专题02 二次函数（6大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（贵州专用）

专题02 二次函数 二次函数的基本性质 1．（2023秋•黔东南州期末）二次函数y＝（x﹣1）2+4的顶点坐标是（　　） A．（1，4） B．（﹣1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，﹣4） 2．（2023秋•关岭县期末）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．当x＝1时，y有最大值3 C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0） 3．（2023秋•黔东南州期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4.5 m﹣2 m﹣0.5 m m﹣0.5 m﹣2 m﹣4.5 … 若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3 4．（2023秋•关岭县期末）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象上有三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1、y2、y3的大小关系为　 　． 二次函数的图像共存 1．（2023秋•黔南州期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•关岭县期末）如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•黔东南州期末）一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 二次函数的平移变换 1．（2023秋•黔南州期末）将抛物线y＝3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x+2）2+5 C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+5 2．（2023秋•黔东南州期末）抛物线y＝x2﹣3可以由抛物线y＝x2向 　 　平移3个单位得到． 3．（2023秋•安顺期末）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣5 B．y＝（x+2）2+5 C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+5 二次函数与坐标轴的交点 1．（2023秋•黔东南州期末）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与x轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023秋•黔南州期末）抛物线y＝x2﹣7x+6与x轴的两个交点之间的距离为 　 　． 3．（2023秋•黔东南州期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，对称轴是y轴，利用图象解答下列问题： （1）点A、B的坐标分别是：A（ 　 　），B（ 　 　）； （2）若y＞0，则x的取值范围是 　 　； （3）函数y的最小值是 　 　． 二次函数的基本应用 1．（2023秋•民权县期末）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围． 2．（2023秋•遵义期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的横坐标为4，当x＝时，y有最大值． （1）求二次函数的表达式； （2）点P在对称轴上，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 3．（2023秋•黔东南州期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于C（0，3），点P在抛物线上，横坐标设为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围； （3）若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m，求m的值． 二次函数的实际应用 1．（2023秋•绥阳县期末）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，900），其中0≤x≤30．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测40人． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？ 2．（2023秋•黔南州期末）2020年是国家实施精准扶贫，实现贫困人口全面脱贫的决胜之年，贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓．今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大规模，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）． （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 3．（2023秋•遵义期末）某商品每件的成本为100元，销售价（元/件）与时间（天）之间的函数关系如图所示商家预测未来30天的日销售量（件）与时间（天）满足函数表达式y＝﹣2x+140． （1）求销售价（元/件）与时间（天）之间的函数表达式，写出自变量的取值范围； （2）在未来30天中哪天销售利润最大？求出该天销售利润． 4．（2023秋•黔东南州期末）某水果店出售一种水果，该水果的进价为8元/千克，经过往年销售经验可知：以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于进价．设该水果的销售单价为x元/千克（x≥8），每天售出水果的总重量为y千克． （1）求y与x的函数关系式； （2）设水果店每天的销售利润为w元，试求出w与x（x≥8）的函数关系式，并求出当x为何值时，利润W最大，最大利润是多少？ 5．（2023秋•安顺期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何计算工厂生产线数量？ 素材1 2023年10月8日，第19届亚运会在杭州胜利闭幕，吉祥物“宸宸、琮琮、莲莲”备受广大观众的喜爱，被大家亲切地称为“三小只”．某工厂为满足市场需求，引进了一条生产线成套生产“三小只”，开工第一天生产了400套“三小只”． 素材2 经调查发现，每条生产线的最大产量与生产线数量有关，若每增加一条生产线，每条生产线的最大产量将减少20套/天，规定每条生产线的最大产量一样． 问题解决 任务1 确定最大产量 根据素材1，开工第一天生产400套“三小只”，为了适应新的生产线，第二天和第三天一条生产线的产量按日平均增长率50%增加，第三天达到最大产量，求第三天的最大产量． 