第二章 二次函数 单元练习 2024—2025学年北师大数学九年级下册

2024-2025学年北师大数学九下 第二章 二次函数 单元练习 一、选择题 下列函数是二次函数的是 A． B． C． D． 抛物线 ，， 共有的性质是 A．开口向上 B．对称轴都是 轴 C．都有最高点 D．顶点都是原点 关于抛物线 ，下列说法错误的是 A．开口向上 B．顶点在 轴上 C．对称轴是 D． 时， 随 增大而减小 抛物线 是由抛物线 平移得到的，下列平移正确的是 A．先向左平移 个单位，再向上平移 个单位 B．先向右平移 个单位，再向上平移 个单位 C．先向左平移 个单位，再向上平移 个单位 D．先向右平移 个单位，再向上平移 个单位 已知一次函数 的图象如图，则二次函数 在平面直角坐标系中的图象可能是 A． B． C． D． 已知抛物线 的部分图象如图所示，若 ，则 的取值范围是 A． B． C． 或 D． 或 一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度 （米）关于运行时间 （秒）的函数解析式为 ，那么网球到达最高点时距离地面的高度是 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 对于二次函数 ，当 时的函数值总是非负数，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 或 已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象（如图所示），当直线 与新图象有 个交点时， 的取值范围是 A． B． C． D． 二次函数 的图象如图所示，，其对称轴为直线 ，与 轴的交点为 ，，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；其中，正确的结论个数是 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为 ，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 抛物线 的顶点坐标为 ． 已知二次函数的图象经过点 ，顶点为原点，将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为 ． 已知抛物线 ，如果点 与点 关于该抛物线的对称轴对称，那么点 的坐标是 ． 二次函数 的图象与 轴有公共点，则 取值范围是 ． 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 米，拱顶距离水面 米．设正常水位时桥下的水深为 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 米，则水深超过 米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ， 为抛物线的顶点，若直线 交直线 于点 ，且 为线段 的中点，则 的值为 ． 如图，抛物线 与 轴交于点 ，，把抛物线在 轴及其上方的部分记作 ，将 关于点 的中心对称图形记为 ， 与 轴交于另一点 ，将 关于点 的中心对称图形记为 ，连接 与 的顶点，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 已知二次函数 的图象经过 ，， 三点． (1) 求二次函数解析式； (2) 试说明 随 的变化情况． 如图，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：）与飞行时间 （单位：）之间具有函数关系 ． (1) 小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？ (2) 小球飞行时间 在什么范围时，飞行高度不低于 ？ 商场某种商品平均每天可销售 件，每件盈利 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品自降价 元，商场平均每天可多销售 件． (1) 当商品降价 元时，商场日盈利多少元？ (2) 每件商品降价多少元时，商场既能尽可能快的减少库存，又能使日盈利达到 元？ (3) 要使商店日盈利最多，那么每件服装应降价多少元？ 在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴是直线 ． (1) 求抛物线的表达式； (2) 点 ， 在抛物线上，若 ，请直接写出 的取值范围； (3) 设点 为抛物线上的一个动点，当 时，点 关于 轴的对称点都在直线 的上方，求 的取值范围． 如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ． (1) 求抛物线的解析式． (2) 点 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 ， 不重合），过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，连接 ，直线 能否把 分成面积之比为 的两部分？若能，请求出点 的坐标；若不能，请说明理由． (3) 若 为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点 的坐标． 如图 ，抛物线 与直线 相交于 ， 两点，且抛物线经过点 ． (1) 求抛物线的解析式． (2) 点 是抛物线上的一个动点（不与点 点 重合），过点 作直线 轴于点 ，交直线 于点 ．当 时，求 点坐标． (3) 如图 所示，设抛物线与 轴交于点 ，在抛物线的第一象限内，是否存在一点 ，使得四边形 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 答案 一、选择题 1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. B 7. D 8. A 9. D 10. B 二、填空题 11. 12. 13. 14. 15. 且 16. 17. 18. 三、解答题 19. (1) 二次函数 的图象经过 ，， 三点， 解得： 二次函数解析式的解析式为：． (2) ， 当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值为 ． 20. (1) ， 当 时， 取得最大值 米． 答：小球飞行时间是 时，小球最高为 ． (2) 由题意得：，解得：，． 由图象得：当 时，． 则小球飞行时间 时，飞行高度不低于 ． 21. (1) 当商品降价 元时，商场日盈利为： 元． (2) 每件商品降价 元时，商场既能又能使日盈利 达到 元， 则解得：尽可能快的减少库存，即卖出的多，则 ． 答：每件商品降价 元时，商场既能尽可能快的减少库存，又能使日盈利达到 元． (3) 每件服装应降价 元，日盈利为 元， 则 ， ，故 有最大值，此时，． 答：要使商店日盈利最多，那么每件服装应降价 元． 22. (1) 抛物线的对称轴是 ， ， ， ． (2) 或 ． (3) 由题意得抛物线 ， 关于 轴对称的抛物线为 ， 当 时，， 当直线 经过点 时，可得 ； 当 时，， 当直线 经过点 时，可得 ． 综上所述， 的取值范围是 ． 23. (1) 将 ， 代入 ， 得： 解得 则抛物线解析式为 ． (2) 能． 设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得 解得 直线 的解析式为 ， 设 ，则 ，，， ，， 当 时，， 即 ，整理得 ， 解得 ，（舍去），此时 点坐标为 ； 当 时，， 即 ，整理得 ， 解得 ，（舍去），此时 点坐标为 ． 综上所述，当点 的坐标为 或 时，直线 把 分成面积之比为 的两部分． (3) 满足条件的 点的坐标为 ，，，． 24. (1) 点 在直线 上， ， ， 把 ，， 三点坐标代入抛物线解析式， 可得 解得 抛物线解析式为 ． (2) 设 ，则 ，， 则 ，， ， ， 当 时，解得 或 ， 但当 时， 与 重合不合题意，舍去， ； 当 时，解得 或 ， 但当 时， 与 重合不合题意，舍去， ． 综上可知， 点坐标为 或 ． (3) 存在这样的点 ，使得四边形 的面积最大． 如图，过点 作 轴于点 ， 设 ， 则 ，，， 当 时，四边形 的面积取得最大值，最大值为 ， 此时点 的坐标为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$