专题03 轴对称（5大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（贵州专用）

专题03 轴对称 判断轴对称图形 1．（2024春•遵义期末）下列运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•贵阳期末）下列交通标识的图案中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•盘州市期末）下列图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•贵州期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•金沙县校级期末）下列图标中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 垂直平分线的性质 1．（2023秋•安顺期末）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 2．（2024春•南明区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝6cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于14cm，则AC的长等于（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 3．（2023秋•黔南州期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，连接BD．如果△DBC的周长等于10cm，BC＝4cm，那么AC的长是（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．9cm 4．（2023秋•关岭县期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OC．若∠AOC＝80°，则∠B的度数为 　 　． 5．（2024春•金沙县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6． （1）AD与BD的数量关系为　 　． （2）求BC的长． （3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长． 尺规作图 1．（2023秋•黔东南州期末）在△ABC的BC边上找一点P，使得PA+PC＝BC．下面找法正确的是（　　） A．以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求 B．以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求 C．作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求 D．作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求 2．（2024春•织金县期末）如图，有甲、乙两种作图方式，根据圆规作图的痕迹，再利用直尺能够作出线段垂直平分线的是（　　） A．只有乙可以 B．甲、乙都不可以 C．只有甲可以 D．甲、乙都可以 3．（2024春•金沙县期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD． （1）用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接PD、求证：PD＝PB． 4．（2024春•贵州期末）在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，其中点D在边BC上． （1）用圆规和直尺在图中作出角平分线AD．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若∠C＝80°，∠B＝40°，求∠ADB的度数． 关于坐标轴对称的点的坐标 1．（2023秋•织金县期末）点P（﹣3，5）关于y轴对称点的坐标为（　　） A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5） 2．（2023秋•绥阳县期末）点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），那么点P关于y轴对称点N的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，5） C．（﹣4，﹣5） D．（﹣5，4） 3．（2023秋•黔东南州期末）已知点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（　　） A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2） 4．（2023秋•安顺期末）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 　 　． 5．（2023秋•遵义期末）在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴的对称点坐标为（　　） A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 6．（2023秋•威宁县期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标为　 ． 7．（2024春•铜仁市期末）铜仁市少数民族众多，如图是带有苗族元素的刺绣花，它是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（﹣3，n），其关于y轴对称的点B的坐标为（m，2），则m﹣n的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1 对称变换作图 1．（2023秋•盘州市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，1），A点关于y轴的对称点为A1，B点关于x轴的对称点为B1． （1）直接写出点A1的坐标 　 　，直接写出点B1的坐标 　 　； （2）在平面直角坐标系中作出△A1B1C，并求出△A1B1C的面积． 2．（2023秋•遵义期末）图①，图②都是边长为1的3×3正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，按下列要求画图： （1）在图①中，画一条不与线段AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称（A、B的对应点分别为M、N），且M、N均为格点． （2）在图②中，画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于直线EF对称（A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1且A1、B1、C1均为格点），再求出△A1B1C1的面积． 3．（2023秋•绥阳县期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）作出三角形ABC关于直线MN的轴对称图形三角形A1B1C1； （2）求三角形A1B1C1的面积． 4．（2024春•织金县期末）如图是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均为格点．