专题02 全等三角形（3大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（贵州专用）

专题02 全等三角形 全等三角形及性质 1．（2024春•贵州期末）如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•黔西南州期末）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝4，BD＝13，则AB等于（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2023秋•安顺期末）如图，△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上，BF＝5，EC＝2，则CF＝（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 全等三角形的判定 1．（2023秋•遵义期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，要使△ABC≌△ADE，则可以添加下列哪一个条件（　　） A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠D C．∠C＝∠E D．∠BAC＝∠DAC 2．（2024春•金沙县期末）如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD 3．（2024春•织金县期末）如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，且BC＝EF，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（　　） A．AC＝DE B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠D＝∠A 4．（2023秋•黔南州期末）如图，点B在AE上，∠CBE＝∠DBE，要通过“ASA”判定△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是（　　） A．∠CAB＝∠DAB B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．BC＝BD 5．（2023秋•关岭县期末）用直尺和圆规过直线l外一点P作已知直线的平行线，如图能得出∠1＝∠2的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 6．（2023秋•安顺期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE．添加下列条件之一，可以直接利用“ASA”判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠C＝∠E D．∠ABC＝∠D 7．（2023秋•黔东南州期末）如图，BD是△ABD和△CBD的公共边，下列条件不能判定△ABD≌△CBD的是（　　） A．AB＝CB，∠ABD＝∠CBD B．AB＝CB，∠ADB＝∠CDB C．AB＝CB，AD＝CD D．∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB 8．（2023秋•遵义期末）如图，线段BD是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠2，请添加一个条件使得△ABD≌△CDB，添加的条件为 　 　． 9．（2024春•金沙县校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．BC＝DE D．AC＝AE 10．（2023秋•遵义期末）小红学习了全等三角形后写了如下语句，正确的个数为（　　） ①面积相等的两个三角形一定全等； ②周长相等的两个三角形一定全等； ③直角边分别相等的两个直角三角形全等； ④全等三角形对应边上的中线相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 角平分线的性质 1．（2024春•织金县期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 2．（2024春•织金县期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，若DE＝3cm，则点D到BC的距离为（　　） A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm 3．（2024春•金沙县期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积为 　 　． 4．（2024春•贵阳期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　） A．3 B． C．2 D．6 5．（2023秋•安顺期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 6．（2024春•贵州期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 全等三角形的判定与性质 1．（2023秋•绥阳县期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A．90° B．120° C．135° D．150° 2．（2023秋•碧江区 期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝8，CF＝5，则EF的长度为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 3．（2023秋•都匀市期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝10，AC＝4，则AD的取值范围是　 　 ． 4．（2024春•金沙县期末）如图，AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，CF＝5cm，则BD＝ 　cm． 5．（2023秋•都匀市期末）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（2023秋•遵义期末）如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE＝DE． （1）请写一对相等的角：∠　 　＝∠　 　． （2）求证：BC＝AB+CD． 7．（2024春•黔西南州期末）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若AF＝5，CF＝4，求AD的长． 8．（2023秋•盘州市期末）如图，已知∠D＝∠B，DF⊥AC，BE⊥AC． （1）求证：AD∥BC； （2）若AE＝CF，试说明AD与BC的数量关系，并说明理由． 