4.3 等比数列（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3 等比数列（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）通过日常生活中的实际例子，深入理解等比数列的定义以及通项公式所表达的含义，即每一项与它的前一项之间的比例是恒定的，并学会如何根据这个性质识别和构造等比数列． （2）自主探索并熟练掌握等比数列前n项和的计算方法，即前n项和公式，同时深入理解等比数列的通项公式与前n项和公式之间的内在联系，能够灵活运用这两个公式解决相关问题． （3）在面对具体问题时，能够敏锐地识别出数列中的等比关系，运用等比数列的知识和方法，有效地解决这类问题，展现出较强的问题解决能力． （4）深刻体会等比数列与指数函数之间的密切关系，理解它们在数学表达形式、性质以及应用等方面的相通之处，进一步拓宽数学视野，提升数学素养． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 首先，学生在之前的学习中已经接触过等比数列，对等比数列的概念、性质以及前n项和公式有了一定的了解．这为学习等比数列奠定了一定的基础，但等比数列与等比数列在性质上存在较大差异，因此学生需要转变思维，适应等比数列的特点．其次，等比数列的通项公式和前n项和公式是学习的重点，也是难点．学生需要理解并掌握这两个公式的推导过程，以及公式中各个参数的含义和作用．同时，学生还需要学会如何灵活运用这两个公式解决实际问题．最后，等比数列与指数函数之间的密切关系也是学生需要理解和掌握的重要内容．这需要学生具备一定的抽象思维能力和数学素养，能够看出两者之间的内在联系，并能够在实际问题中灵活运用这种关系． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约4课时 教学重点：等比数列的概念、等比数列的通项公式和性质、等比数列前n项和公式的推导． 教学难点：错位相减法的发现． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：据传，国际象棋源自古老的印度，而一位富有智慧的印度教宰相为了告诫一位自视过高的国王，向他引荐了一款当时鲜为人知的游戏．国王对这款游戏产生了极大的兴趣，并询问宰相希望获得何种奖赏以表彰其忠诚．宰相提出了一个看似简单的请求：他请求国王在棋盘的首格放置一粒麦子，接着在第二格放置两粒，第三格四粒，以此类推，每一格放置的麦粒数量都是前一格的两倍，直至棋盘的第64格被填满．这样，从第一格到第六十四格，麦粒的数量就形成了一个特定的数列：1，2，22，23，24，…，263．这个数列，正是我们今天要深入研究的等比数列，它揭示了自然界与数学中广泛存在的一种增长规律． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．等比数列的定义 问题1：观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． （ 1）我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列： （2）《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： （3）的次幂按1次幂、2次幂、3次幂．．．，依次排成一列数：； 以上数列有什么共同特点？ 【破解方法】通过具体实例，引导学生明白这三个实例中的数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． 【归纳新知】 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 知识点诠释： ①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个； ③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了． 2．等比中项 问题2：我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 【破解方法】不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设这三个数成等比数列，则根据定义会有，即，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若这三个数成等比数列，由定义可知，，即；或这三个数成等比数列，由定义可知，，即，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数． 【归纳新知】 等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 知识点诠释： ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项． ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一． ③当时，、、成等比数列． ④是、、成等比数列的必要不充分条件． 3．等比数列的通项公式 问题3：类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 【破解方法】 推导过程： （1）归纳法： 根据等比数列的定义可得： ∴； ； ； …… 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出： （2）叠乘法： 根据等比数列的定义可得： ， ， ， …… ， 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即 又a1也符合上式 ∴． （3）迭代法： ∴． 【归纳新知】 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 知识点诠释： ①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 问题4：观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 【破解方法】等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列． 4．等比数列的性质 问题5：你能把等差数列里面的类比出等比数列中相似的性质吗？ 【破解方法】 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：， 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 问题6：若数列是等比数列，公比为，则这四项之间有什么样的关系? 【破解方法】，容易发现，因为，故有． 【归纳新知】 设等比数列的公比为 1 若，且，则， 特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； 5．等比数列的前n项和公式 问题7：若等比数列的首项是，公比是，如何求该等比数列的前项的和？ 【破解方法】 推导过程： （1）利用等比性质 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． （2）错位相减法 等比数列的前n项和， ①当时，，； ②当时，由得： 所以或． 即 【归纳总结】 等比数列的前项和公式 知识点诠释： ①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法． ②在求等比数列前项和时，要注意区分和． ③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量． 