专题02 三角形中的常见模型（六大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（人教版）

专题02 三角形中的常见模型 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 A字型及其变形 1 题型二 飞镖型 2 题型三 8字型 3 题型四 双内角平分线模型 4 题型五 一内角一外角平分线模型 6 题型六 双外角平分线模型 7 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 A字型及其变形 ⭐技巧积累与运用 1．（2024黑龙江·专题练习）如图，在中，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（2024黑龙江·专题练习）如图，点在的边上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24安徽安庆·期末）如图，在中，是的平分线，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25·湖北武汉·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 题型二 飞镖型 ⭐技巧积累与运用 1．（24-25·福建福州·阶段练习）某零件的形状如图所示，按照要求，，，那么的度数是（   ）（提示：连接或） A． B． C． D． 2．（24-25·广东潮州·期中）如图，在四边形中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·专题练习）含角的三角板与含角的三角板，按如图所示的方式叠放在一起，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25·辽宁营口·阶段练习）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为（   ） A． B． C． D． 题型三 8字型 ⭐技巧积累与运用 1．（24-25·福建厦门·期中）如图，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25·河北唐山·期中）如图，已知则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25·云南昆明·期中）如图，的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24·云南昆明·开学考试）如图，，与相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型四 双内角平分线模型 ⭐技巧积累与运用 1．（23-24·辽宁大连·期末）如图，，，，则x的值为（     ） A．80 B．120 C．100 D．140 2．（23-24·全国·单元测试）如图，是的角平分线，相交于点O，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25·天津·阶段练习）如图，在中，、的平分线，相交于点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五 一内角一外角平分线模型 ⭐技巧积累与运用 1．（安徽铜陵·阶段练习）如图，在中，点是边的延长线上一点，与的平分线相交于点，若，则（    ） A．25° B．30° C．40° D．45° 2．（23-24·重庆大足·期末）如图，是 中 的平分线，是 的外角的平分线，如果 ，，则 （   ） A． B． C． D． 3．（全国·课后作业）如图所示，在中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的角平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB=（    ） A．50° B．45° C．40° D．35° 4．（湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ． 题型六 双外角平分线模型 ⭐技巧积累与运用 1．（24-25·天津南开·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的角平分线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·湖北十堰·期中）如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23·湖北武汉·期中）如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（    ） A．42° B．40° C．38° D．35° 4．（23-24·福建龙岩·阶段练习）如图，、平分和，与交于O点．若，则（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·黑龙江·专题练习）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25·陕西西安·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25·青海西宁·期中）如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25·湖北十堰·期中）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25·广东惠州·期中）如图，将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25·河北邯郸·期中）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则 ．，则 ． 8．（24-25·四川广安·期中）如图，，则的度数为 ． 9．（24-25·浙江温州·阶段练习）在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点．若，则 ． 10．（24-25·福建龙岩·阶段练习）如图，，，，则的度数是 ． 三、解答题 11．（24-25·全国·期末）如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 12．（2025·全国·专题练习）如图，在凹四边形中，已知与的平分线相交于点E，试说明：． 13．（23-24·浙江宁波·期末）如图，在中，平分，； (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 14．（2024·黑龙江·专题练习）如图，在中，分别是的平分线，分别是的外角平分线． (1)当时，的度数为___________，的度数为___________； (2)当的大小变化时，试探究的度数是否变化？如果不变化，求的度数；如果变化，请说明理由． 15．（24-25·新疆乌鲁木齐·期中）如图1，平分，平分，且，． (1)求证：． (2)如图2，延长，交于点F，求的度数． 16．（2024·黑龙江·专题练习）如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 一、单选题 1．（23-24·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24·江苏扬州·期中）如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25·全国·期中）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为 ．（用含α的式子表示） 4．（24-25·全国·期末）如图，在 中，，三等分，，三等分．