9．（2024春•金沙县校级期末）已知△ABC． （1）如图1，E为边BC的中点，连接AE并延长到点F，使EF＝AE，连接BF，求BF与AC的数量和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若AB＝AC，E为边AC上一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠ABD＝∠CAD，试说明：AE＝CE． 10．（2023秋•钟山区期末）如图，在△ABC中，D是AC边的中点，点E在BD上，点F在BD延长线上，连接AE，CF，且AE∥CF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）若BF＝15，，延长BF至点M，当FM为多少时，AB∥CM．请补全图形并说明理由． 全等三角形的应用 1．（2024春•金沙县期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 2．（2023秋•黔西南州期末）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 3．（2024春•金沙县校级期末）如图，要测出池塘A、B两端的距离，可在平地上取一点C，连接AC、BC，并分别延长到点D、E，使CD＝CA、CE＝CB，连接DE，那么△ACB≌△DCE．此时，量出DE的长就是A、B两端的距离，在这个过程中，证明△ACB≌△DCE的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 4．（2024春•铜仁市期末）如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点固定，利用全等三角形知识，测得CD的长就是锥形瓶内径AB的长．其中，判定△AOB和△DOC全等的方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．（2024春•织金县期末）如图，小红要测量池塘A、B两端的距离，他设计了一个测量方案，先在平地上取可以直接到达A点和B点的C，D两点，AC与BD相交于点O，且测得AC＝BD＝55m，OA＝OD＝17m，△COD的周长为103m，则A，B两端的距离为 　m． 6．（2023秋•遵义期末）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 7．（2024春•贵州期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　 　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由． 8．（2024春•威宁县期末）如图1是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，受大人民的喜爱它的支架我们可以看作△ABC如图2所示），为了使其更加牢面．小明增加了如图2所示的AE，DE两根支架．若∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，DE⊥AB，AE与CE的夹角为60°， （1）求∠B的度数； （2）在不添加辅助线的前提下写出一对全等三角形，并进行证明． 9．（2023秋•关岭县期末）周末，小明和小玮去公园玩，他们发现一个人工湖，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案． 如图，首先在湖两岸相对的地方选取两点A，B，A，B两点之间的距离就是湖的宽度．要测量湖两岸相对的A，B两点间的距离，可以在湖外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A，C在同一条直线上．若想知道A，B两点之间的距离，只需要测量出线段DE的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 全等三角形及性质 1．（2024春•贵州期末）如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形解答． 【解答】解：全等图形形状相同，大小相等， A、两个图形形状不同，故选项不符合题意； B、两个图形形状相同，大小相等，故选项符合题意； C、两个图形形状不同，故选项不符合题意； D、两个图形大小不等，故选项不符合题意． 故选：B． 2．（2023秋•黔西南州期末）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝4，BD＝13，则AB等于（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】由全等三角形的性质推出AB＝CD，BC＝DE＝4，求出CD＝BD﹣BC＝13﹣4＝9，即可得到AB的长． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴AB＝CD，BC＝DE＝4， ∵BD＝13， ∴CD＝BD﹣BC＝13﹣4＝9， ∴AB＝CD＝9． 故选：C． 3．（2023秋•安顺期末）如图，△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上，BF＝5，EC＝2，则CF＝（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】由全等三角形的性质得到BC＝EF，因此BE＝CF，由BF＝5，得到2CF+EC＝5，而EC＝2，即可求出CF的长． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BE＝CF， ∵BF＝BE+EC+CF＝2CF+EC＝5，EC＝2， ∴CF＝1.5． 故选：A． 全等三角形的判定 1．（2023秋•遵义期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，要使△ABC≌△ADE，则可以添加下列哪一个条件（　　） A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠D C．∠C＝∠E D．∠BAC＝∠DAC 【分析】已知两边，若要证明△ABC≌△ADE，只需添加夹角，由此可求解． 【解答】解：A．∵∠BAC＝∠1+∠DAC，∠CAe＝∠2+∠DAC． 若∠1＝∠2，则∠BAC＝∠DAE， ∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， 故A正确； B．当∠B＝∠D时， ∵AB＝AD，AC＝AE， ∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但∠B＝∠D不是夹角， ∴不能判断△ABC≌△ADE， 故B不正确； C，当∠C＝∠E时， ∵AB＝AD，AC＝AE， ∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但∠C＝∠E不是夹角， ∴不能判断△ABC≌△ADE， 故C不正确； D．