任务2 拟定初方案 结合任务1的结论，现该厂要保证每天生产吉祥物4100套，在一条生产线的基础上，增加一定数量的生产线，同时又要节省投入（生产线越多，投入越大），求增加的生产线数量． 任务3 优化方案 应该增加几条生产线，才能使每天生产吉祥物的产量达到最大？ 6．（2023秋•黔东南州期末）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）． （1）当x＝50时，总利润为 　 　元； （2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 　 　； （3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 利用二次函数的性质求值 1．（2023秋•绥阳县期末）若抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 2．（2023秋•黔东南州期末）已知二次函数y＝﹣+bx的对称轴为直线x＝1，当m≤x≤n时，y的取值范围是2m≤y≤2n．则m+n的值为（　　） A．﹣6或﹣2 B．或 C． D．﹣2 3．（2023秋•遵义期末）在平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与坐标轴交于A，B，C三点，则下列说法正确的是（　　） （1）b2﹣4ac＜0； （2）若△ABC是周长为2的等边三角形，c＞0，则函数图象经过点（1，﹣2）； （3）若a，c的值不变，则△ABC的面积随|b|的增大而减小； （4）若△ABC是直角三角形，则ax2+bx+c＝0的判别式Δ≥4． A．（1）（3） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 4．（2023秋•绥阳县期末）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（　　） A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n 利用二次函数的平移求值 1．（2023秋•绥阳县期末）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是　 　． 2．（2023秋•关岭县期末）如图，抛物线y＝﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A．﹣3＜m＜﹣ B． C．﹣2＜m＜ D．﹣3＜m＜﹣2 二次函数图像与系数的关系 1．（2023秋•黔东南州期末）在平面直角坐标系中有E、F、G、H四个点，其中恰好有三个点在二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中在函数y＝ax2+bx+c的图象上的三个点是（　　） A．E、F、G B．E、F、H C．E、G、H D．F、G、H 2．（2023秋•黔南州期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＜a+b（m≠1）；⑤3a+c＜0，其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2023秋•凉州区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③若m为任意实数，则有a+b≥am2+bm；④若，且x1≠x2，则x1+x2＝2；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（　　） ①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二次函数的综合应用 1．（2023秋•绥阳县期末）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中． （1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？ （2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值； （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围． 2．（2023秋•关岭县期末）按要求解答． （1）某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2000米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ （2）隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC＝OD＝4米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM＝10.8米．建立如图所示的直角坐标系．①求此抛物线的函数表达式（函数表达式用一般式表示） ②已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？请说明理由．（参考值：≈5.92） 3．（2023秋•黔南州期末）抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N． （1）求该抛物线的解析式； （2）过点C作CH⊥PN于点H，BN＝3CH． ①求点P的坐标； ②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数 二次函数的基本性质 1．（2023秋•黔东南州期末）二次函数y＝（x﹣1）2+4的顶点坐标是（　　） A．（1，4） B．（﹣1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，﹣4） 【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：y＝（x﹣1）2+4是抛物线解析式的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知， 顶点坐标为（1，4）， 故选：A． 2．（2023秋•关岭县期末）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．当x＝1时，y有最大值3 C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0） 【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、D，令y＝0，解关于x的一元二次方程则可求得答案． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）， ∵a＝﹣1＜0， ∴开口向下， 故A正确，不符合题意； ∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4， 故B不正确，符合题意； 当x＜1时，y随x的增大而增大， 故C正确，不符合题意； 令y＝0可得﹣（x﹣1）2+4＝x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）， 故C正确，不符合题意． 