若，则 ． 三、解答题 5．（24-25·云南大理·期中）如图，点E在上，点D在的延长线上，连接交于点O．若，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 6．（24-25·全国·期末）如图，在，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)填空：当，时， °， °． (2)请你猜想，当的大小变化时，求的值是否变化？请说明理由． 7．（2024·全国·专题练习）图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形中的常见模型 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 A字型及其变形 1 题型二 飞镖型 3 题型三 8字型 6 题型四 双内角平分线模型 7 题型五 一内角一外角平分线模型 10 题型六 双外角平分线模型 12 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 A字型及其变形 ⭐技巧积累与运用 1．（2024黑龙江·专题练习）如图，在中，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（2024黑龙江·专题练习）如图，点在的边上，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， ， 同理，， ， 故选：B． 3．（23-24安徽安庆·期末）如图，在中，是的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 是的平分线， ， ，是的外角， ． 故选：C． 4．（24-25·湖北武汉·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 题型二 飞镖型 ⭐技巧积累与运用 1．（24-25·福建福州·阶段练习）某零件的形状如图所示，按照要求，，，那么的度数是（   ）（提示：连接或） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接并延长到E， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 2．（24-25·广东潮州·期中）如图，在四边形中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：C． 3．（2024·全国·专题练习）含角的三角板与含角的三角板，按如图所示的方式叠放在一起，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵图中是一副三角板叠放叠放， ∴，，，， ∴， ∴. 故选：D． 4．（24-25·辽宁营口·阶段练习）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，并延长至点， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴应调整为． 故选：B． 题型三 8字型 ⭐技巧积累与运用 1．（24-25·福建厦门·期中）如图，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故选：C． 2．（24-25·河北唐山·期中）如图，已知则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， 故选：A． 3．（24-25·云南昆明·期中）如图，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示， ∵， ∴， 故选：B． 4．（23-24·云南昆明·开学考试）如图，，与相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ，是的一个外角， ， 故选：C． 题型四 双内角平分线模型 ⭐技巧积累与运用 1．（23-24·辽宁大连·期末）如图，，，，则x的值为（     ） A．80 B．120 C．100 D．140 【答案】D 【详解】解：三角形内角和是 ，， ，即的值为， 故选：D． 2．（23-24·全国·单元测试）如图，是的角平分线，相交于点O，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， 在中，． 故选 C 3．（24-25·天津·阶段练习）如图，在中，、的平分线，相交于点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵、的平分线，相交于点， ∴， ∴． 故选：C． 4．（23-24·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴点E为三条角平分线的交点， ∴． 故选：B． 题型五 一内角一外角平分线模型 ⭐技巧积累与运用 1．（安徽铜陵·阶段练习）如图，在中，点是边的延长线上一点，与的平分线相交于点，若，则（    ） A．25° B．30° C．40° D．45° 【答案】A 【详解】解：∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ACD=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A， ∴2∠1=2∠3+∠A， ∵∠1=∠3+∠E， ∴∠E=∠A=×50°=25°． 故选：A． 2．（23-24·重庆大足·期末）如图，是 中 的平分线，是 的外角的平分线，如果 ，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，， ，， 是中的平分线，是的外角的平分线， 又∴，， ， ， ， 故选：B． 3．（全国·课后作业）如图所示，在中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的角平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB=（    ） A．50° B．45° C．40° D．35° 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点E作，，， ∴BE，CE是角平分线， ∴，． ∴． ∵，， ∴是的角平分线． ∵， ∴，， ∴，由三角形内角和可得：． 故答案为：45． 4．（湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ． 【答案】76 【详解】解：过点C作， ， ，， ， ， ， ， 由题意可得为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：76． 题型六 双外角平分线模型 ⭐技巧积累与运用 1．（24-25·天津南开·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的角平分线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 和分别平分和， ，， ， ． 故选：A． 2．（23-24·湖北十堰·期中）如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 3．（22-23·湖北武汉·期中）如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（    ） A．42° B．40° C．38° D．35° 【答案】B 【详解】解：∵、分别是的外角和外角的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 4．（23-24·福建龙岩·阶段练习）如图，、平分和，与交于O点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ∵、平分和， ∴，， ， ，， ， ， 故选：D． 