分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）画出四边形ABCD关于直线l的轴对称图形A'B'C'D'； （2）求四边形ABCD的面积． 5．（2023秋•关岭县期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． （1）点A关于 　 　轴对称的点在第四象限；（填“x”或“y”） （2）画出与△ABC关于y轴对称的△A'B'C'； （3）在x轴上作一点P，使其到点B，C的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 6．（2023秋•遵义期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形），各顶点均在格点上． （1）直接写出各顶点的坐标：A（ 　 　），B（ 　 　），C（ 　 　）； （2）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； （3）将△ABC向左平移5个单位长度再向下平移4个单位长度，得到△A2B2C2． ①在平面直角坐标系中画出△A2B2C2； ②若点P（a，b）是△ABC上一点，平移后的对应点P2的坐标为 　 　． 7．（2023秋•绥阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）直接写出点A1、B1、C1的坐标； （3）在△A1B1C1中，∠A1＝27°，求B1C1边上的高与A1C1所夹角的度数． 垂直平分线的作图与性质 1．（2024春•金沙县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BD，BE，使BD＝BE．分别以点D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F，作射线BF交AC于点H，过点H作HP⊥BC于点P，若HA＝2，则HP的长为（　　） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 2．（2024春•遵义期末）如图，在△ABC中，分别以B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AB于点D，连接CD．若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（　　） A．25° B．30° C．45° D．50° 3．（2023秋•印江县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝2，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．2 B．1 C．4 D．无法确定 4．（2023秋•遵义期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝4，小新同学按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BC，BA于点M，N；（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，过点P作射线BP，交AC于点D；若BD＝BC，则△BCD的面积为 　 　． 等腰三角形的性质 1．（2023秋•绥阳县期末）已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是（　　） A．3 B．8 C．3或8 D．13 2．（2023秋•都匀市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．32.5° 3．（2023秋•印江县期末）若等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角的度数为（　　） A．100° B．80° C．20° D．80°或20° 4．（2024春•铜仁市期末）等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为4cm，则该等腰三角形的周长为（　　） A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．14cm或18cm 5．（2024春•六盘水期末）已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为5，则它的周长是（　　） A．18 B．21 C．18或21 D．26 6．（2024春•织金县期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝72°，点D是BC的中点． （1）求∠C的度数； （2）求∠CAD的度数； （3）若EA＝ED，试说明：ED∥AB． 等腰三角形的判定与性质 1．（2023秋•印江县期末）在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 2．（2023秋•黔东南州期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE 　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 30°直角三角形的性质 1．（2024春•贵阳期末）如图，点C为直线AB上一个定点，点D为直线AB上一个动点，直线AB外有一点P，CP＝4，∠PCB＝30°，当PD最短时，则PD的长是（　　） A． B．2 C． D．4 2．（2023秋•遵义期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024春•南明区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，则AC的值为 　 　cm． 4．（2023秋•绥阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝15，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，EF，DF，若BD＝6，且△DEF是等边三角形，则CF＝　 　． 5．（2023秋•播州区期末）如图，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，以点A为圆心、AE的长为半径画弧，交AC于点B、分别以点B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP．交CE于点D．若∠C＝30°，则的值为 　 　． 6．（2023秋•安顺期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°． （1）求∠C的度数； （2）若DE＝2，求BC的长． 最短路径问题 1．（2024春•贵州期末）如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，且AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，BE+EF的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2023秋•遵义期末）如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 3．（2023秋•绥阳县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，点P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．