故选：B． 3．（2023秋•黔东南州期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … m﹣4.5 m﹣2 m﹣0.5 m m﹣0.5 m﹣2 m﹣4.5 … 若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x＝＝1，故C错误，不合题意； 由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小， ∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意； ∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5， ∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1， ∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意； 由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间， 故对应的x的值在﹣1与0之间， 故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意． 故选：D． 4．（2023秋•关岭县期末）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象上有三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1、y2、y3的大小关系为　y2＜y1＜y3　． 【分析】对二次函数y＝3（x﹣1）2+1，对称轴x＝1，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小． 【解答】解：在二次函数y＝3（x﹣1）2+1，对称轴x＝1， 在图象上的三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）， |2﹣1|＜|4﹣1|＜|﹣3﹣1|， 则y1、y2、y3的大小关系为y2＜y1＜y3． 故答案为y2＜y1＜y3． 二次函数的图像共存 1．（2023秋•黔南州期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项错误； B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项正确； C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 2．（2023秋•关岭县期末）如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+c的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，不一致； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，不一致； 都过点（0，c），正确； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，不交于y轴同一点，不一致； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，都过点（0，c），一致； 故选：D． 3．（2023秋•黔东南州期末）一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的图象和一次函数与x轴，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【解答】解：由一次函数y＝x+a可知，一次函数的图象与x轴交于（﹣a，0），与y轴交于点（0，a），由二次函数y＝ax2﹣a可知，抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（1，0），与y轴交于点（0，﹣a）， ∵两个函数的图象与x轴交于不同的两点，与y轴交于不同的两点， ∴A、B、D不可能， 选项C中，由直线经过一、三、四象限可知a＜0，由抛物线可知开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，故C有可能； 故选：C． 二次函数的平移变换 1．（2023秋•黔南州期末）将抛物线y＝3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x+2）2+5 C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+5 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y＝3（x+2）2+2； 再向下平移3个单位为：y＝3（x+2）2+2﹣3，即y＝3（x+2）2﹣1． 故选：C． 2．（2023秋•黔东南州期末）抛物线y＝x2﹣3可以由抛物线y＝x2向 　下　平移3个单位得到． 【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究． 【解答】解：抛物线y＝x2顶点为（0，0），抛物线y＝x2﹣3的顶点为（0，﹣3），则抛物线y＝x2向下平移3个单位得到抛物线y＝x2﹣3． 故答案为：下． 3．（2023秋•安顺期末）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣5 B．y＝（x+2）2+5 C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+5 【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可． 【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0）， 先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5）， 所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5． 故选：A． 二次函数与坐标轴的交点 1．（2023秋•黔东南州期末）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与x轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】令y＝0，求一元二次方程的解可判断抛物线与x轴的交点个数． 【解答】解：令y＝0，则0＝﹣x2+4x﹣4， 解得x1＝x2＝2， ∴抛物线与x轴交点为（2，0）． 故选：B． 2．（2023秋•黔南州期末）抛物线y＝x2﹣7x+6与x轴的两个交点之间的距离为 　5　． 【分析】令y＝0，则有x2﹣7x+6＝0，（x﹣6）（x﹣1）＝0，则x1＝6，x2＝1，所以抛物线与x轴的两个交点之间的距离＝6﹣1＝5． 