6．等比数列前项和的函数特征 问题8：观察等比数列前项和公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 【破解方法】 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 7．等比数列的前项和的有关性质 问题9：类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 【破解方法】 若等比数列的项数有项，则其偶数项和为 其奇数项和为，容易发现两列式子中对应项之间存在联系， 即，所以有． 若等比数列的项数有项，则其偶数项和为，其奇数项和为，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有，即． 问题10：类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现（为偶数且．除外）的关系吗? 【破解方法】 仍成等比数列，证明如下： 当时，结论显然成立； 当时，． 而， 故有 所以成等比数列． 【归纳新知】 等比数列的前项和的有关性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：等比数列的判断 【例1】判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比． （1）3，9，15，21，27，33；     （2）1，1．1，1．21，1．331，1．4641； （3），，，，，；     （4）4，，16，，64，． 【解析】（1）3，9，15，21，27，33；因为，故不是等比数列； （2），，，， 所以，所以是等比数列，公比 （3），，，，，；     显然，故不是等比数列； （4）因为，，，，，；   所以，所以是等比数列，公比 【对点训练1】对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论． 【解析】由题意知： ， 因为，，，为定值常数． 且 所以数列为以为首项，为公比的等比数列． 题型二：等比数列的通项公式及其应用 【例2】若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项． 【解析】法一：由，，设该等比数列的公比为，得 ②的两边分别除以①的两边，得． 解得或． 把代入①，得． 此时． 把代入①，得． 此时． 因此，的第5项是24或． 法二：因为是与的等比中项，所以 ． 所以． 因此，的第5项是24或． 【对点训练2】已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示． 【解析】由题意，得 ，① ．② ②的两边分别除以①的两边，得， 所以． 【对点训练3】已知数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 【解析】设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为， 80， 80＋d， 80＋2d． 由题意得， 解得或， 所以这个数列是20， 40， 80， 96， 112，或180， 120， 80， 16， －48． 题型三：等比数列的证明 【例3】已知数列的首项． （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 【解析】（1）由，，得的通项公式为． 设，则． 又， 所以，是以27为首项，9为公比的等比数列； （2）由，，得． 两边取以3为底的对数，得． 所以． 又， 所以，是首项为1，公差为的等差数列． 【对点训练4】在数列中，已知，．求证：是等比数列． 【解析】由，得， 即， 所以是首项为，公比为的等比数列． 【对点训练5】已知数列的首项，且满足． 求证：数列为等比数列． 【解析】由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列． 题型四：等比数列的实际应用 【例4】用10000元购买某个理财产品一年． （1）若以月利率0．400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 【解析】（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以 ． 所以，12个月后的利息为（元）． （2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列， 则也是一个等比数列，首项，公比为，于是． 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元． 解不等式，得． 所以，当季度利率不小于1．206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息． 【对点训练6】某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0．4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？    【解析】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，． 由题意，知， ，其中，2，…，24， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ． 由计算工具计算（精确到0．1），并列表， n 1 2 3 4 5 6 7 105．0 105．8 106．5 107．0 107．2 107．2 106．9 n 8 9 10 11 12 13 14 106．4 105．5 104．2 102．6 100．6 98．1 95．0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可． 由， 得． 所以，当时，单调递减． 又， 所以，当时， 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 题型五：等比数列性质的应用 【例5】在等比数列中，，．求和公比q． 【解析】设等比数列的首项为，公比为，因为，，由等比数列的性质可得，，又， ，， ，解得：， 当时，由，所以； 当时，由，所以 所以或 【对点训练7】已知数列是等比数列． （1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？ （2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？ 【解析】（1）设等比数列的公比为， 则，，， ，则，，成等比数列， 又，则，所以，，成等比数列； （2），， ，所以，，成等比数列； 又，则， 所以，，是等比数列． 题型六：等比数列前项和的有关计算 【例6】已知数列是等比数列． （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求n． 【解析】（1）因为，，所以． （2）由，，可得，即， 又由，得，所以． （3）把，，代入，得． 整理得，解得． 【对点训练8】已知等比数列的首项为，前n项和为．若，求公比q． 【解析】若，则，所以． 由，得． 整理，得，即． 所以． 题型七：等比数列前项和的性质 【例7】已知等比数列的公比，前项和为．证明，，成等比数列，并求这个数列的公比． 