（2023秋•碧江区 期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 　 　． 5．（2023秋•印江县期末）如图，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是边AC的中点．当△ECF的周长取得最小值时，∠EFC的度数为 　 　°． 6．（2024春•贵州期末）如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为　 　． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称 判断轴对称图形 1．（2024春•遵义期末）下列运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形， 故选：C． 2．（2024春•贵阳期末）下列交通标识的图案中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答即可． 【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 3．（2023秋•盘州市期末）下列图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 【分析】A选项图形的对称轴有0条，B选项图形的对称轴有2条，C选项图形的对称轴有2条，D选项图形的对称轴有4条，即可得出答案． 【解答】解：A选项的图形不是轴对称图形，对称轴有0条，B选项图形的对称轴有2条，C选项图形的对称轴有2条，D选项图形的对称轴有4条， ∴对称轴最多的是D选项． 故选：D． 4．（2024春•贵州期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意利用轴对称图形定义即可得到本题答案． 【解答】解：∵沿着一条直线折叠，直线两边的部分能完全重合的图形为轴对称图形， ∴为轴对称图形， 故选：D． 5．（2024春•金沙县校级期末）下列图标中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，D选项中的图标都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； C选项中的图标不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：C． 垂直平分线的性质 1．（2023秋•安顺期末）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BMN+∠BNM，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MP，NC＝NP，根据等腰三角形的性质得到∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP，计算即可． 【解答】解：∵∠ABC＝80°， ∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣80°＝100°， ∵M、N分别在PA、PC的中垂线上， ∴MA＝MP，NC＝NP， ∴∠MPA＝∠MAP，∠NPC＝∠NCP， ∴∠MPA+∠NPC＝（∠BMN+∠BNM）＝50°， ∴∠APC＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 2．（2024春•南明区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝6cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于14cm，则AC的长等于（　　） A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 【分析】由AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由△BCE的周长等于14cm，可得AC+BC＝14cm，继而求得答案． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝DE， ∵△BCE的周长等于14cm， ∴BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝14cm， ∵BC＝6cm， ∴AC＝8cm． 故选：C． 3．（2023秋•黔南州期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，连接BD．如果△DBC的周长等于10cm，BC＝4cm，那么AC的长是（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．9cm 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA＝DB，根据三角形周长与AC的值即可求得结论． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵△DBC的周长为10cm， ∴CB+CD+DB ＝CB+CD+DA ＝BC+AC ＝10（cm）， ∵AC＝4cm， ∴BC＝6（cm）， 故选：B． 4．（2023秋•关岭县期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OC．若∠AOC＝80°，则∠B的度数为 　40°　． 【分析】连接OB，利用周角定义可得∠AOB+∠BOC＝280°，然后再利用线段垂直平分线的性质可得OA＝OB，OB＝OC，然后利用等腰三角形的性质可得∠ABO＝∠A，∠CBO＝∠C，根据三角形内角和定理得∠ABO+∠A+∠AOB+∠CBO+∠C+∠BOC＝360°，所以∠ABO+∠A+∠CBO+∠C＝80°，∠ABO+∠CBO＝40°即可求出答案． 【解答】解：如图，连接OB， ∵∠AOC＝80°， ∴∠AOB+∠BOC＝280°， ∵线段AB，BC的垂直平分线相交于点O， ∴OA＝OB，OB＝OC， ∴∠ABO＝∠A，∠CBO＝∠C， ∵∠ABO+∠A+∠AOB+∠CBO+∠C+∠BOC＝360°， ∴∠ABO+∠A+∠CBO+∠C＝80°， ∴∠ABO+∠CBO＝40°， ∴∠ABC＝40°． 故答案为：40°． 5．（2024春•金沙县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6． （1）AD与BD的数量关系为　AD＝BD　． （2）求BC的长． （3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答； （2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可； （3）根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， 故答案为：AD＝BD； （2）∵l2是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∵△ADE的周长为6， ∴AD+DE+AE＝6， ∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6； （3）∵l1是线段AB的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是线段AC的垂直平分线， OA＝OC， ∴OB＝OC， ∵△OBC的周长为16，BC＝6， ∴OB+OC＝10， ∴OA＝OB＝OC＝5． 尺规作图 1．（2023秋•黔东南州期末）在△ABC的BC边上找一点P，使得PA+PC＝BC．