当∠BAC与∠DAC不可能相等， ∴不能判断△ABC≌△ADE， 故D不正确； 故选：A． 2．（2024春•金沙县期末）如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD 【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解． 【解答】解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意； B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意； C、添加∠1＝∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意； D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（2024春•织金县期末）如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，且BC＝EF，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（　　） A．AC＝DE B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠D＝∠A 【分析】根据全等三角形的判定，利用HL即可得答案． 【解答】解：AB＝DE，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF． ∵AC⊥BE，DF⊥BE， ∴∠ACB＝∠DFE＝90°， 在Rt△ACB和Rt△DFE中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△DFE（HL）， 故选：B． 4．（2023秋•黔南州期末）如图，点B在AE上，∠CBE＝∠DBE，要通过“ASA”判定△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是（　　） A．∠CAB＝∠DAB B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．BC＝BD 【分析】先根据等角的补角相等得到∠ABC＝∠ABD，加上AB为公共边，然后根据“ASA”的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：∵∠CBE＝∠DBE， ∴∠ABC＝∠ABD， ∵AB＝AB， ∴当添加∠CAB＝∠DAB时，△ABC≌△ABD（ASA）． 故选：A． 5．（2023秋•关岭县期末）用直尺和圆规过直线l外一点P作已知直线的平行线，如图能得出∠1＝∠2的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】根据作图过程可根据SSS判定三角形全等，利用全等三角形的性质得出∠1＝∠2． 【解答】解：如图， 根据作图过程可知， OA＝OB＝PC＝PD，AB＝CD， ∴△PCD≌△OAB（SSS）． 故选：A． 6．（2023秋•安顺期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE．添加下列条件之一，可以直接利用“ASA”判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠C＝∠E D．∠ABC＝∠D 【分析】根据“ASA”的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：∵∠CAB＝∠EAD，AC＝AE， ∴当添加∠C＝∠E时，△ABC≌△ADE（ASA）． 故选：C． 7．（2023秋•黔东南州期末）如图，BD是△ABD和△CBD的公共边，下列条件不能判定△ABD≌△CBD的是（　　） A．AB＝CB，∠ABD＝∠CBD B．AB＝CB，∠ADB＝∠CDB C．AB＝CB，AD＝CD D．∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB 【分析】由全等三角形的判定方法：SAS，ASA，SSS，即可判断． 【解答】解：A、由SAS可以判定△ABD≌△CBD，故A不符合题意； B、∠ADB＝∠CDB，这两个角分别是AB，BC的对角，不能判定△ABD≌△CBD，故B符合题意； C、由SSS可以判定△ABD≌△CBD，故C不符合题意； D、由ASA可以判定△ABD≌△CBD，故D不符合题意． 故选：B． 8．（2023秋•遵义期末）如图，线段BD是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠2，请添加一个条件使得△ABD≌△CDB，添加的条件为 　∠A＝∠C（答案不唯一）　． 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【解答】解：①当∠A＝∠C时，根据AAS可判定△ABD≌△CDB； ②当∠ADC＝∠CBD时，根据ASA可判定△ABD≌△CDB； ③当AB＝CD时，根据SAS可判定△ABD≌△CDB； 故答案为：∠A＝∠C（或∠ADC＝∠CBD或AB＝CD）． 9．（2024春•金沙县校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．BC＝DE D．AC＝AE 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一进行分析即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即：∠BAC＝∠EAD， ∵当∠B＝∠D时，根据ASA即可判定△ABC≌△ADE； ∵当∠C＝∠E时，根据AAS即可判定△ABC≌△ADE； ∵当BC＝DE时，无法判定△ABC≌△ADE； ∵当AC＝AE时，根据SAS即可判定△ABC≌△ADE， 故选：C． 10．（2023秋•遵义期末）小红学习了全等三角形后写了如下语句，正确的个数为（　　） ①面积相等的两个三角形一定全等； ②周长相等的两个三角形一定全等； ③直角边分别相等的两个直角三角形全等； ④全等三角形对应边上的中线相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据全等三角形的定义可判断①②，根据全等三角形的判定定理“SAS”可判断③，根据全等三角形的性质可判断④，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵面积相等的两个三角形不一定全等， ∴该结论不正确，不符合题意； ②∵周长相等的两个三角形不一定全等， ∴该结论不正确，不符合题意； ③∵直角边分别相等的两个直角三角形全等， ∴该结论正确，符合题意； ④∵全等三角形对应边上的中线相等， ∴该结论正确，符合题意， 综上所述：正确的结论有③④，共2个， 故选：B． 角平分线的性质 1．（2024春•织金县期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到×4×7+×4×AC＝24，然后解一次方程即可． 