【解答】解：令y＝0，则有x2﹣7x+6＝0， （x﹣6）（x﹣1）＝0， ∴x1＝6，x2＝1， ∴与x轴的两个交点之间的距离＝6﹣1＝5， 故答案为：5． 3．（2023秋•黔东南州期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，对称轴是y轴，利用图象解答下列问题： （1）点A、B的坐标分别是：A（ 　﹣2，0　），B（ 　2，0　）； （2）若y＞0，则x的取值范围是 　x＜﹣2或 x＞2　； （3）函数y的最小值是 　﹣4　． 【分析】（1）依据题意，由A（﹣2，0）及抛物线关于y轴对称，进而可以求得B点坐标； （2）依据题意，由抛物线在x轴上方部分的图象满足y＞0，进而可以判断得解； （3）依据题意，根据抛物线的顶点为（0，﹣4），开口向上，即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，A（﹣2，0）， 又抛物线对称轴是y轴， ∴B（2，0）． 故答案为：（﹣2，0），（2，0）． （2）由题意，抛物线在x轴上方部分的图象满足y＞0， ∴x＜﹣2或 x＞2． 故答案为：x＜﹣2或 x＞2． （3）由题意，根据抛物线的顶点为（0，﹣4），开口向上， ∴函数y的最小值是﹣4． 故答案为：﹣4． 二次函数的基本应用 1．（2023秋•民权县期末）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标； （2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案． 【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5， ∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）； （2）如图： ∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2）， ∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1． 2．（2023秋•遵义期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的横坐标为4，当x＝时，y有最大值． （1）求二次函数的表达式； （2）点P在对称轴上，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 【分析】（1）依据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣）2+，又抛物线过点B（4，0），进而求出a的值，故可得解； （2）依据题意，首先连接BC交抛物线的对称轴l于点P，此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得BC的解析式，继而求得答案． 【解答】解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣）2+， 又抛物线过点B（4，0）， ∴0＝a（4﹣）2+． ∴a＝﹣1． ∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣）2+． （2）由题意，∵二次函数是y＝﹣（x﹣）2+， ∴对称轴是直线x＝． 由于A、B两点关于直线x＝对称，连接BC交直线x＝于点P，则点P即为所求，如图， 由题意，令x＝0，则y＝﹣（0﹣）2+＝4． ∴C（0，4）． 又B（4，0）， ∴可设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入得： ， ∴解得：． ∴y＝﹣x+4， 当x＝时，y＝﹣+4＝， ∴点P的坐标为P（，）． 3．（2023秋•黔东南州期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于C（0，3），点P在抛物线上，横坐标设为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围； （3）若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m，求m的值． 【分析】（1）依据题意，将A、C两点坐标代入已知解析式，进而建立方程组，从而可以得解； （2）依据题意，由A点坐标结合解析式可以求出B点坐标，进而判断m的范围； （3）依据题意，进行分类讨论后即可得解． 【解答】解：（1）由题意，将A、C两点坐标代入已知解析式得，， ∴． ∴所求解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）由题意，抛物线交x轴于A、B两点， 又解析式为y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0）， ∴令y＝0，有﹣x2+2x+3＝0，又一个根是﹣1． ∴根据两根之积为﹣3，从而可以求得B（3，0）． ∴结合图象，当点P在x轴上方时，﹣1＜m＜3． （3）由题意，y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1． 当m≤1时，当x＝1时，P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m＝4， ∴m＝﹣5． 当m＞1时，当x＝m时，P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为﹣1﹣m＝﹣m2+2m+3， ∴m1＝﹣1（舍去），m2＝4． 综上，符合题意得m为﹣5或4． 二次函数的实际应用 1．（2023秋•绥阳县期末）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，900），其中0≤x≤30．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测40人． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？ 【分析】（1）依据题意，由顶点坐标为（30，900），可设y＝a（x﹣30）2+900，再将（0，0）代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式； （2）依据题意，设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w＝y﹣40x及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵顶点坐标为（30，900）， ∴设y＝a（x﹣30）2+900， 将（0，0）代入，得：900a+900＝0， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣30）2+900． （2）设第x分钟时的排队等待人数为w人， 由题意可得：w＝y﹣40x ＝﹣（x﹣30）2+900﹣40x ＝﹣x2+60x﹣900+900﹣40x ＝﹣x2+20x ＝﹣（x﹣10）2+100， ∴当x＝10时，w的最大值为100， 答：排队等待人数最多时是100人． 