下面找法正确的是（　　） A．以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求 B．以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求 C．作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求 D．作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求 【分析】根据题意得到PA＝PB，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可． 【解答】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC， ∴PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， 故选项D正确， 故选：D． 2．（2024春•织金县期末）如图，有甲、乙两种作图方式，根据圆规作图的痕迹，再利用直尺能够作出线段垂直平分线的是（　　） A．只有乙可以 B．甲、乙都不可以 C．只有甲可以 D．甲、乙都可以 【分析】由图甲的作图痕迹可知，利用直尺能够作出线段AC的垂直平分线，由图乙的作图痕迹可知，利用直尺能够作出∠BAC的平分线，即可得出答案． 【解答】解：由图甲的作图痕迹可知，利用直尺能够作出线段AC的垂直平分线， 故甲符合题意； 由图乙的作图痕迹可知，利用直尺能够作出∠BAC的平分线， 故乙不符合题意． 故选：C． 3．（2024春•金沙县期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD． （1）用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接PD、求证：PD＝PB． 【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的角平分线即可； （2）通过证明△ABP≌△ADP得到PB＝PD． 【解答】（1）解：如图，AP为所作； （2）证明：∵AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠DAP， 在△ABP和△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（SAS）， ∴PB＝PD． 4．（2024春•贵州期末）在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，其中点D在边BC上． （1）用圆规和直尺在图中作出角平分线AD．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若∠C＝80°，∠B＝40°，求∠ADB的度数． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用三角形内角和定理求出∠CAB＝60°，再根据角平分线的定义求出∠CAD＝30°，再利用三角形的外角的性质求解． 【解答】解：（1）如图，射线AD即为所求； （2）∵∠C＝80°，∠B＝40°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠DAB＝×60°＝30°， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝80°+30°＝110°． 关于坐标轴对称的点的坐标 1．（2023秋•织金县期末）点P（﹣3，5）关于y轴对称点的坐标为（　　） A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5） 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标的特点即可得出答案． 【解答】解：由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变， 可得：点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（3，5）． 故选：C． 2．（2023秋•绥阳县期末）点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），那么点P关于y轴对称点N的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，5） C．（﹣4，﹣5） D．（﹣5，4） 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【解答】解：∵点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5）， ∴P（4，5）， ∴点P关于y轴对称点N的坐标为：（﹣4，5）． 故选：A． 3．（2023秋•黔东南州期末）已知点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（　　） A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2） 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【解答】解：根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点， ∴点P（﹣1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2）． 故选：D． 4．（2023秋•安顺期末）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 　（2，3）　． 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【解答】解：由题意得，在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）关于x轴的对称点的坐标为（2，3）， 故答案为：（2，3）． 5．（2023秋•遵义期末）在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于x轴的对称点坐标为（　　） A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标． 【解答】解：点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标是（2，﹣3）． 故选：B． 6．（2023秋•威宁县期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标为　（3，5）　． 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案． 【解答】解：点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标为（3，5）， 故答案为：（3，5）． 7．（2024春•铜仁市期末）铜仁市少数民族众多，如图是带有苗族元素的刺绣花，它是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（﹣3，n），其关于y轴对称的点B的坐标为（m，2），则m﹣n的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出m、n的值即可得到答案． 【解答】解：∵A（﹣3，n），B（m，2）关于y轴对称， ∴m＝3，n＝2， ∴m﹣n＝3﹣2＝1． 