2024 -2025学年北师大版数学八年级上册期末复习分类讨论思想的应用

分类讨论思想的应用2 1. 若实数x满足( x －1)＝25，则 x ＝ .2 2. 已知｜a｜＝6， b＝16，则a+b的平方根是 . 3. 在平面直角坐标系中， A (－1，2)， B ( m ， n )，若 AB ∥ x轴， AB＝3，则mn＝ . 4. 在平面直角坐标系中，直线y＝ x上有一点 A ，已知点A的横坐标等于2，经过点A的直线 AC 与x轴的夹角等于45°，与 y 轴交于点 C ，则点 C的坐标为 ⁠ 5. 在△ABC中， AB＝10， AC＝2 ，BC边上的高AD＝6，则另一边 BC的长 . 6如图所示， AD ∥ BC ，点 P 在射线 OM 上运动，设∠ ADP ＝α，∠ BCP ＝β，则∠ CPD ，α，β之间有何数量关系？请说明理由. 7. 已知 a ， b 为直角三角形的两边长，且满足(a－3)+｜ b －4｜＝0，则第三边的长为 . 8. 如图，射线 MN ⊥ AB 于 M ，点 C 从 M 出发，沿射线 MN 运动， AM ＝1， MB ＝4.当△ABC为等腰三角形时， 求 CM 的长. 9. 如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”.例如，在△ABC 中，如果∠ A ＝50°，∠ B ＝100°，那么△ ABC 就是一个“倍角三角形”. (1)已知倍角三角形的一个内角为150°，求这个三角形的另两个角的度数； (2)已知倍角三角形是一个等腰三角形，求它的顶角的度数. 10.如图，分别以长方形 OABC 的边OC ， OA 所在直线为 x 轴， y 轴，建立平面直角坐标系，已知 AO ＝10， AB ＝6，点 E 在线段 OC 上，以直线AE 为轴，把△OAE翻折，点 O 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上. (1)分别求点 D ，E的坐标. (2)若直线 AD 与 x 轴相交于点 F ，求点 F 的坐标. (3) P 是 x 轴负半轴上的一动点，是否存在等腰三角形 APF ？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由. 11.一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．(点A′在△ABC的内部) (1)如图①，若∠A＝45°，则∠1＋∠2＝________； (2)利用图①，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由； (3)如图②，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1＋∠2＝108°，利用(2)中得出的结论求∠BA′C的度数． 12.△ABC中，∠C＝80°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α. (1)若点P在边AB上，且∠α＝50°，如图①，则∠1＋∠2＝________． (2)若点P在边AB上运动，如图②，则∠α，∠1，∠2之间的关系为________． (3)若点P运动到边AB的延长线上，如图③，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由． 答案： 1.6或－4 2. 因为｜a｜＝6， b2＝16，所以 a ＝±6， b ＝±4.①当 a ＝6， b ＝4时， a ＋ b ＝10，则 a ＋ b 的平方根是± √10 ；②当 a ＝6， b ＝－4时， a ＋ b ＝2，则 a ＋ b 的平方根是± √2 ；③当 a ＝－6， b ＝4时， a ＋ b ＝－2，则a ＋ b 没有平方根；④当 a ＝－6， b ＝－4时， a ＋ b ＝－10，则 a ＋ b 没有平方根.综上， a ＋ b 的平方根为± √10 或± √2 . 3. 4或－8　 4. (0，3)或(0，－1) 5.①当高 AD 在△ ABC 内部时，如图①.∵在Rt△ ABD 中， AB ＝10， AD ＝6，∴由勾股定理，得 BD ＝ √AB^2−AD^2 ＝ √10^2−6^2 ＝8.∵在Rt△ ACD 中， AC ＝2 √10 ， AD ＝6，∴由勾股定理，得 CD ＝ √AC^2−AD^2 ＝ √(2√10)^2−6^2 ＝2.∴ BC 的长 为 BD ＋ DC ＝8＋2＝10. ②当高 AD 在△ ABC 的外部时，如图②.∵在Rt△ ABD 中， AB ＝10， AD ＝6，∴由勾股定理，得 BD ＝ √AB^2−AD^2 ＝ √10^2−6^2 ＝8.∵在Rt△ ACD 中， AC ＝2 √10 ， AD ＝6，∴由勾股定理，得 CD ＝ √AC^2−AD^2 ＝ √(2√10)^2−6^2 ＝2.∴ BC 的长为 BD － CD ＝8－2＝6.综上可得， BC 的长为10或6. 6.∠ CPD 与α，β之间的数量关系为∠ CPD ＝β－α 或∠ CPD ＝α－β或∠ CPD ＝α＋β.理由：当点 P 在线段 AB 上时，如图①，过点 P 作 PE ∥ AD 交 CD 于 E .