知，佳佳解方程的方法是配方法； 故答案为：B； （2）从②开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②；等号右边没有加9； （3）移项得：x2+6x＝4， 配方得：x2+6x+9＝4+9，即 （x+3）2＝13， ∴， ∴ 或 ， ∴，． 8．（2023秋•黔南州期末）阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．① 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　换元　法达到了降次的目的，体现了 　换元　的数学思想． （2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0． 【分析】（1）根据题意可以解答本题； （2）根据换元法可以解答此方程． 【解答】解：（1）由题意可得， 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想， 故答案为：换元、换元； （2）x4﹣x2﹣12＝0， 令a＝x2，则原方程可化为：a2﹣a﹣12＝0， 解得，a＝﹣3或a＝4， ∴x2＝﹣3（舍去），x2＝4， 解得，x1＝2，x2＝﹣2， 故原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 利用跟的判别式求值 1．（2023秋•织金县期末）若关于x的方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．且a≠﹣2 B． C．且a≠﹣2 D． 【分析】当a+2＝0时，即a＝﹣2时，方程为一元一次方程，方程有实数根；当a+2≠0时，根据根的判别式b2﹣4ac≥0，即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求出a的取值范围．综上即可得出结论． 【解答】解：当a+2＝0，即a＝﹣2时，方程为一元一次方程，方程有实数根； 当a+2≠0，即a≠﹣2时，方程为一元二次方程，则b2﹣4ac≥0，即（﹣3）2﹣4（a+2）≥0， 解得． 综上，当时方程有实数根． 故选：B． 2．（2023秋•贵阳期末）若关于x的方程ax2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（　　） A．a＝1，c＝3 B．a＝﹣2，c＝﹣4 C．a＝﹣1，c＝3 D．a＝5，c＝1 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝9﹣4ac＞0，然后对各选项进行判断即可． 【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， A、若a＝1，c＝3，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，不符合题意； B、若a＝﹣2，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣32＝﹣23＜0，不符合题意； C、若a＝﹣1，c＝3，Δ＝b2﹣4ac＝9+12＝21＞0，符合题意； D、若a＝5，c＝1，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣20＝﹣11＜0，不符合题意． 故选：C． 3．（2023秋•铜仁市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣8x+b＝0有两个相等的实数根，a与b的乘积是 　16　． 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣8）2﹣4ab＝0，然后利用等式性质求出ab的值即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣8）2﹣4ab＝0， 所以ab＝16， 即a与b的乘积是16． 故答案为：16． 实际问题抽象一元二次方程 1．（2023秋•盘州市期末）从正方形的纸片上，剪去3cm宽的一个长方形条，余下的面积为90cm2，设原正方形纸片的边长为x cm，根据题意可以列得方程（　　） A．x2＝90 B．3x＝90 C．3（x﹣3）＝90 D．x（x﹣3）＝90 【分析】设原正方形纸片的边长为x cm，则剩余长方形的长为x cm，宽为（x﹣3）cm，根据剩余矩形纸片的面积列出方程． 【解答】解：设原正方形纸片的边长为x cm，则可列方程为x（x﹣3）＝90． 故选：D． 2．（2023秋•黔东南州期末）如图，某校为生物兴趣小组规划一块长15m，宽12m的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为154m2．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意所列的方程是（　　） A．（15﹣x）（12﹣x）＝154 B．（15﹣x）（12﹣x）﹣x2＝154 C．（15﹣x）（12﹣x）＝77 D．15×12﹣（15﹣x）（12﹣x）＝154 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的试验田是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有：（15﹣x）（12﹣x）＝154． 故选：A． 3．（2023秋•黔南州期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校积极开展全民阅读活动，打造书香校园，在各班建立图书角．据统计，九（10）班第一周参与阅读128人次，阅读人次每周递增，到第三周累计参与阅读608人次．若阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程（　　） A．128（1+x）＝608 B．128（1+x）2＝608 C．128（1+x）+128（1+x）2＝608 D．128+128（1+x）+128（1+x）2＝608 【分析】利用第三个月参与阅读人次＝第一个月参与阅读人次×（1+参与阅读人次的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608． 故选：D． 4．（2024春•贵州期末）《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门 狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方程是（　　） A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．42+（x﹣2）2＝x2 C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝2x2 D．（x﹣4）2+22＝x2 【分析】若设竿长AC为x尺，则BC为（x﹣4）尺，AB为（x﹣2）尺，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若设竿长AC为x尺，则BC为（x﹣4）尺，AB为（x﹣2）尺， 根据题意得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2． 