【解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC， ∴×4×7+×4×AC＝24， ∴AC＝5， 故选：D． 2．（2024春•织金县期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，若DE＝3cm，则点D到BC的距离为（　　） A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F， ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝3cm， ∴DF＝DE＝3cm， ∴点D到BC的距离为3cm， 故选：C． 3．（2024春•金沙县期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积为 　4　． 【分析】由角平分线上的点到角的两边距离相等，得DF＝DE＝2，再根据面积公式进行列式，即可作答． 【解答】解：因为AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 所以DF＝DE＝2， 则△ADC的面积＝． 故答案为：4． 4．（2024春•贵阳期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　） A．3 B． C．2 D．6 【分析】根据角平分线的性质即可求得． 【解答】解：∵∠B＝90°， ∴DB⊥AB， 又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC， ∴DE＝BD＝3， 故选：A． 5．（2023秋•安顺期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 【分析】过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，得CG＝GH，根据三角形面积公式，即可求出△ABG的面积． 【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H， 根据题意得，AF是∠CAB的角平分线， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥CG， ∵GH⊥AB， ∴CG＝GH， ∵CG＝3， ∴， 故选：B． 6．（2024春•贵州期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 【分析】（1）由角平分线的对称性直接证明△DBE≌△DBF即可求解； （2）先算出三角形ABD的面积，再得出三角形BCD的面积，高DF＝DE＝5，从而直接算出BC． 【解答】解：（1）∠EDB与∠FDB相等，理由如下： ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠BED＝∠BFD＝90°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠EBD＝∠FBD， 在△BDE和△BDF中， ∵， ∴△DBE≌△DBF（AAS）， ∴∠EDB＝∠FDB； （2）∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝5， ∴S△ABD＝AB•DE＝40， ∴S△BCD＝BC•DF＝70﹣40＝30， ∴BC＝12． 全等三角形的判定与性质 1．（2023秋•绥阳县期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A．90° B．120° C．135° D．150° 【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4（或观察图形得到∠1＝∠4），然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解． 【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠1＝∠4（或观察图形得到∠1＝∠4）， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， 又∵∠2＝45°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°． 故选：C． 2．（2023秋•碧江区 期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝8，CF＝5，则EF的长度为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】延长AD，使DG＝AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC＝DG＝CF+AF＝6+AF，∠DAC＝∠G，由等腰三角形的性质可得BE＝BG＝8，即可求EF的长． 【解答】解：如图，延长AD，使DG＝AD，连接BG， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 又∵DG＝AD，∠ADC＝∠BDG， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG＝CF+AF＝6+AF，∠DAC＝∠G， ∵EF＝AF， ∴∠DAC＝∠AEF， ∴∠G＝∠AEF＝∠BEG， ∴BE＝BG＝8， ∴5+AF＝BG＝8， ∴AF＝3＝EF 故选：D． 3．（2023秋•都匀市期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝10，AC＝4，则AD的取值范围是 　3＜AD＜7　． 【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB（SAS），推出AC＝BE＝4，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可． 【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴10﹣4＜2AD＜10+4， ∴3＜AD＜7， 故答案为：3＜AD＜7． 4．（2024春•金沙县期末）如图，AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，CF＝5cm，则BD＝　2　cm． 【分析】根据平行的性质求得内错角相等，根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，即可得出BD的长． 【解答】解：∵AB∥FC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∵E是DF的中点， ∴DE＝EF， 在△ADE与△CFE中，， ∴△ADE≌△CFE（ASA）， ∴AD＝CF＝5cm， ∴BD＝AB﹣AD＝7﹣5＝2（cm）． 