5.3三角函数诱导公式课时过关检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数诱导公式综合练习解析 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．若点P在角－的终边上，且P的坐标为(2，y)，则实数y＝(　B　) A．－ B．－2 C．－1 D．－ 解析：因为点P在角－的终边上，且P的坐标为(2，y)，所以tan ＝，所以y＝2tan ＝－2tan ＝－2.故选B. 2．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角和扇形面积分别为(　A　) A．，48 B．，24 C．，24 D．，48 解析：α＝＝＝，S＝l·r＝×12×8＝48.故选A. 3．在△ABC中，cos (A＋B)＝(　B　) A．cos C B．－cos C C．sin C D．－sin C 解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C.故选B. 4．已知sin ＝，且α∈，则cos 的值为(　C　) A． B．－ C． D．－ 解析：易得sin ＝sin [π－(＋α)]＝sin ＝，又α∈，∴－α∈(－，)， ∴cos ＝＝.故选C. 5．已知cos31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　B　) A． B． C．－ D．－ 解析：sin 239°tan 149°＝sin (180°＋59°)·tan (180°－31°)＝－sin 59°·(－tan 31°)＝－sin (90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝.故选B. 6．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝，根据这些信息，可得cos144°＝(　C　) A． B．－ C．－ D．－ 解析：∵∠ABC＝108°，∴∠BAC＝×(180°－108°)＝36°，∵cos 36°＝＝×＝，∴cos 144°＝－cos 36°＝－.故选C. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．设α是三角形的一个内角，则下列三角函数值可能为负的有(　BC　) A．sin α B．cos α C．tan α D．sin 解析：因为α是三角形的一个内角，所以α∈(0，π)，所以sin α>0恒成立，故A不符合题意；当α∈时，cos α<0，tan α<0，故B，C符合题意；因为∈，所以sin ＝sin ＝cos >0，故D不符合题意．故选BC. 8．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　AC　) A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝ 解析：∵sin (π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.若α＋β＝，则β＝－α.对于A，sin β＝sin ＝cos α＝±，故A符合条件；对于B，cos (π＋β)＝－cos ＝－sin α＝－，故B不符合条件；对于C，tan β＝，即sin β＝ cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故C符合条件；对于D，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝±，故D不符合条件．故选AC. 9．已知f(α)＝，则下列说法正确的是(　AD　) A．y＝f(x)为奇函数 B．f的值大于零 C．若tanα＝2，则f(α)＝ D．若f(α)＝，α∈(0，π)，则sin α－cos α＝ 解析：f(α)＝＝ ＝－sinαcos α，则f(x)＝－sin x cos x，∵y＝f(x)的定义域为R，f(0)＝－sin 0cos 0＝0，且f(－x)＝－sin (－x)·cos (－x)＝－(－sin x)cos x＝sin x cos x＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数，A正确；f＝－sin cos ＝－×＝－<0，B错误；f(α)＝－sin αcos α＝＝＝＝－，C错误；若f(α)＝－sinαcos α＝，则(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝1＋×2＝，即sin α－cos α＝±，∵α∈(0，π)，∴sin α>0，而－sin αcos α＝>0，∴cos α<0，则sin α－cos α＝，D正确．故选AD. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．若钝角α的终边与单位圆交点的纵坐标是，则α的弧度数是，tan α＝－． 解析：由sin α＝，且α为钝角，易知α＝，则tan α＝tan ＝－tan ＝－. 11．若sin ＝，则sin ＝±． 解析：cos (α＋)＝±＝±，所以sin＝sin (α＋＋)＝cos ＝±. 12．已知sin (α－3π)＝2sin ，则＝． 解析：由sin (α－3π)＝2sin (－α＋)，得sin (α＋π)＝－2sin (α＋)，即－sin α＝－2cos α，因此sin α＝2cos α，所以＝＝ ＝＝. 四、解答题(共37分) 13．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知单位圆上动点P(sin (150°－2t)，cos (150°－2t)).当t由0°增大到60°时，求动点P的轨迹的长度． 解：由诱导公式可得动点P的坐标为(cos (2t－60°)，sin (2t－60°)).当0°≤t≤60°时，－60°≤2t－60°≤60°.如图，可知∠POP′＝120°＝，∴动点P的轨迹的长度为弧PP′的长， 由弧长公式得弧PP′的长为r×＝1×＝. 14．(12分)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P. (1)求实数m的值； (2)f(α)＝，求f(α)的值． 解：(1)由点P在单位圆上，则m2＋＝1，解得m＝±， 由点P在第二象限角α的终边上， 则m＝－. (2)由点P是角α的终边与单位圆的交点， 则sin α＝，cos α＝－， tan α＝＝－， f(α)＝＝ ＝＝－. 15．(15分)在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位圆的交点坐标为A(m<0)，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f(θ). (1)求函数y＝f(θ)的解析式，并求f的值； (2)若f(θ)＝，θ∈(0，π)，求tan (θ－)的值． 解：(1)因为sin α＝－，且m<0，所以m＝－＝－，所以A在第三象限，即α为第三象限角， 如图，由题意知∠AOC＝， 所以α＝＋2kπ，k∈Z， 所以y＝f(θ)＝sin (θ＋＋2kπ)， 即y＝f(θ)＝sin (θ＋)＝－sin(θ＋)， f＝－sin ＝sin ＝. (2)由f(θ)＝知－sin (θ＋)＝， 即sin ＝－， 由θ∈(0，π)，得θ＋∈，与此同时sin <0，所以cos <0， 由平方关系解得cos ＝－， tan ＝tan ＝＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数诱导公式综合练习解析 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．若点P在角－的终边上，且P的坐标为(2，y)，则实数y＝(　　) A．－ B．－2 C．－1 D．－ 2．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角和扇形面积分别为(　　) A．，48 B．，24 C．，24 D．，48 3．在△ABC中，cos (A＋B)＝(　　) A．cos C B．－cos C C．sin C D．－sin C 4．已知sin ＝，且α∈，则cos 的值为(　) A． B．－ C． D．－ 5．已知cos31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 6．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝，根据这些信息，可得cos144°＝(　C　) A． B．－ C．－ D．－ 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．设α是三角形的一个内角，则下列三角函数值可能为负的有() A．sin α B．cos α C．tan α D．sin 8．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　) A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝ 9．已知f(α)＝，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)为奇函数 B．f的值大于零 C．若tanα＝2，则f(α)＝ D．若f(α)＝，α∈(0，π)，则sin α－cos α＝ 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．若钝角α的终边与单位圆交点的纵坐标是，则α的弧度数是_____________，tan α＝____________ 11．若sin ＝，则sin ＝____________． 12．已知sin (α－3π)＝2sin ，则＝____________． 四、解答题(共37分) 13．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知单位圆上动点P(sin (150°－2t)，cos (150°－2t)).当t由0°增大到60°时，求动点P的轨迹的长度． 14．(12分)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P. (1)求实数m的值； (2)f(α)＝，求f(α)的值． 15．(15分)在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位圆的交点坐标为A(m<0)，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f(θ). (1)求函数y＝f(θ)的解析式，并求f的值； (2)若f(θ)＝，θ∈(0，π)，求tan (θ－)的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$