2．（2023秋•黔南州期末）2020年是国家实施精准扶贫，实现贫困人口全面脱贫的决胜之年，贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓．今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大规模，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）． （1）m＝　﹣　，n＝　25　； （2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克，把x＝12，y＝32和x＝26，y＝25分别代入函数解析式即可求得答案； （2）先用含x的式子表示出第x天的销售量，再分段列出二次函数关系式和一次函数关系式并根据相应的函数性质求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得：32＝12m﹣76m，n＝25， ∴m＝﹣，n＝25． 故答案为：﹣，25； （2）由题意可知，第x天的销售量为20+4（x﹣1）＝（4x+16）（千克）， ∴当1≤x＜20时， W＝（4x+16）（﹣x+38﹣18） ＝﹣2x2+72x+320 ＝﹣2（x﹣18）2+968． ∵﹣2＜0，对称轴为x＝18， ∴当x＝18时，W有最大值，W最大值＝968； 当20≤x≤30时， W＝（4x+16）（25﹣18）＝28x+112， ∵28＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝30时，W最大值＝952． ∵968＞952， ∴当x＝18时，W最大值＝968， 即销售蓝莓第18天时，当天的利润最大，最大利润是968元． 3．（2023秋•遵义期末）某商品每件的成本为100元，销售价（元/件）与时间（天）之间的函数关系如图所示商家预测未来30天的日销售量（件）与时间（天）满足函数表达式y＝﹣2x+140． （1）求销售价（元/件）与时间（天）之间的函数表达式，写出自变量的取值范围； （2）在未来30天中哪天销售利润最大？求出该天销售利润． 【分析】（1）根据图象，用待定系数法求出函数解析式，并求出自变量的取值范围； （2）设未来30天每天的销售利润为w元，根据每天的利润＝每件商品的利润×每天的销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设销售价（元/件）与时间（天）之间的函数表达式为s＝kx+b， 将（10，120）和（30，130）代入解析式得：， 解得， ∴销售价（元/件）与时间（天）之间的函数表达式为s＝x+115（1≤x≤30，且x为正整数）； （2）设未来30天每天的销售利润为w元， 则w＝（x+115﹣100）（﹣2x+140）＝﹣x2+40x+2100＝﹣（x﹣20）2+2500， ∵﹣1＜0，1≤x≤30，且x为正整数， ∴当x＝20时，w最大，最大值为2500， ∴未来30天中第20天销售利润最大，该天销售利润为2500元． 4．（2023秋•黔东南州期末）某水果店出售一种水果，该水果的进价为8元/千克，经过往年销售经验可知：以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于进价．设该水果的销售单价为x元/千克（x≥8），每天售出水果的总重量为y千克． （1）求y与x的函数关系式； （2）设水果店每天的销售利润为w元，试求出w与x（x≥8）的函数关系式，并求出当x为何值时，利润W最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）根据“以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于进价．”即可列出函数关系式； （2）根据题意，可得w＝（x﹣8）（﹣4x+108），再根据二次函数的性质，即得答案． 【解答】解：（1）依题意得：， 即y＝﹣4x+108（x≥8）； （2）依题意得：w＝（x﹣8）（﹣4x+108） ＝﹣4x2+140x﹣864 ＝， ∴当时，利润最大，最大利润为361元． 5．（2023秋•安顺期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何计算工厂生产线数量？ 素材1 2023年10月8日，第19届亚运会在杭州胜利闭幕，吉祥物“宸宸、琮琮、莲莲”备受广大观众的喜爱，被大家亲切地称为“三小只”．某工厂为满足市场需求，引进了一条生产线成套生产“三小只”，开工第一天生产了400套“三小只”． ⊈ 素材2 经调查发现，每条生产线的最大产量与生产线数量有关，若每增加一条生产线，每条生产线的最大产量将减少20套/天，规定每条生产线的最大产量一样． 问题解决 任务1 确定最大产量 根据素材1，开工第一天生产400套“三小只”，为了适应新的生产线，第二天和第三天一条生产线的产量按日平均增长率50%增加，第三天达到最大产量，求第三天的最大产量． 任务2 拟定初方案 结合任务1的结论，现该厂要保证每天生产吉祥物4100套，在一条生产线的基础上，增加一定数量的生产线，同时又要节省投入（生产线越多，投入越大），求增加的生产线数量． 任务3 优化方案 应该增加几条生产线，才能使每天生产吉祥物的产量达到最大？ 【分析】任务1：根据题意列式计算即可； 任务2：设增加m条生产线，根据生产线条数乘以每条生产线产量可得：（m+1）（900﹣20m）＝4100，可解得答案； 任务3：设增加x条生产线，每天生产y套，可得：y＝（x+1）（900﹣20x）＝﹣20x2+880x+900＝﹣20（x﹣22）2+10580，根据二次函数性质可得答案． 【解答】解：任务1： ∵400×（1+50%）2＝900（套）， ∴1条生产线的最大产量是900套； 任务2： 设增加m条生产线， 根据题意得：（m+1）（900﹣20m）＝4100， 解得m＝4或m＝40， ∵要节省投入， ∴m＝4， ∴增加4条生产线； 任务3： 设增加x条生产线，每天生产y套， 根据题意得：y＝（x+1）（900﹣20x）＝﹣20x2+880x+900＝﹣20（x﹣22）2+10580， ∵﹣20＜0， ∴当x＝22时，y取最大值10580， ∴应该增加22条生产线，才能使每天生产吉祥物的产量达到最大． 6．