一、单选题 1．（2024·黑龙江·专题练习）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25·陕西西安·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（24-25·青海西宁·期中）如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，平分，平分， ， ． 故选：C． 4．（24-25·湖北十堰·期中）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 、是的外角角平分线 （） 故选：D． 5．（22-23·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴, 故选：C． 6．（24-25·广东惠州·期中）如图，将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25·河北邯郸·期中）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则 ．，则 ． 【答案】 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵三角形的外角和的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴． ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴化简求得． 故答案为：，． 8．（24-25·四川广安·期中）如图，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25·浙江温州·阶段练习）在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点．若，则 ． 【答案】125 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：125． 10．（24-25·福建龙岩·阶段练习）如图，，，，则的度数是 ． 【答案】/45度 【详解】解：如图，延长交于， 由三角形的外角性质，， ， ， ，，， ， 解得． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25·全国·期末）如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 12．（2025·全国·专题练习）如图，在凹四边形中，已知与的平分线相交于点E，试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：如图，过点D作射线． 因为分别平分， 所以可设， 因为是的外角， 所以， 同理， 所以①， 同理②， ，得，即． 13．（23-24·浙江宁波·期末）如图，在中，平分，； (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：与平行． 理由：∵平分， ． ， ， ， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ， ． 14．（2024·黑龙江·专题练习）如图，在中，分别是的平分线，分别是的外角平分线． (1)当时，的度数为___________，的度数为___________； (2)当的大小变化时，试探究的度数是否变化？如果不变化，求的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)不变， 【详解】（1）解：在中，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 在中， ； 、分别是与的外角平分线， ，， ， ； 故答案为：，； （2）解：的值不变． 由（1）知，， ． 15．（24-25·新疆乌鲁木齐·期中）如图1，平分，平分，且，． (1)求证：． (2)如图2，延长，交于点F，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 16．（2024·黑龙江·专题练习）如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①3，4，② 【详解】（1）证明：，，且， ． （2）解：，， ． （3）解：①以线段为边的“8字形”有： ，，，共3个； 以点O为交点的“8字形”有： ，，，，共4个． 故答案为：3；4； ②解：以点为交点的“8字型”中， 有， 以点为交点的“8字型”中， 有， ． 分别平分和， ， ． ， ． 一、单选题 1．（23-24·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点， 设的度数为，的度数为， 平分，平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 将代入可得， 整理得， 故选：D． 2．（23-24·江苏扬州·期中）如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， 故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 3．（24-25·全国·期中）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为 ．（用含α的式子表示） 【答案】 【详解】解：的角平分线是， ， 为的外角的平分线， ， ，， ； 故答案为：． 4．（24-25·全国·期末）如图，在 中，，三等分，，三等分．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，三等分，，三等分， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25·云南大理·期中）如图，点E在上，点D在的延长线上，连接交于点O．若，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， 是的一个外角， （2）， ， ，， ． 6．（24-25·全国·期末）如图，在，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)填空：当，时， °， °． (2)请你猜想，当的大小变化时，求的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)115，65； (2)当的大小变化时，的值不发生变化，理由见解析 【详解】（1）解： ，分别是，的平分线，，， ，， ， ； ，， ，， ，分别是，的平分线， ，， ， ， 故答案为：115，65； （2）解：当的大小变化时，的值不发生变化， 理由如下： ，分别是，的平分线， ，， ， ， ，， ，， ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， 当的大小变化时，的值不发生变化． 7．（2024·全国·专题练习）图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】(1) (2)6 (3) (4)，见解析 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）解：，① ，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，． 由得：， ∴． ∵度，度， ∴，即； （4）解：关系：． 如图， ∴①，②， 由得：． ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$