故答案为：2． 5．（2023秋•都匀市期末）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中，， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中，， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中，， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与OA＞OC矛盾， ∴③错误； 正确的个数有3个； 故选：B． 6．（2023秋•遵义期末）如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE＝DE． （1）请写一对相等的角：∠　A　＝∠　2　． （2）求证：BC＝AB+CD． 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余可得出∠1+∠A＝90°，∠1+∠2＝90°，等量代换可得出∠A＝∠2． （2）利用AAS证明△ABE≌△ECD，由全等三角形的性质可得出BE＝CD，AB＝EC，由已知BC＝BE+EC等量代换可得出BC＝AB+CD． 【解答】（1）解：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABE＝∠ECD＝90°， ∴∠1+∠A＝90°， 又∵∠1+∠2＝90°， ∴∠A＝∠2， 故答案为：A，2；（答案不唯一） （2）证明：由（1）可得∠ABE＝∠ECD＝90°，∠A＝∠2， 在△ABE和△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD（AAS）， ∴BE＝CD，AB＝EC， ∵BC＝BE+EC， ∴BC＝AB+CD． 7．（2024春•黔西南州期末）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若AF＝5，CF＝4，求AD的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，再根据AAS证明△ABC≌△DEF即可； （2）根据全等三角形的性质推出CD＝AF＝5，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE，BC∥EF， ∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； （2）解：由（1）知，△ABC≌△DEF， ∴AC＝DF， ∴CD＝AF＝5， ∴AD＝AF+CF+CD＝5+4+5＝14． 8．（2023秋•盘州市期末）如图，已知∠D＝∠B，DF⊥AC，BE⊥AC． （1）求证：AD∥BC； （2）若AE＝CF，试说明AD与BC的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）先由垂直的定义得到∠AFD＝∠CEB＝90°，再利用三角形内角和定理证明∠A＝∠C，即可证明AD∥BC； （2）先证明AF＝CE，进而证明△ADF≌△CBE（AAS），即可得到AD＝BC． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，BE⊥AC， ∴∠AFD＝∠CEB＝90°， ∵∠D＝∠B，∠D+∠A+∠AFD＝∠B+∠C+∠CEB＝180°， ∴∠A＝∠C， ∴AD∥BC； （2）解：AD＝BC；理由如下： ∵AE＝CF， ∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AD＝BC． 9．（2024春•金沙县校级期末）已知△ABC． （1）如图1，E为边BC的中点，连接AE并延长到点F，使EF＝AE，连接BF，求BF与AC的数量和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若AB＝AC，E为边AC上一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠ABD＝∠CAD，试说明：AE＝CE． 【分析】（1）根据线段中点的定义得出BE＝CE，进而证明△BFE≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质，平行线的判定，即可得出结论； （2）过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CT∥AB交AD的延长线于点T，证明△ABE≌△CAT（ASA），△CDE≌△CDT（AAS），根据全等三角形的性质，即可得证． 【解答】（1）解：BF∥AC，BF＝AC，理由如下： 因为E为边BC的中点， 所以BE＝CE． 在△BFE和△CAE中， 因为BE＝CE，∠BEF＝∠CEA，FE＝AE， 所以△BFE≌△CAE（SAS）， 所以BF＝AC，∠CAE＝∠BFE， 所以BF∥AC． （2）证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CT∥AB交AD的延长线于点T． 因为AB∥CT， 所以∠BAE＝∠ACT． 在△ABE和△CAT中， 因为∠BAE＝∠ACT，AB＝CA，∠ABE＝∠CAT， 所以△ABE≌△CAT（ASA）， 所以AE＝CT，∠AEB＝∠ATC． 因为∠CED＝∠AEB， 所以∠CED＝∠ATC． 因为AH⊥BC，CD⊥CB， 所以AH∥CD， 所以∠CAH＝∠ACD． 因为AB＝AC，AH⊥BC， 所以∠BAC＝2∠CAH， 所以∠ACT＝2∠ACD， 所以∠DCE＝∠DCT． 在△CDE和△CDT中， 因为∠DCE＝∠DCT，∠CED＝∠CTD，CD＝CD， 所以△CDE≌△CDT（AAS）， 所以CE＝CT， 所以AE＝CE． 10．（2023秋•钟山区期末）如图，在△ABC中，D是AC边的中点，点E在BD上，点F在BD延长线上，连接AE，CF，且AE∥CF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）若BF＝15，，延长BF至点M，当FM为多少时，AB∥CM．请补全图形并说明理由． 【分析】（1）证出∠EAD＝∠FCD，∠AED＝∠CFD，根据AAS可得出结论； （2）延长BF至点M，连接CM．由（1）得△AED≌△CDF，得出AD＝CD，，证明△ADB≌△CDM（SAS），由全等三角形的性质得出∠ABD＝∠CMD，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵D是AC边的中点， ∴AD＝CD， 又AE∥CF， ∴∠EAD＝∠FCD，∠AED＝∠CFD， 在△AED和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）； （2）解：当FM＝6时，AB∥CM． 理由：延长BF至点M，连接CM． 由（1）得△AED≌△CDF， ∴AD＝CD，， ∴， ∴BD＝DM， 又∵∠ADE＝∠FDC， ∴△ADB≌△CDM（SAS）， ∴∠ABD＝∠CMD， ∴AB∥CM． 