（2023秋•黔东南州期末）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）． （1）当x＝50时，总利润为 　400　元； （2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 　w＝﹣2x2+220x﹣5600　； （3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意先求出当x＝50时的销售量，再求出利润即可； （2）每件进价是40元，销售单价为x元，则每件利润为（x﹣40）元，从而根据利润等于每件的利润乘以销售量可得w关于x的函数关系式； （3）每天的销售量不少于38件，可得不等式，解得x的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【解答】解：（1）当x＝50时，销售量为y＝﹣2×50+140＝40（件）， 利润为：（50﹣40）×40＝400（元）， 故答案为：400； （2）由题意得： w＝y•（x﹣40） ＝（﹣2x+140）（x﹣40） ＝﹣2x2+220x﹣5600， ∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40）， 故答案为：w＝﹣2x2+220x﹣5600； （3）∵y≥38， ∴﹣2x+140≥38， 解得：x≤51． ∵w＝﹣2x2+220x﹣5600 ＝﹣2（x﹣55）2+450， ∴对称轴为x＝55，抛物线开口向下， ∴当x≤55时，w随x的增大而增大， ∵x≤51， ∴当x＝51时，w有最大值，最大值为：﹣2×512+220×51﹣5600＝418． ∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 利用二次函数的性质求值 1．（2023秋•绥阳县期末）若抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】根据抛物线的对称轴公式，列出关于a的方程即可解答． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴， ∴， 解得：a＝0， 故选：C． 2．（2023秋•黔东南州期末）已知二次函数y＝﹣+bx的对称轴为直线x＝1，当m≤x≤n时，y的取值范围是2m≤y≤2n．则m+n的值为（　　） A．﹣6或﹣2 B．或 C． D．﹣2 【分析】先求解析式为，判定，再利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：∵二次函数的对称轴为x＝1， ∴，即b＝1， ∴， 当x＝1时，有最大值， ∴， ∴， ∴当m≤x≤n时，y随x的增大而增大， ∴，， 解得：m＝0或m＝﹣2；n＝0或n＝﹣2； 经检验m＝n时，不符合题意； ∴m＝﹣2，n＝0， ∴m+n＝﹣2． 故选：D． 3．（2023秋•遵义期末）在平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与坐标轴交于A，B，C三点，则下列说法正确的是（　　） （1）b2﹣4ac＜0； （2）若△ABC是周长为2的等边三角形，c＞0，则函数图象经过点（1，﹣2）； （3）若a，c的值不变，则△ABC的面积随|b|的增大而减小； （4）若△ABC是直角三角形，则ax2+bx+c＝0的判别式Δ≥4． A．（1）（3） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 【分析】（1）根据图象与坐标轴三个交点可判断； （2）根据条件求出抛物线解析式y＝﹣3x2+1，将点（1，﹣2）代入验证即可； （3）设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C（0，c），c≠0，由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）可得，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，则：AB＝丨x1﹣x2丨＝＝＝＝，OC＝丨c丨，S△ABC＝＝×丨c丨＝×， 若a，c的值不变，当|b|增大时，△ABC的面积也增大即可判断正误； （4）由点A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），则AB2＝（x1﹣x2）2，AC2＝+c2，BC2＝+c2，直角三角形ABC中，只能是AC⊥BC，则有AC2+BC2＝AB2，即：+c2++c2＝（x1﹣x2）2＝﹣2x1x2+，整理得2c2＝﹣2x1x2，c2＝﹣，c＝﹣，所以ac＝﹣1，则方程ax2+bx+c＝0的判别式为Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4≥4即可判断． 【解答】解：（1）根据二次函数的图象特征，与坐标轴交于A，B，C三点，必有b2﹣4ac＞0，故（1）错误； （2）c＞0，与x轴有两个交点，△ABC是周长为2的等边三角形，则抛物线对称轴为y轴，于x轴两个交点为（﹣，0），（，0）可得函数解析式为y＝﹣3x2+1，当x＝1时，y＝﹣2，故点（1，﹣2）在抛物线上，所以（2）正确； （3）设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C（0，c），c≠0，由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）可得，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，则： AB＝丨x1﹣x2丨＝＝＝＝，OC＝丨c丨， ∴S△ABC＝＝×丨c丨＝×， 若a，c的值不变，当|b|增大时，△ABC的面积也增大，故（3）错误； （4）由点A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），则AB2＝（x1﹣x2）2，AC2＝+c2，BC2＝+c2，直角三角形ABC中，只能是AC⊥BC，则有AC2+BC2＝AB2，即： +c2++c2＝（x1﹣x2）2＝﹣2x1x2+，整理得2c2＝﹣2x1x2，c2＝﹣，c＝﹣，所以ac＝﹣1， 则方程ax2+bx+c＝0的判别式为Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4≥4，故（4）正确， 故选：C． 4．（2023秋•绥阳县期末）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（　　） A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n 【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得m，n，s，t的大小关系． 【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1， 由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向上， 则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点在x轴下方，坐标为（s，﹣1），（t，﹣1）， ∴m＜s＜t＜n． 故选：C． 利用二次函数的平移求值 1．（2023秋•绥阳县期末）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是　2≤m≤8　． 【分析】根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围． 【解答】解：设平移后的解析式为y＝（x+1）2﹣m， 将B点坐标代入，得 4﹣m＝2，解得m＝2， 将D点坐标代入，得 9﹣m＝1，解得m＝8， y＝（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8， 故答案为：2≤m≤8． 2．