故选：A． 5．（2023秋•贵阳期末）国庆期间电影《志愿军：雄兵出击》上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房8.28亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．2（1+x）＝8.28 B．2（1+x）2＝8.28 C．2（1+x）+2（1+x）2＝8.28 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.28 【分析】根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出第二、三天的票房，再结合三天累计票房8.28亿元，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵第一天票房约为2亿元，且平均每天票房的增长率为x， ∴第二天票房约为2（1+x）亿元，第三天票房约为2（1+x）2亿元． 根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.28． 故选：D． 利用方程的解求字母或式子 1．（2023秋•黔东南州期末）关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一根是1，则m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【分析】要求m的值，只需把x＝1代入原方程，求解关于m的方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0，得 12+m﹣3＝0， 所以m＝2． 故选：D． 2．（2023秋•关岭县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的解是x＝1，则2015﹣a﹣b的值是（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【分析】把x＝1代入已知方程求得（a+b）的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的解是x＝1， ∴a+b+5＝0， ∴a+b＝﹣5， ∴2015﹣a﹣b＝2015﹣（a+b）＝2015﹣（﹣5）＝2020； 故选：D． 3．（2023秋•花溪区期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a的值为（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2 【分析】把x＝a代入方程得到关于a的等式，然后整体代入计算即可． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解， ∴a2﹣2a﹣1＝0， 即a2﹣2a＝1， ∴2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）＝2×1＝2． 故选：A． 4．（2023秋•盘州市期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣6m+2022的值为 　2024　． 【分析】根据题意可得2m2﹣3m﹣1＝0，然后可得4m2﹣6m，进而可得答案． 【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴2m2﹣3m﹣1＝0， 2m2﹣3m＝1， ∴4m2﹣6m＝2， ∴4m2﹣6m+2022＝2+2022＝2024， 故答案为：2024． 5．（2023秋•威宁县期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一根为0，则k＝（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x＝0代入原方程即可求得k的值． 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0， 得k2﹣1＝0， 解得k＝﹣1或1； 又k﹣1≠0， 即k≠1； 所以k＝﹣1． 故选：C． 利用根与系数的关系求值 1．（2023秋•安顺期末）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，整体代入求值即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝4，mn＝﹣3， ∴， 故选：D． 2．（2023秋•盘州市期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则x+x的值为（　　） A．﹣5 B．3 C．5 D．7 【分析】即x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，则． 根据根与系数的关系求解即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣3， ∴x+x＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1﹣2×（﹣3）＝7； 故选：D． 3．（2023秋•织金县期末）已知：x1，x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根，（x1+2）（x2+2）＝11，则a的值为 　﹣1　． 【分析】代数式（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积及两根之和，代入即可得到关于a的方程，即可求a的值． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1﹣2a，x1•x2＝a2， ∵（x1+2）（x2+2）＝11， ∴x1x2+2（x1+x2）+4＝11， ∴a2+2（1﹣2a）﹣7＝0， 即a2﹣4a﹣5＝0， 解得a＝﹣1，或a＝5． 又∵Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＝1﹣4a≥0， ∴a≤． ∴a＝5不合题意，舍去． ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 4．（2023秋•遵义期末）已知x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则的值是 　﹣5　． 【分析】根据x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根，可以得到+3x1﹣1＝0，x1+x1＝﹣3，然后将所求式子变形，即可求得所求式子的值． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根， ∴+3x1﹣1＝0，x1+x1＝﹣3， ∴+3x1＝1， ∴ ＝+3x1+2x1+2x2 ＝1+2（x1+x1） ＝1+2×（﹣3） ＝1+（﹣6） ＝﹣5， 故答案为：﹣5． 