故选：D． 对称变换作图 1．（2023秋•盘州市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，1），A点关于y轴的对称点为A1，B点关于x轴的对称点为B1． （1）直接写出点A1的坐标 　（﹣1，3）　，直接写出点B1的坐标 　（2，﹣1）　； （2）在平面直角坐标系中作出△A1B1C，并求出△A1B1C的面积． 【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可； （2）根据（1）所求先描出A1、B1，再顺次连接A1、B1、C，最后利用割补法求出对应三角形面积即可． 【解答】解：（1）∵A点关于y轴的对称点为A1，B点关于x轴的对称点为B1，A（1，3），B（2，1）， ∴点A1的坐标为（﹣1，3），点B1的坐标（2，﹣1）， 故答案为：（﹣1，3）；（2，﹣1）； （2）如图所示，△A1B1C即为所求； ∴． 2．（2023秋•遵义期末）图①，图②都是边长为1的3×3正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，按下列要求画图： （1）在图①中，画一条不与线段AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称（A、B的对应点分别为M、N），且M、N均为格点． （2）在图②中，画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于直线EF对称（A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1且A1、B1、C1均为格点），再求出△A1B1C1的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图①，线段MN即为所求（答案不唯一）． （2）如图②，△A1B1C1即为所求． △A1B1C1的面积为＝﹣1﹣3＝． 3．（2023秋•绥阳县期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）作出三角形ABC关于直线MN的轴对称图形三角形A1B1C1； （2）求三角形A1B1C1的面积． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； ； （2）△A1B1C1的面积＝． 4．（2024春•织金县期末）如图是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均为格点．分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）画出四边形ABCD关于直线l的轴对称图形A'B'C'D'； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′，D′即可； （2）四边形的面积等于矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可． 【解答】解：（1）如图，四边形A′B′CD′即为所求； （2）四边形ABCD的面积＝3×5﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3 ＝7.5． 5．（2023秋•关岭县期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． （1）点A关于 　x　轴对称的点在第四象限；（填“x”或“y”） （2）画出与△ABC关于y轴对称的△A'B'C'； （3）在x轴上作一点P，使其到点B，C的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'即可； （2）作点B关于x轴的对称点B″， 连接CB″交x轴于点P，则点P到点B，C的距离之和最小． 【解答】解：（1）∵点A在第一象限， ∴点A关于x轴对称的点在第四象限． 故答案为：x； （2）如图所示，△A'B'C'即为所求； （3）如图所示，点P即为所求． 6．（2023秋•遵义期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形），各顶点均在格点上． （1）直接写出各顶点的坐标：A（ 　1，1　），B（ 　4，2　），C（ 　2，3　）； （2）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标； （3）将△ABC向左平移5个单位长度再向下平移4个单位长度，得到△A2B2C2． ①在平面直角坐标系中画出△A2B2C2； ②若点P（a，b）是△ABC上一点，平移后的对应点P2的坐标为 　（a﹣5，b﹣4）　． 【分析】（1）根据图形即可解答； （2）根据轴对称的定义进行作图，再根据图形即可写出A1，B1，C1的坐标； （3）①根据题意画出图形即可；②根据平移的规律“右加左减，上加下减”，即可解答． 【解答】解：（1）由图可知：A（1，1），B（4，2），C（2，3）， 故答案为：1，1；4，2；2，3； （2）如图1，△A1B1C1即为所求； 由图可知：A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（2，﹣3）； （3）①如图2：△A2B2C2即为所求； ②∵点P（a，b）是△ABC上一点，△ABC向左平移5个单位长度再向下平移4个单位长度，得到△A2B2C2， ∴P2（a﹣5，b﹣4）， 故答案为：（a﹣5，b﹣4）． 7．（2023秋•绥阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）直接写出点A1、B1、C1的坐标； （3）在△A1B1C1中，∠A1＝27°，求B1C1边上的高与A1C1所夹角的度数． 【分析】（1）根据A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1），即可画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）结合（1）即可写出点A1、B1、C1的坐标； （3）根据△A1B1C1中，∠A1＝27°，利用三角形内角和定理即可求B1C1边上的高与A1C1所夹角的度数． 【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求； （2）A1（4，4），B1（1，1），C1（3，1）； （3）画A1H⊥B1C1，垂足为H， ∵A1H＝B1H， ∴∠B1A1H＝45°， ∴∠C1A1H＝45°﹣27°＝18°． 垂直平分线的作图与性质 1．（2024春•金沙县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BD，BE，使BD＝BE．分别以点D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F，作射线BF交AC于点H，过点H作HP⊥BC于点P，若HA＝2，则HP的长为（　　） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【分析】由作图方法可知，BH是∠ABC的角平分线，则由角平分线的性质可得AH＝HP． 【解答】解：由作图方法可知，BH是∠ABC的角平分线， ∵∠A＝90°， ∴AH⊥AB， ∵HP⊥BC，AH⊥AB， ∴AH＝HP， ∴HP＝2， 故选：A． 2．（2024春•遵义期末）如图，在△ABC中，分别以B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AB于点D，连接CD．若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（　　） A．