（2023秋•关岭县期末）如图，抛物线y＝﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A．﹣3＜m＜﹣ B． C．﹣2＜m＜ D．﹣3＜m＜﹣2 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝﹣x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝﹣x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【解答】解：令y＝﹣2x2﹣8x﹣6＝0， 即x2+4x+3＝0， 解得x＝﹣1或﹣3， 则点A（﹣1，0），B（﹣3，0）， 由于将C1向左平移2个长度单位得C2， 则C2解析式为y＝﹣2（x+4）2+2（﹣5≤x≤﹣3）， 当y＝﹣x+m1与C2相切时， 令y＝﹣x+m1＝y＝﹣2（x+4）2+2， 即2x2+15x+30+m1＝0， △＝﹣8m1﹣15＝0， 解得m1＝﹣， 当y＝﹣x+m2过点B时， 即0＝3+m2， m2＝﹣3， 当﹣3＜m＜﹣时直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点， 故选：A． 二次函数图像与系数的关系 1．（2023秋•黔东南州期末）在平面直角坐标系中有E、F、G、H四个点，其中恰好有三个点在二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中在函数y＝ax2+bx+c的图象上的三个点是（　　） A．E、F、G B．E、F、H C．E、G、H D．F、G、H 【分析】根据抛G、H的横坐标相同，可以判定G、H不会同时在二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，根据a＜0可知抛物线开口向下，可以判定E、F、H在二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上． 【解答】解：由四点的位置可知，G、H的横坐标相同，故G、H不会同时在二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）， ∴抛物线开口向下， ∴在函数y＝ax2+bx+c的图象上的三个点是E、F、H， 故选：B． 2．（2023秋•黔南州期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＜a+b（m≠1）；⑤3a+c＜0，其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴x＝1及对称轴公式可判断结论②；根据图象即可判断结论③；由函数的最值判断结论④；抛物线的对称轴直线x＝1，过点（3，0），可判断出另一个交点为（﹣1，0），即可判断结论⑤． 【解答】解：∵抛物线开口向下、顶点在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确； 由图象可知当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故③正确； ∵x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c， ∴当m≠1时，则am2+bm+c＜a+b+c，即am2+bm＜a+b，故④正确； ∵抛物线的对称轴直线x＝1，过点（3，0）， ∴另一个交点为（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0， ∵b＝﹣2a， ∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故⑤错误． 故选：B． 3．（2023秋•凉州区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③若m为任意实数，则有a+b≥am2+bm；④若，且x1≠x2，则x1+x2＝2；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，c＞0，﹣＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边， ∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间， ∴a﹣b+c＜0，故②正确； ③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下， ∴x＝1时，函数最大值是a+b+c； ∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥am2+bm，故③正确； ④∵， ∴+bx1﹣﹣bx2＝0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， ∵x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0， ∵x1+x2＝﹣，b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2，故④正确； 故正确的有3个， 故选：C． 4．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（　　） ①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图上给的信息，结合二次函数的性质去判断对错即可． 【解答】解：①如图所示，图象开口向上， ∴a＞0， ∵图象与y轴的交点在x轴下方 ∴c＜0， ∵图象的对称轴在y轴的左边，且a＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②根据图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确； ③由图可得，当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，故③正确； ④由图可得，﹣＞﹣1， ∵a＞0， ∴2a＞b， ∴2a﹣b＞0，故④正确； ⑤当x＝1时，a+b+c＝2， ∴a+c＝2﹣b， ∵a﹣b+c＜0， ∴2﹣b﹣b＜0，解得：b＞1， ∴2﹣b＜1， ∴a+c＜1，故⑤正确； 综上所述，共有4个是正确的； 故选：D． 二次函数的综合应用 1．（2023秋•绥阳县期末）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中． （1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？ （2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值； （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围． 