32．（2023秋•黔东南州期末）设a，b是一元二次方程3x2﹣2x﹣7＝0的两根，则3a2﹣a+b＝　　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到的值即可得出结论． 【解答】解：∵a，b是一元二次方程3x2﹣2x﹣7＝0的两根， ∴3a2﹣2a＝7，， ∴， 故答案为：． 根的判别式与根与系数的综合 1．（2023秋•黔南州期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值． 【分析】（1）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，结合m的取值范围即可得出m的值． 【解答】解：（1）∵方程有两个实数根， ∴Δ＝8m﹣16≥0， ∴m≥2； （2）由根与系数的关系，得：x1+x2＝2（m+1），， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28， ∴x1x2﹣（x1+x2）﹣27＝0， ∴m2+5﹣2（m+1）﹣27＝0， ∴m1＝6，m2＝﹣4， ∵m≥2， ∴m＝6． 2．（2023秋•绥阳县期末）已知关于x的方程：x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根， （1）求实数k的取值范围、 （2）已知方程的一个根为5，求方程的另一个根． 【分析】（1）根据根的判别式求出b2﹣4ac＞0，再求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣k）＞0， 解得：k＞﹣4， ∴k的取值范围是k＞﹣4； （2）设另一个根的值为a，根据根与系数的关系得： a+5＝﹣＝4， 解得a＝﹣1， 即方程的另一个根为﹣1． 3．（2023秋•盘州市期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式2x2+4x+5的最值． 解：2x2+4x+5 ＝（2x2+4x）+5（分离常数项） ＝2（x2+2x）+5（提二次项系数） （配方） ∵2（x+1）2≥0 ∴2（x+1）2+3≥3 ∴当x＝﹣1时，代数式2x2+4x+5取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式﹣a2+6a﹣4的最值； （2）关于x的方程mx2﹣3（m+2）x+2m+7＝0（m≠0）．求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【分析】（1）代数式﹣a2+6a﹣4变形为﹣（a﹣3）2+5，根据非负数得性质得﹣（a﹣3）2≤0，所以当a＝3时，式子有最大值5； （2）由题意得Δ＝[﹣3（m+2）]2﹣4m（2m+7），整理得Δ＝（m+4）2+20，即可判断Δ＝b2﹣4ac＝（m+4）2+20≥20＞0，进而得证结论． 【解答】（1）解：﹣a2+6a﹣4 ＝﹣（a2﹣6a）﹣4 ＝﹣（a2﹣6a+9﹣9）﹣4 ＝﹣[（a﹣3）2﹣9]﹣4 ＝﹣（a﹣3）2+5， ∵﹣（a﹣3）2≤0， ∴﹣（a﹣3）2+5≤5， ∴当a＝3时，代数式﹣a2+6a﹣4取得最大值是5； （2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣3（m+2）]2﹣4m（2m+7） ＝9（m2+4m+4）﹣8m2﹣28m ＝9m2+36m+36﹣8m2﹣28m ＝m2+8m+36 ＝（m+4）2+20， ∵（m+4）2≥0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+4）2+20≥20＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 一元二次方程的实际应用 1．（2023秋•绥阳县期末）如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　　） A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m 【分析】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米的矩形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为5750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米的矩形， 根据题意得：（130﹣3x）（60﹣2x）＝5750， 整理得：3x2﹣220x+1025＝0， 解得：x1＝＞60（舍去），x2＝5． 即垂钓通道的宽度为5米． 故选：B． 2．（2023秋•黔东南州期末）如图，用一条长20m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为x m． （1）直接写出AD的长；（用含x的代数式表示） （2）矩形ABCD的面积是否可以是60m2？请给出你的结论，并用所学知识说明理由． 【分析】（1）根据矩形的周长公式，即可求解； （2）根据矩形的面积公式，得到关于x的方程，根据根的判别式的情况，即可求解， 【解答】解：（1）， 故答案为：（10﹣x）m； （2）矩形ABCD面积＝AB•AD＝x（10﹣x）＝60， 整理得：x2﹣10x+60＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×1×60＝﹣140＜0， ∴方程无解， ∴矩形ABCD的面积不可以是60m2． 3．（2023秋•织金县期末）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元． （1）求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？ （2）当蛋黄粽子销售价为每袋70元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售，经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？ 【分析】（1）设蛋黄粽子的进价是x元/袋，红豆粽子的进价是y元/袋，根据“第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设蛋黄粽子的销售价格为m元/袋，则每袋的销售利润为（m﹣50）元，每天可售出（370﹣5m）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×日销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设蛋黄粽子的进价是x元/袋，红豆粽子的进价是y元/袋， 根据题意得：， 解得：． 答：蛋黄粽子的进价是50元/袋，红豆粽子的进价是20元/袋； （2）设蛋黄粽子的销售价格为m元/袋，则每袋的销售利润为（m﹣50）元，每天可售出20+5（70﹣m）＝（370﹣5m）袋， 根据题意得：（m﹣50）（370﹣5m）＝220， 解得：m2﹣124m+3744＝0， 解得：m1＝52，m2＝72（不符合题意，舍去）． 