25° B．30° C．45° D．50° 【分析】由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，则∠B＝∠BCD＝25°，再根据∠ADC＝∠B+∠BCD可得答案． 【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∴∠B＝∠BCD＝25°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝50°． 故选：D． 3．（2023秋•印江县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝2，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．2 B．1 C．4 D．无法确定 【分析】过点G作GH⊥AB于点H，可知当点P与点H重合时，GP取得最小值．由作图过程可得，BG为∠ABC的平分线，结合角平分线的性质可得GH＝GC＝2，进而可得答案． 【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H． 可知当点P与点H重合时，GP取得最小值． 由作图过程可得，BG为∠ABC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴GH＝GC＝2， ∴GP的最小值为2． 故选：A． 4．（2023秋•遵义期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝4，小新同学按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BC，BA于点M，N；（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，过点P作射线BP，交AC于点D；若BD＝BC，则△BCD的面积为 　4　． 【分析】过点D作DE⊥BC于点D，BD平分∠ABC，则，再得出，最后根据三角形的面积公式，即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于点D， 由作图可知，BD平分∠ABC， ∵∠ABC＝60°， ∴， ∵BD＝BC，BC＝4， ∴， ∴△BCD的面积＝， 故答案为：4． 等腰三角形的性质 1．（2023秋•绥阳县期末）已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是（　　） A．3 B．8 C．3或8 D．13 【分析】因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论，根据三角形周长可求得底边． 【解答】解：（1）当3是腰长时，底边为19﹣3×2＝13， 此时3+3＝6＜13，不能组成三角形； （2）当3是底边时，腰长为×（19﹣3）＝8， 此时3，8，8三边能够组成三角形． 所以等腰三角形的底边是3． 故选：A． 2．（2023秋•都匀市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．32.5° 【分析】先根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC，代入得：∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），可得结论． 【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD， ∵∠ACE＝∠A+∠ABC， 即∠ACD+∠ECD＝∠ABC+∠CBD+∠A， ∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A， ∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD）， ∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝16°， ∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝16°， ∴∠A＝2×16°＝32°． 故选：C． 3．（2023秋•印江县期末）若等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角的度数为（　　） A．100° B．80° C．20° D．80°或20° 【分析】分别从：①若100°是等腰三角形顶角的外角，②若100°是等腰三角形底角的外角，去分析，即可求得答案． 【解答】解：①若100°是等腰三角形顶角的外角， 则它的顶角的度数为：180°﹣100°＝80°； ②若100°是等腰三角形底角的外角， 则它的底角的度数为：180°﹣100°＝80°； ∴它的顶角为：180°﹣80°﹣80°＝20°； ∴它的顶角的度数为：80°或20°． 故选：D． 4．（2024春•铜仁市期末）等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为4cm，则该等腰三角形的周长为（　　） A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．14cm或18cm 【分析】分两种情况讨论如下：①当4cm为腰长，6cm为底边长时，由于4+4＞6符合构成三角形的条件，由此可求出该等腰三角形的周长；②当6cm为腰长，4cm为底边长时，由于4+6＞6符合构成三角形的条件，由此可求出该等腰三角形的周长，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为4cm， ∴有以下两种情况： ①当4cm为腰长，6cm为底边长时， ∵4+4＞6，符合构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：4+4+6＝14（cm）， ②当6cm为腰长，4cm为底边长时， ∵4+6＞6，符合构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：6+6+4＝16（cm）； 综上所述：该等腰三角形的周长为14cm或16cm． 故选：C． 5．（2024春•六盘水期末）已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为5，则它的周长是（　　） A．18 B．21 C．18或21 D．26 【分析】根据题意，要分情况讨论：①8是腰；②8是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边． 【解答】解：①若8是腰，则另一腰也是8，底是5，但是8+8＞5，故构成三角形，故周长为：8+8+5＝21． ②若8是底，则腰是5，5． 5+5＞8，符合条件．成立． 故周长为：8+5+5＝18． 故选：C． 6．（2024春•织金县期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝72°，点D是BC的中点． （1）求∠C的度数； （2）求∠CAD的度数； （3）若EA＝ED，试说明：ED∥AB． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，∠ADE＝∠DAE＝36°，求得∠EDC＝90°﹣36°＝54°，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝72°， ∴∠B＝∠C＝×（180°﹣72°）＝54°， 故∠C的度数为54°； （2）∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴∠CAD＝∠BAC＝×72°＝36°； （3）∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵AE＝DE， ∴∠ADE＝∠DAE＝36°， ∴∠EDC＝90°﹣36°＝54°， ∵∠B＝54°， ∴∠B＝∠CDE， ∴DE∥AB． 