【分析】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t＝； （2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为； （3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4． 【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得： 1＝4﹣4t+3， 解得：t＝； （2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t． 若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值， ∴t2﹣2t2+3＝﹣2， 解得t＝； 若t＞3，当x＝3时函数取最小值， ∴9﹣6t+3＝﹣2， 解得 （不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为； （3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上， ∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1， ∴t＝m﹣1， ∵t＞0， ∴m﹣1＞0， 解得m＞1， ∵m﹣2＜m， ∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， 在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3， ∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3）， ∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3）， ∵b＜3， ∴4＜2m﹣2， 解得m＞3； ①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时， ∵y随x的增大而减小，且a＜b， ∴4＜m﹣2， 解得m＞6， 此时m满足的条件为m＞6； ②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时， ∵a＜b， ∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离， ∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2）， 解得：m＜4， 此时m满足的条件是3＜m＜4， 综上所述，3＜m＜4或m＞6． 2．（2023秋•关岭县期末）按要求解答． （1）某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2000米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ （2）隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC＝OD＝4米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM＝10.8米．建立如图所示的直角坐标系．①求此抛物线的函数表达式（函数表达式用一般式表示） ②已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？请说明理由．（参考值：≈5.92） 【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）①由题意可得E（﹣4，0），F（4，0），A（﹣6，0），B（6，0），M（0，10.8），然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令x＝4时求得y＝6，然后再减去0.5即可解答；③如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，令y＝0.3可解答点G的横坐标为，然后求出FG的长度即可解答． 【解答】解：（1）设原计划每天修x米， 则根据题意可得：， 解得：x＝﹣15或x＝20， 经检验，x＝20是分式方程的解． 答：原计划每天修20米． （2）①根据题意可得：C（﹣4，0），D（4，0），A（﹣6，0），B（6，0），M（0，10.8）， 设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c， 由题意可得：， 解得：， 所以抛物线的函数表达式为y＝﹣0.3x2+10.8， ②∵车的宽度为4米，车从正中通过， 如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3， 令y＝0.3，则有：0.3＝﹣0.3x2+10.8， 解得：（舍弃负值）， ∴人行道台阶的宽度为：， ∴人行道宽度设计达标． 3．（2023秋•黔南州期末）抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N． （1）求该抛物线的解析式； （2）过点C作CH⊥PN于点H，BN＝3CH． ①求点P的坐标； ②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法可得y＝x2﹣x﹣4； （2）①求出C（0，﹣4），设P（m，m2﹣m﹣4），可得BN＝4﹣m，CH＝m，由BN＝3CH，知4﹣m＝3m，解得P（1，﹣）； ②设Q（0，t），可得CP2＝，CQ2＝（t+4）2，PQ2＝1+（t+）2，分三种情况：当CP为斜边时，（t+4）2+1+（t+）2＝，当CQ为斜边时，（t+4）2＝1+（t+）2+，当PQ为斜边时，1+（t+）2＝（t+4）2+，分别解方程可得答案． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0）和B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得： ， 解得， ∴y＝x2﹣x﹣4； （2）①如图： 在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， 设P（m，m2﹣m﹣4），则H（m，﹣4），N（m，0）， ∵B（4，0）， ∴BN＝4﹣m，CH＝m， ∵BN＝3CH， ∴4﹣m＝3m， 解得m＝1， ∴P（1，﹣）； ②如图： 由①得：C（0，﹣4），P（1，﹣）， 设Q（0，t）， ∴CP2＝，CQ2＝（t+4）2，PQ2＝1+（t+）2， 当CP为斜边时，CQ2+PQ2＝CP2， ∴（t+4）2+1+（t+）2＝， 化简得2t2+17t+36＝0， 解得t＝﹣4（与C重合，舍去）或t＝﹣， ∴Q（0，﹣）； 当CQ为斜边时，CQ2＝PQ2+CP2， ∴（t+4）2＝1+（t+）2+， 解得t＝﹣， ∴Q（0，﹣）； 当PQ为斜边时，PQ2＝CQ2+CP2， ∴1+（t+）2＝（t+4）2+， 解得t＝﹣4（舍去）， 综上所述，Q的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）． ( 2 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