因为AD ∥ BC ，所以 AD ∥ PE ∥ BC ，所以∠ DPE ＝∠ ADP ＝α，∠ CPE ＝∠ BCP ＝β，所以∠ CPD ＝∠ DPE ＋∠ CPE ＝α＋β.当点 P 在 BA 的延长线上时，如图②，过点 P 作PE ∥ AD 交 ON 于 E ，则易得∠ DPE ＝∠ ADP ＝α，∠ CPE ＝∠ BCP ＝β，所以∠ CPD ＝∠ CPE －∠ DPE ＝β－α. 当点 P 在 AB 的延长线上时，如图③，过点 P 作 PE ∥ AD 交 ON 于点 E ，则易得∠ DPE ＝∠ ADP ＝α，∠ CPE ＝ ∠ BCP ＝β，所以∠ CPD ＝∠ DPE －∠ CPE ＝α－β.综上所述，∠ CPD 与α，β之间的数量关系为∠ CPD ＝β－α或∠ CPD ＝α－β或∠ CPD ＝α＋β. 5或 　 7. 8. 因为 AM ＝1， BM ＝4，所以 AB ＝5.当 CB ＝ AB ＝5时，在Rt△ MCB 中， CM ＝ √ 5^2−4^2 ＝3；当 AB ＝ AC ＝5时，在Rt△ MCA 中， CM ＝ √5^2−1^2 ＝2 √6 ； 当 AC ＝ BC 时， C 在 AB 的垂直平分线上，与已知条件不符.综上所述， CM 的长为3或2 √6 . 9.（1）因为倍角三角形的一个内角为150°，所以另两个内角的和是180°－150°＝30°， 所以易得另两个角的度数是20°和10° （2）设三角形两个相等角的度数是 x ，则顶角的度数为2 x 或 1/2 x ， 所以 x ＋ x ＋2 x ＝180°或 x ＋ x ＋ 1/2 x ＝180°， 解得 x ＝45°或 x ＝72°，所以它的顶角的度数是90°或36°. 10（1）由折叠得 AD ＝ AO ＝10， OE ＝ DE . 在Rt△ ABD 中，因为 AB ＝6， AD ＝ 所以 BD ＝ √AD^2−AB^2 ＝ √10^2−6^2 ＝8.易知 BC ＝ OA ＝10，所以 CD ＝10－8＝2，所以易得 D (6，2).设 OE ＝ DE ＝ x ，则易得 EC ＝6－ x .在Rt△DEC 中，由勾股定理得 DE2＝ EC2＋ CD2，所以 x2＝(6－ x )2＋22，解得 x ＝ 10/3 ，所以 E ( 10/3 ，0). （2）设直线 AD 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ，易得 A (0，10)，把 A (0，10)和 D (6，2)的坐标分别代入 y ＝ kx ＋ b ，得{█(&b=10，@&6k＋b=2，)┤解得{█(&k＝−4/3，@&b=10.)┤所以直线 AD 的函数表达式为 y ＝－ 4/3 x ＋10.当 y ＝0时，－ 4/3 x ＋10＝0，解得 x ＝ 15/2 ，所以 F ( 15/2 ，0). （3）存在.点 P 的坐标为 (−15/2，0) 或(－5，0)或 (−35/12，0) . 11.解：(1)90° 点拨：∵点A沿DE折叠落在点A′的位置， ∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED. ∴∠ADE＝(180°－∠1)，∠AED＝(180°－∠2)． 在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°， ∴45°＋(180°－∠1)＋(180°－∠2)＝180°. 整理得∠1＋∠2＝90°. (2)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下： ∵∠BDE，∠CED是△ADE的两个外角， ∴∠BDE＝∠A＋∠AED，∠CED＝∠A＋∠ADE. ∴∠BDE＋∠CED＝∠A＋∠AED＋∠A＋∠ADE. ∴∠1＋∠A′DE＋∠2＋∠A′ED＝2∠A＋∠AED＋∠ADE，即∠1＋∠2＝2∠A. (3)由(2)得∠1＋∠2＝2∠A，得2∠A＝108°， ∴∠A＝54°. ∵BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB， ∴∠A′BC＋∠A′CB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A. ∴∠BA′C＝180°－(∠A′BC＋∠A′CB)＝180°－＝90°＋×54°＝117°. 12．解：(1)130°　点拨：如图①，连接CP， ∵∠1是△CDP的外角， ∴∠1＝∠DCP＋∠DPC. 同理可得，∠2＝∠ECP＋∠EPC， ∴∠1＋∠2＝∠ACB＋∠DPE＝80°＋50°＝130°. (2)∠1＋∠2＝80°＋∠α 点拨：如图②，连接CP， ∵∠1是△CDP的外角， ∴∠1＝∠DCP＋∠DPC， 同理可得，∠2＝∠ECP＋∠EPC，∴∠1＋∠2＝∠ACB＋∠DPE＝80°＋∠α. (3)∠1＝80°＋∠2＋∠α，理由如下： 如图③，∵在△CDM中，∠1＝∠C＋∠CMD，在△EMP中，∠CMD＝∠2＋∠α， ∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α， 即∠1＝80°＋∠2＋∠α.. 学科网（北京）股份有限公司 $$