等腰三角形的判定与性质 1．（2023秋•印江县期末）在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 【分析】根据题意得出∠BCA＝∠ABC＝60°，进而根据等边三角形的性质，即可求解． 【解答】解：如图， 根据题意得：CD∥BE， ∴∠1＝∠EBC＝40°， ∴∠BCA＝∠1+∠ACD＝40°+20°＝60°， 又∵∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°， ∴∠BCA＝∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝40×0.5＝20（海里）， 答：货轮到达C处时与灯塔A的距离是20海里． ∴． 2．（2023秋•黔东南州期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE 　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证； （3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可． 【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB； （2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F， 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF，BE＝CF， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD， ∴∠DEB＝∠ECF， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB＝EF， 则AE＝DB； （3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形， 如图所示，同理可得△DBE≌△CFE， ∵AB＝1，AE＝2， ∴BE＝1， ∵DB＝FC＝FB+BC＝2， 则CD＝BC+DB＝3． 故答案为：（1）＝；（2）＝ 30°直角三角形的性质 1．（2024春•贵阳期末）如图，点C为直线AB上一个定点，点D为直线AB上一个动点，直线AB外有一点P，CP＝4，∠PCB＝30°，当PD最短时，则PD的长是（　　） A． B．2 C． D．4 【分析】根据垂线段最短可得：当PD⊥AB时，PD最短，然后在Rt△CDP中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：当PD⊥AB时，PD最短，如图， 在Rt△CDP中，∠PCB＝30°，CP＝4， ∴PD＝PC＝2， 故选：B． 2．（2023秋•遵义期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】连接AD，求出△ABD是直角三角形，根据在直角三角形中，有含30°的角，根据定义进行求值即可． 【解答】解：连接AD， ∵AB＝AC，∠A＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵DE⊥CE，∠C＝30°，CD＝2， ∴根据在Rt△中，30°所对的直角边是斜边的一半可知：ED＝1， ∴根据勾股定理：CE＝， ∵DE垂直平分AC， ∴∠DAC＝∠C＝30°， ∴DA＝DC＝2，∠DAC＝90°， ∵∠BAD＝90°，∠B＝30°，AD＝2， ∴根据在Rt△中，30°所对的直角边是斜边的一半可知：BD＝4， 故选：B． 3．（2024春•南明区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，则AC的值为 　3　cm． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出BE＝AE＝6cm，由等腰三角形的性质推出∠BAE＝∠B＝15°，由三角形外角的性质得到∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到AC＝AE＝3cm． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴BE＝AE＝6cm， ∴∠BAE＝∠B＝15°， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴AC＝AE＝3cm． 故答案为：3． 4．（2023秋•绥阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝15，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，连接DE，EF，DF，若BD＝6，且△DEF是等边三角形，则CF＝　3　． 【分析】作EH⊥AC于H，由等边三角形的性质，推出△EFH≌△DEB（AAS），FH＝BE，EH＝BD＝6，由直角三角形的性质求出HC＝2，CE＝4，BC＝AB＝5，即可得到FH＝BE＝BC﹣CE＝，从而求出CF的长． 【解答】解：作EH⊥AC于H， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DEF＝60°，DE＝EF， ∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠A＝60°， ∵∠BED+∠DEF＝∠C+∠EFH， ∴∠BED＝∠EFH， ∵∠B＝∠EHF＝90°，DE＝EF， ∴△EFH≌△DEB（AAS）， ∴FH＝BE，EH＝BD＝6， ∴HC＝EH＝2， ∴CE＝2CH＝4， ∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴BC＝AB＝×15＝5， ∴BE＝BC﹣CE＝， ∴CF＝FH+CH＝+2＝3． 故答案为：3． 5．（2023秋•播州区期末）如图，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，以点A为圆心、AE的长为半径画弧，交AC于点B、分别以点B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP．交CE于点D．若∠C＝30°，则的值为 　　． 【分析】先根据直角三角形的性质得出＝，过点D作DF⊥AC于点F，根据作图可知AP是∠CAE的平分线，则DF＝DE，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵∠AEC＝90°，∠C＝30°， ∴AC＝2AE， ∴＝， 过点D作DF⊥AC于点F， ∵以点A为圆心、AE的长为半径画弧，交AC于点B、分别以点B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P， ∴AP是∠CAE的平分线， ∴DF＝DE， ∴＝＝＝． 故答案为：． 6．（2023秋•安顺期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°． （1）求∠C的度数； （2）若DE＝2，求BC的长． 