4.3 等比数列（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3 等比数列（单元教学设计）

一、【单元目标】

（1）通过日常生活中的实际例子，深入理解等比数列的定义以及通项公式所表达的含义，即每一项与它的前一项之间的比例是恒定的，并学会如何根据这个性质识别和构造等比数列．

（2）自主探索并熟练掌握等比数列前n项和的计算方法，即前n项和公式，同时深入理解等比数列的通项公式与前n项和公式之间的内在联系，能够灵活运用这两个公式解决相关问题．

（3）在面对具体问题时，能够敏锐地识别出数列中的等比关系，运用等比数列的知识和方法，有效地解决这类问题，展现出较强的问题解决能力．

（4）深刻体会等比数列与指数函数之间的密切关系，理解它们在数学表达形式、性质以及应用等方面的相通之处，进一步拓宽数学视野，提升数学素养．

二、【单元知识结构框架】

三、【学情分析】

首先，学生在之前的学习中已经接触过等比数列，对等比数列的概念、性质以及前n项和公式有了一定的了解．这为学习等比数列奠定了一定的基础，但等比数列与等比数列在性质上存在较大差异，因此学生需要转变思维，适应等比数列的特点．其次，等比数列的通项公式和前n项和公式是学习的重点，也是难点．学生需要理解并掌握这两个公式的推导过程，以及公式中各个参数的含义和作用．同时，学生还需要学会如何灵活运用这两个公式解决实际问题．最后，等比数列与指数函数之间的密切关系也是学生需要理解和掌握的重要内容．这需要学生具备一定的抽象思维能力和数学素养，能够看出两者之间的内在联系，并能够在实际问题中灵活运用这种关系．

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约4课时

教学重点：等比数列的概念、等比数列的通项公式和性质、等比数列前n项和公式的推导．

教学难点：错位相减法的发现．

教学方法/过程：

五、【教学问题诊断分析】

环节一、情景引入，温故知新

情景：据传，国际象棋源自古老的印度，而一位富有智慧的印度教宰相为了告诫一位自视过高的国王，向他引荐了一款当时鲜为人知的游戏．国王对这款游戏产生了极大的兴趣，并询问宰相希望获得何种奖赏以表彰其忠诚．宰相提出了一个看似简单的请求：他请求国王在棋盘的首格放置一粒麦子，接着在第二格放置两粒，第三格四粒，以此类推，每一格放置的麦粒数量都是前一格的两倍，直至棋盘的第64格被填满．这样，从第一格到第六十四格，麦粒的数量就形成了一个特定的数列：1，2，22，23，24，…，263．这个数列，正是我们今天要深入研究的等比数列，它揭示了自然界与数学中广泛存在的一种增长规律．

环节二、抽象概念，内涵辨析

1．等比数列的定义

问题1：观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．

（ 1）我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”构成数列：

（2）《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：

（3）的次幂按1次幂、2次幂、3次幂．．．，依次排成一列数：；

以上数列有什么共同特点？

【破解方法】通过具体实例，引导学生明白这三个实例中的数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．

【归纳新知】

等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．

知识点诠释：

①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；

②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；

③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；

④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列；

⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了．

2．等比中项

问题2：我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？

【破解方法】不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设这三个数成等比数列，则根据定义会有，即，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若这三个数成等比数列，由定义可知，，即；或这三个数成等比数列，由定义可知，，即，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数．