【解析】证明：当时，， ， ， 因为， 所以，，成等比数列，公比为1． 当时，， ， ， 所以． 因为为常数，所以，，成等比数列，公比为． 综上知，，，成等比数列，公比为． 题型八：递推公式在实际问题中的应用 【例8】某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…    （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； （3）求的值（精确到1）． 【解析】（1）由题意知，并且 ．  ① （2）将化为 ．  ② 比较①②的系数，可得， 解这个方程组，得， 所以，（1）中的递推公式可以化为． （3）由（2）可知，数列是以为首项， 为公比的等比数列，则 ． 所以． 题型九：利用错位相减法求数列的前项和 【例9】已知，且．对于，证明：． 【解析】证明：记， 因为，且，所以两边同乘以，得： ， 所以， 所以． 所以，即证． 【对点训练9】求和： （1）（； （2）． 【解析】（1） = = （2）当时： 当时：记 化简得： 综上所述： 题型十：等比数列前n项和公式的实际应用 【例10】如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形 EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去． （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 【解析】（1）设正方形ABCD面积为，后继各正方形的面积依次为则=25， 由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点， 所以， 因此是以25为首项，为公比的等比数列． 设的前n项和为，根据等比数列前项和公式可得 ==， 所以前10个正方形的面积之和为 （2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和而 =， 随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50． 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50 【对点训练10】去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1．5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0．1万吨）． 【解析】设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列， 每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨）， 则，， ． 当时，． 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63．5万吨． 环节四：小结提升，形成结构 问题11：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）等比数列定义的文字语言和符号语言分别是什么？ （2）判断一个数列是否为等比数列有几种方法? 应用等比数列定义的关键是什么? （3）我们是如何由等比数列的递推公式推导其通项公式的？ （4）等比数列有哪些性质？推导等比数列的性质的关键是什么？ （5）推导等比数列的前n项和公式时，用了哪些方法? 【破解方法】学生回顾课堂知识、梳理知识框架，主动展示交流，然后教师点评、总结． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．求满足下列条件的数： （1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列； （2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列． 【解析】（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列， 设等比数列的公比为， 则，解得， 所以在9与243中间插入2个数为、． （2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列， 设等比数列的公比为， 则，解得． 所以在160与中间插入4个数为、、、． 2．设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列．若是，证明结论；若不是，请说明理由． （1）数列，其中；     （2）数列，其中． 【解析】数列，都是等比数列，设公比分别为、（、均不为） （1）由，则， 所以数列为等比数列． （2）由，则． 所以数列为等比数列． 3．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆．如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？ 【解析】根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设为，则，公比，所以，则2025年全年约生产新能源汽车为（辆）， 故2025年全年约生产新能源汽车128145辆． 4．某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0．01）（参考数据）？ 【解析】设平均增长率，依题意可得，， 则， 所以， 故平均增长率约为． 5．已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值． 【解析】设时，最大， 因为，， 所以 所以 即，故 ， ， 即 所以 故当取最大值时， 6．已知数列是等比数列． （1）若，，，求； （2）若，，，求； （3）若，，求q与； （4）若，，求与q． 【解析】（1）因为，，，可得． （2）因为，，且， 所以． （3）设等比数列的公比为，因为，，可得， 即，解得，所以． （4）设等比数列的公比为，因为，， 当时，可得，此时，满足题意； 当时，可得，解得． 7．设等比数列的前n项和为 ．已知求和 ． 【解析】设的公比为，由题设得 解得或 ， 当时， ； 当时， 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第41页习题4．3第3、4、5、7、10题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 首先，等比数列作为数列中的一大重点，其概念相对抽象，需要学生们具备一定的数学基础和逻辑思维能力．在教学过程中，我注重从实际出发，通过生动的实例引导学生理解等比数列的定义和性质，帮助他们建立起直观的认识． 对于前n项和公式的推导，我采用了逐步引导的方式，让学生们参与到公式的推导过程中来，通过自主思考和合作讨论，加深他们对公式的理解和记忆．同时，我也注重公式的应用，通过大量的练习题，让学生们在实践中掌握公式的使用方法，提高他们的解题能力． 然而，在教学过程中，我也发现了一些问题．部分学生对于等比数列的概念理解不够深入，导致在后续的学习中出现了困难．针对这一问题，我计划在今后的教学中加强概念的讲解和巩固，通过更多的实例和练习题，帮助学生们更好地理解和掌握等比数列及其前n项和公式． 总的来说，这次教学让我深刻体会到了因材施教的重要性，也让我更加明确了自己在教学中的不足和努力方向． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$