【分析】（1）DE是边AB上的垂直平分线推AE＝BE，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数； （2）利用角平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出BE的长，进而可得出结论． 【解答】解：（1）∵DE是边AB上的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠B＝∠BAE＝30°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠EAC＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝30°+30°＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°； （2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴EC＝ED＝2， ∵DE垂直平分AB， ∴∠BDE＝90°． 在△BDE 中， ∵∠BDE＝90°．∠B＝30°． ∴BE＝2DE＝4． ∴BC＝BE+EC＝4+2＝6 最短路径问题 1．（2024春•贵州期末）如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，且AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，BE+EF的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接CE，由题意可得BE＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小，此时CF的长度为BE+EF的最小值． 【解答】解：如图：连接CE， ∵△ABC是等边三角形，AD是中线， ∴AD垂直平分BC， ∴BE＝EC， ∴BE+EF＝EC+EF， ∴当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小． 此时：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CF⊥AB， ∴AD＝CF＝6， 即BE+EF的最小值是6， 故选：B． 2．（2023秋•遵义期末）如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】根据等边三角形 到现在得到AB＝BC，∠C＝60°，作点N关于直线BD的对称点G，过G作GM⊥AC于M，交BD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据三角形的内角和定理得到∠G＝30°，根据直角三角形的性质得到CG＝2CM＝14，于是得到结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠C＝60°， 作点N关于直线BD的对称点G，过G作GM⊥AC于M，交BD于P， 则此时，MP+PN的值最小， ∵∠C＝60°，∠CNG＝90°， ∴∠G＝30°， ∵CM＝7， ∴CG＝2CM＝14， ∴NG＝8， ∴BN＝GG＝4， ∴AC＝BC＝10， 故选：C． 3．（2023秋•绥阳县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，点P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案． 【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的， ∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上， ∴l∥BC， 作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示： 则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小， 作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD， ∵AD⊥BC，AD＝BC， ∴BB'＝BC，BB'⊥BC， ∴△BB'C是等腰直角三角形， ∴∠B'＝45°， ∵PB＝PB'， ∴∠PBB'＝∠B'＝45°， ∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°； 故选：B． 4．（2023秋•碧江区 期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 　10　． 【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：如图，连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝20， 解得AD＝10， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点A， 连接AM，则BM+DM＝AM+DM≥AD， ∴当点M在线段AD上时，BM+DM的值最小， ∴AD的长10为BM+MD的最小值． 故答案为：10． 5．（2023秋•印江县期末）如图，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是边AC的中点．当△ECF的周长取得最小值时，∠EFC的度数为 　60　°． 【分析】过E作EM∥BC，交AB于M，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，则此时EF+CF的值最小，△ECF的周长最小，根据等边三角形性质求出∠CME，∠FEM，即可求出答案． 【解答】解：如图，过E作EM∥BC，交AB于M，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF， ∴∠AMN＝∠ABC， ∵△ABC是等边三角形，E是边AC的中点． ∴，∠ABC＝60°＝∠AMN，∠AEM＝∠ACB＝60°， ∴EC＝4＝AE，△AME为等边三角形， ∴AM＝BM， ∴AM＝AE， ∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形， ∴AD⊥BC， ∵EM∥BC， ∴AD⊥EM， ∵AM＝AE， ∴E和M关于AD对称， 则此时EF+CF的值最小，△ECF的周长最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝AB， ∵AM＝BM，CM⊥AB， ∴，∠AMC＝90°， ∴∠CME＝90°﹣60°＝30°， 由轴对称的性质可得：∠MEF＝∠FME＝30°， ∴∠CFE＝30°+30°＝60°， 故答案为：60． 6．（2024春•贵州期末）如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为　3　． 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值． 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N， ∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N， ∴MN＝ME， ∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值． ∵三角形ABC的面积为15，AB＝10， ∴×10•CE＝15， ∴CE＝3． 即CM+MN的最小值为3． 故答案为3． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$