4.4 数学归纳法（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法（单元教学设计） 一、【单元目标】 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 在数学归纳法这一节的学习中，学生们将面临一种全新的数学证明方法，这既是挑战也是机遇．从之前的学习情况来看，学生们已经具备了一定的数学基础和逻辑推理能力，但数学归纳法作为一种特殊的证明技巧，其思维方式和证明过程与以往有所不同，因此可能会给学生带来一定的困惑．部分学生可能在初次接触数学归纳法时感到难以理解和应用，特别是对于归纳假设的运用和归纳结论的推导可能会感到陌生．然而，通过教师的引导和大量的练习，学生们可以逐渐掌握这一方法，并发现其在证明与自然数有关的命题时的强大作用．因此，在教学过程中，教师需要注重学生的个体差异，采用多种教学方法和手段，如实例演示、小组讨论、分步讲解等，以帮助学生克服难点，掌握数学归纳法的精髓．同时，鼓励学生积极思考和探索，培养他们的自主学习能力和创新思维． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：数学归纳法的原理及应用． 教学难点：（1）理解数学归纳法原理． （2）归纳递推中归纳假设的应用． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：同学们，大家在生活中或许都有过这样的体验：在家里不小心犯了个小错，父母就似乎觉得你做什么都不对；或者，一旦发现有人欺骗了你，你就感觉周围人都不可信；再比如，做题时遇到第一道难题解不出，就觉得自己所有题目都解答不了．其实，这些都是因为我们不自觉地用了“以偏概全”的思考方式，也就是不完全归纳，这样的结论往往并不准确．而且，这样的思考方式还容易给我们自己贴上负面的心理标签，对我们造成不必要的心理压力和伤害．今天，我们就一起来探讨如何克服这种心理障碍，学会更全面、更客观地看待问题和自己吧！ 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．数学归纳法的理解 问题1：如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 【破解方法】不能．从袋子里拿出5个小球并发现它们全部都是绿色的，并不能直接判断袋子里面的小球都是绿色的．这是因为我们所看到的只是袋子中小球的一部分，而不是全部．这种基于部分观察来推断整体的情况，就是不完全归纳． 在数学和逻辑学中，我们通常要求更严格的证明或证据来支持对整体的判断．仅仅因为拿出的5个小球是绿色的，并不能保证袋子里剩下的所有小球也都是绿色的．可能袋子里还有其他颜色的小球，只是我们这次没有拿到而已． 因此，要判断袋子里面的小球是否都是绿色的，我们需要更多的信息或证据，比如袋子中小球的总数、各种颜色小球的比例，或者通过更全面的抽样来观察．在没有足够信息的情况下，我们不能轻易地下结论说袋子里面的小球都是绿色的． 问题2：在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 【破解方法】要确保在多米诺骨牌游戏中，每一块骨牌倒下都能引发下一块骨牌倒下，只需确保首块骨牌被推倒，就能引发整串骨牌的连锁反应．这种推理方式，即通过确认一个初始情况，并证明每个后续情况都基于前一个情况而成立，从而得出所有情况均正确的结论，被称为数学归纳法．尽管名字中含有“归纳”，但这种方法实际上是一种严谨的证明手段，其结论具有确定性．简而言之，数学归纳法就是通过验证首个案例，并证明每个案例都能引发下一个案例，从而确保所有案例均无误的推理过程． 【归纳新知】 1、数学归纳法定义： 对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 知识点诠释： 即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立． 2、数学归纳法的原理： 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法． 它的证明共分两步： ①证明了第一步，就获得了递推的基础． 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； ②证明了第二步，就获得了递推的依据． 但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论． 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）． 3、数学归纳法的功能和适用范围 （1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程． （2）数学归纳法一般被用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明． 问题3：数学归纳法的第一步、第二步的作用分别是什么?你认为数学归纳法中的两个步骤有什么关系? 【破解方法】数学归纳法的第一步和第二步在逻辑上紧密相连，共同构成了证明与自然数有关命题的强大工具．第一步确保了推理证明的起点正确无误，第二步则通过归纳递推将命题的正确性扩展到所有自然数．两者缺一不可，共同构成了数学归纳法的完整证明过程． 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：对数学归纳法的理解 【例1】用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当时， 左边 故选：C 【对点训练1】下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当时，． 证明：假设当时，等式成立，即． 则当时，左边=右边． 所以当时，等式也成立． 由此得出，对任何，等式都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是． 证明，①当时，左边=，右边，等式成立． ②假设当时，等式成立，即．则当时， ， ． 上面两式相加并除以2，可得 ， 即当时，等式也成立． 由①②可知，等差数列的前n项和公式是 【解析】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明时等式成立； （2）有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程． 题型二：归纳—猜想—证明 【例2】设，． （1）当时，计算的值； （2）你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 【解析】（1）由，，得； ；； ． （2）由（1）猜想：当时，能被8整除． ①当时，有，能被8整除，命题成立； ②假设当时命题成立，即能被8整除， 则当时， ， 显然和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除， 又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除，因此当时命题也成立， 由①②知，当时，能被8整除． 【对点训练2】已知数列，，，…，，…， （1）计算； （2）由以上结果推测计算的公式，并用数学归纳法给出证明． 