答：当蛋黄粽子每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元． 4．（2023秋•黔东南州期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【分析】（1）设BC＝x m，则AB＝（33﹣3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33﹣3x）中，取使得（33﹣3x）小于等于15的值即可得出结论； （2）不能，理由如下，设BC＝y m，则AB＝（33﹣3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣111＜0，即可得出结论． 【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝（33﹣3x）m， 依题意，得：x（33﹣3x）＝90， 解得：x1＝6，x2＝5． 当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意， 当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞15，不合题意，舍去． 答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m． （2）不能，理由如下： 设BC＝y m，则AB＝（33﹣3y）m， 依题意，得：y（33﹣3y）＝100， 整理，得：3y2﹣33y+100＝0． ∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0， ∴该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场． 5．（2023秋•盘州市期末）第19届亚洲运动会于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重开幕．亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”共同组成“江南忆”组合，三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱．某网店购进一批亚运会吉祥物“宸宸”和“琮琮”，进货价和销售价如下表： 吉祥物 价格 宸宸 琮琮 进货价（元/个） 59 66 销售价（元/个） 79 88 （1）该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“琮琮”共50个，求购进“宸宸”和“琮琮”各多少个； （2）第一次购进的“宸宸”和“琮琮”售完后，该网店再次购进“宸宸”和“琮琮”共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少： （3）亚运会临近结束时，该网店打算把“宸宸”调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元． 【分析】（1）设“宸宸”购进x个，“琮琮”购进y个，根据用3160元购进“宸宸”和“琮琮”共50个，列出方程组求解即可； （2）设“宸宸”购进m个，则“琮琮”购进（80﹣m）个，设销售利润为W，根据“进货总价不高于4900元”，列出不等式59m+66（80﹣m）≤4900，销售利润为W＝﹣2m+1760，得到，随着m的增大而减小，结合m的范围由此即可求出最大利润； （3）设“宸宸”降价a元，则“宸宸”的售价为（79﹣a）元，由“平均每天销售利润为288元”得到（79﹣a﹣59）（8+2a）＝288，求解即可． 【解答】解：（1）设“宸宸”购进x个，“琮琮”购进y个，依题意得： ， 解得：， 答：“宸宸”购进20个，“琮琮”购进30个； （2）设“宸宸”购进m个，则“琮琮”购进（80﹣m）个，设销售利润为W元，依题意得： W＝（79﹣59）m+（88﹣66）（80﹣m）， W＝﹣2m+1760，W随m的增大而减小， 59m+66（80﹣m）≤4900， 解得：， ∵m取整数， ∴m最小为55， 则W最大＝﹣110+1760＝1650， 80﹣m＝25， 答：“宸宸”购进55个，“琮琮”购进25个，全部销售后，可获得最大利润1650元； （3）设“宸宸”降价a元，则“宸宸”的售价为（79﹣a）元，依题意得： （79﹣a﹣59）（8+2a）＝288， 整理得：a2﹣16a+64＝0， 解得：a1＝a2＝8， 则79﹣a＝71， 答：将销售价定为71元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元． 6．（2023秋•贵阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s． （1）运动几秒时，点P，Q相距6cm？ （2）△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？ 【分析】（1）当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm，利用勾股定理，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）假设△PCQ的面积能等于10cm2，当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm，利用三角形的面积公式，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即△PCQ的面积不能等于10cm2． 【解答】解：（1）6÷1＝6（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm， 根据题意得：t2+（8﹣t）2＝62， 整理得：t2﹣8t+14＝0， 解得：t1＝4﹣，t2＝4+． 答：运动（4﹣）秒或（4+）秒时，点P，Q相距6cm； （2）△PCQ的面积不能等于10cm2，理由如下： 假设△PCQ的面积能等于10cm2，当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm， 根据题意得：t（8﹣t）＝10， 整理得：t2﹣8t+20＝0， ∵Δ＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即△PCQ的面积不能等于10cm2． 7．（2023秋•关岭县期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得： 50（1﹣a）2＝32， 解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2， 答：每次下降的百分率为20%； （2）设每千克应涨价x元，由题意，得 （10+x）（500﹣20x）＝6000， 整理，得 x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， 因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$