全等三角形的应用 1．（2024春•金沙县期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：C． 2．（2023秋•黔西南州期末）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【分析】根据“角边角”证明两个三角形全等，即可求解． 【解答】解：根据题意得：拿①②或②④或②③可以根据“角边角”得到原三角形全等的三角形． 故选：B． 3．（2024春•金沙县校级期末）如图，要测出池塘A、B两端的距离，可在平地上取一点C，连接AC、BC，并分别延长到点D、E，使CD＝CA、CE＝CB，连接DE，那么△ACB≌△DCE．此时，量出DE的长就是A、B两端的距离，在这个过程中，证明△ACB≌△DCE的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：在△ACB与△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB＝CD， 故选：A． 4．（2024春•铜仁市期末）如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点固定，利用全等三角形知识，测得CD的长就是锥形瓶内径AB的长．其中，判定△AOB和△DOC全等的方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理解答即可． 【解答】解：∵点O是AD，BC的中点， ∴OC＝OB，OD＝OA， 在△COD和△BOA中， ， ∴△COD≌△BOA（SAS）， ∴AB＝CD， 故选：B． 5．（2024春•织金县期末）如图，小红要测量池塘A、B两端的距离，他设计了一个测量方案，先在平地上取可以直接到达A点和B点的C，D两点，AC与BD相交于点O，且测得AC＝BD＝55m，OA＝OD＝17m，△COD的周长为103m，则A，B两端的距离为 　48　m． 【分析】证明△COD≌△BOA（SAS），得到AB＝CD，由△COD的周长为70m，可得OC+OD+CD＝70，即AC+CD＝70，计算求出CD的长，进而可得结果． 【解答】解：∵AC＝BD，OA＝OD， ∴AC﹣OA＝BD﹣OD， 即OC＝OB， 在△COD和△BOA中， ， ∴△COD≌△BOA（SAS）， ∴CD＝AB， ∵△COD的周长为103m， ∴OC+OD+CD＝OC+OA+CD＝103m， 即AC+CD＝103m． ∵AC＝55m． ∴CD＝48m． ∴AB＝48m． 故答案为：48． 6．（2023秋•遵义期末）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】（1）证明：由题意得：AB＝BD，∠ABD＝90°，AC⊥CE，DE⊥CE， ∴∠BED＝∠ACB＝90°， ∴∠BDE+∠DBE＝90°，∠DBE+∠ABC＝90°， ∴∠BDE＝∠ABC， 在△ACB和△BED中， ， ∴△ACB≌△BED（AAS）； （2）解：由题意得：AC＝5×3＝15（cm），DE＝7×5＝35（cm）， ∵△ACB≌△BED， ∴DE＝BC＝35cm，BE＝AC＝15cm， ∴CE＝EB+BC＝50（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为50cm． 7．（2024春•贵州期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 　三角形具有稳定性．　； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由．#ZZ04 【分析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可； （2）证明△AOD≌△BOC（SAS），得BC＝AD，结合已知条件则可知BC的长度 【解答】解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性． （2）CB＝38cm． 理由如下：∵O是AB和CD的中点， ∴AO＝BO，CO＝DO， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， 又∵AD＝38cm， ∴BC＝AD＝38cm． 8．（2024春•威宁县期末）如图1是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，受大人民的喜爱它的支架我们可以看作△ABC如图2所示），为了使其更加牢面．小明增加了如图2所示的AE，DE两根支架．若∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，DE⊥AB，AE与CE的夹角为60°， （1）求∠B的度数； （2）在不添加辅助线的前提下写出一对全等三角形，并进行证明． 【分析】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据AAS证明△ACE≌△ADE即可（答案不唯一）． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B， ∴2∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝30°； （2）△ACE≌△ADE，（答案不唯一）证明如下： 在Rt△ACE中，∠C＝90°，∠AEC＝60°， ∴∠CAE＝30°， 由（1）知，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CAE＝∠DAE＝30°， 在△ACE与△ADE中， ， ∴△ACE≌△ADE（AAS）． 9．（2023秋•关岭县期末）周末，小明和小玮去公园玩，他们发现一个人工湖，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案． 如图，首先在湖两岸相对的地方选取两点A，B，A，B两点之间的距离就是湖的宽度．要测量湖两岸相对的A，B两点间的距离，可以在湖外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A，C在同一条直线上．若想知道A，B两点之间的距离，只需要测量出线段DE的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确． 【分析】由垂线的定义可得出∠B＝∠EDC＝90°，结合BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，即可证出△ABC≌△EDC（ASA），利用全等三角形的性质可得出AB＝ED． 【解答】解：测得DE线段的长就是A、B两点的距离，小玮的做法正确，理由如下： ∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴∠B＝∠EDC＝90°． 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$