【解析】（1）， ， ； （2）由（1）猜想 ，下面用数学归纳法加以证明：检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立． ①时，，成立； ②假设时，有成立， 则当时， ， 时，猜想也成立， 故由①，②可知，猜想对都成立． 题型三：证明恒等式 【例3】用数学归纳法证明：若等差数列中，为首项，d为公差，则通项公式为 【解析】证明：（1）当时，等式左边，等式右边，等式成立． （2）假设当时等式成立，即， 那么，当时，有 ． 这就是说，当时等式也成立． 根据（1）和（2）可知，对任何，等式都成立． 【对点训练3】用数学归纳法证明：当时，． 【解析】第一步：当时，等式左边，等式右边，等式成立． 第二步：假设当时等式成立，即， 那么，当时，有． 这就是说，当时等式也成立． 综上所述，对任何，等式都成立． 【对点训练4】用数学归纳法证明． 【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立； ②假 设 当 时等式成立， 即． 那么， 即当时等式也成立． 由①②知，等式对任何都成立． 题型四：证明不等式 【例4】观察下列两个数列，： 数列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…； 数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…． 猜想从第几项起小于，并证明你的结论． 【解析】根据题意可得：数列的通项公式为， 数列的通项公式为， 由， 猜想从第项起， 即证当时，， ⑴当时，，，显然，猜想成立； ⑵假设当时，猜想成立，即， 当时， ， 即， 即当时，猜想成立， 由⑴⑵可知，当时，都有，即． 【对点训练5】已知数列满足，．试用数学归纳法证明并比较与的大小关系． 【解析】证明：， 当时，，成立， 假设当时成立，则， 那么时，若，则，矛盾， 故， 因此， ， 因此， 题型五：用数学归纳法证明整除性问题 【例5】证明：能够被6整除． 【解析】⑴当时，，显然能够被6整除，命题成立； ⑵假设当时，命题成立，即能够被6整除， 当时， ， 由假设知：能够被6整除， 而为偶数，故能够被6整除， 故能够被6整除， 即当时，命题成立， 由⑴⑵可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除． 题型六：用数学归纳法证明几何问题 【例6】在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点．问：这n条直线将平面分成多少个部分？ 【解析】记n条直线把平面分成个部分，我们通过，2，3，4，5，画出图形观察的情况（如图） 从图中可以看出， ， ， ， ， ． 由此猜想． 接下来用数学归纳法证明这个猜想． （1）当，2时，结论均成立． （2）假设当时结论成立，即． 那么，当时，第k+1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点， 这k个交点将这条直线分成k+1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分， 所以，结论也成立． 根据（1）和（2）可知，对，都有， 即． 环节四：小结提升，形成结构 问题4：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）你能从数学知识、思想方法、应用等方面构建本节课的知识结构图吗？ （2）我们是通过怎样的方式得到数学归纳法原理的？ （3）用数学归纳法证明关于正整数n的命题的基本步骤是什么？ （4）用数学归纳法证明的第二步的本质是什么？ （5）在具体应用数学归纳法证明关于正整数n的命题时，应注意哪些细节？ 【破解方法】学生回顾课堂知识、梳理知识框架，主动展示交流，然后教师点评、总结． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．用数学归纳法证明： 【解析】（1）当时，左边=-1，右边=-1，等式成立； （2）假设当时等式成立， 即， 则当时， 左边 =右边． 所以，当时，等式成立； 由（1）（2）可知，对． 2．猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 【解析】由可得， 得， ， ． 推测． 下面用数学归纳法证明： ①当时，左边， 右边，结论成立． ②假设时等式成立， 有， 则当时， 故当时，结论也成立． 由①②可知，对任何都有． 3．已知数列满足，．计算，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【解析】由得， ，， 同理可求，，，猜想 证明：①当时，猜想成立． ②设当时，猜想成立，即， 则当时，有， 所以当时猜想也成立． 综合①②，猜想对任何都成立． 4．已知数列，，，…，，…的前n项和为．计算，，，，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 【解析】由题意，数列，，，…，， 可得， 可以看出，上面的四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数表示为， 所以可猜想， 数学归纳法证明如下： ①当时，左边，右边，猜想成立； ②假设时，猜想成立，即， 当时， ， 所以当时，猜想也成立， 由①②可知，对任意都有成立， 所以． 5．已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则．请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 【解析】用数学归纳法证明如下： ①当时，，有，所以不等式成立； ②假设时不等式成立，即设为非负实数，为正实数， 若，则． 则当时，需证：设为非负实数，为正实数， 若，则， 因为，所以，且，所以 ， 所以 因为，所以 ， 所以由归纳假设可得 ， 从而， 又由， 所以 ，故当时不等式成立． 由①②知，对一切正整数，所推广的命题成立． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第51页习题4．4第3、4、5、7、9、10题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 本节课教授了数学归纳法，一种在数学中证明与自然数有关命题的重要方法．通过实例演示和逐步引导，学生们对数学归纳法的两个步骤有了初步的理解．然而，在教学过程中也发现了一些问题． 首先，部分学生在理解归纳假设时存在困难，难以将假设应用到归纳步骤中．这可能是因为他们对逻辑推理的掌握还不够熟练，需要更多的练习和巩固． 其次，虽然课堂上进行了例题讲解，但部分学生在自主练习时仍然感到迷茫，不知道如何将数学归纳法应用到具体问题中．这提示我在今后的教学中需要增加更多的实践环节，让学生们在实践中加深对数学归纳法的理解和应用． 总的来说，本节课取得了一定的教学效果，但也存在一些不足．在今后的教学中，我将继续优化教学方法，加强逻辑推理的训练，提高学生们对数学归纳法的掌握和应用能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$