三角函数专题复习学案-2025届高三数学一轮复习

三角函数专题复习解析 专题一 同角三角函数基本关系式和诱导公式 应用诱导公式时要弄清三角函数值在各个象限内的符号．主要考查角度：①角的概念及其表示；②三角函数的定义及其应用；③扇形的弧长及面积公式；④三角函数的诱导公式． 　(1)已知＝3. ①求tan α的值； ②求的值． (2)已知f(α)＝. ①若α是第三象限角，且cos α＝－，求f(α)的值； ②若f(α)＝－4，求的值． 【解】　(1)①根据三角函数的基本关系式，可得＝＝ 3，解得tan α＝2. ②由①知tan α＝2，所以 ＝＝cos 2α， 由tan α＝2，可得cos α＝±， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝－. 即原式的值为－. (2)①f(α)＝＝， 因为α是第三象限角，且cos α＝－， 所以sin α＝－＝－，故f(α)＝＝＝－. ②f(α)＝＝－4，故1＋cos α＝3sin α， 由于sin α位于分母的位置，故sin α≠0，故1＋cos α≠0， 故＝＝ ＝＝ ＝3. 专题二 三角函数的图象和性质 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质．主要考查角度：①三角函数的性质；②三角函数图象的变换；③求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式；④函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质． 　(1)(多选题)已知函数f(x)＝tan ωx－(ω>0)，则下列说法正确的是(　AD　) A．若f(x)的最小正周期是2π，则ω＝ B．当ω＝1时，f(x)图象的对称中心为(k∈Z) C．当ω＝2时，f<f D．若f(x)在区间上单调递增，则0<ω≤ 【解析】　对于A，当f(x)的最小正周期是2π，即T＝＝2π时，则ω＝，故A正确；对于B，当ω＝1时，f(x)＝tan (x－)，所以令x－＝，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为(＋，0)(k∈Z)，故B错误；对于C，当ω＝2时，f(x)＝tan (2x－)，f(－)＝tan [2×(－)－]＝tan (－)＝tan (－)，f()＝tan (2×－)＝tan ＝ tan (－)，由于y＝tan x在(－，0)上单调递增，故f(－)>f()，故C错误；对于D，令－＋kπ<ωx－<＋kπ，k∈Z，解得－＋<x<＋，k∈Z，所以函数的单调递增区间为(－＋，＋)，k∈Z，因为f(x)在区间(，π)上单调递增，所以k∈Z， 解得－1＋3k≤ω≤＋k，k∈Z，另一方面，T＝≥π－＝，ω≤，所以＋k≤，即k≤，又因为ω>0，所以k＝0，故0<ω≤，故D正确．故选AD. (2)(多选题)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　BC　) A．f(x)＝2cos B．函数f(x)的图象关于点对称 C．∀x∈R，f(x)＝f D．函数f(x)在上无最小值 【解析】　由题图可知，A＝2，＝－(－)＝，所以T＝π＝，即ω＝2，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)，再将(－，2)代入，得2＝2cos [2×(－)＋φ]，即1＝cos (－＋φ)，所以－＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，即f(x)＝2cos (2x＋)，故A错误；令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，即函数f(x)图象的对称中心为(＋，0)，k∈Z，所以当k＝0时，函数f(x)的图象关于点(，0)对称，故B正确；因为∀x∈R，f(x)＝f(－x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，由函数图象易知正确，故C正确；当x∈(0，)时，2x＋∈(，)，所以当2x＋＝π，即x＝时函数f(x)取得最小值－2，故D错误．故选BC. 专题三 三角函数图象变换 对于y＝A sin (ωx＋φ)＋h，应明确A，ω决定“形变”，φ，h决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别． 　已知函数f(x)＝4sin cos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0，2). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若α为锐角，且g(α)＝－，求cos α的值. 【解】　(1)f(x)＝4sin (ωx－)·cos ωx＝4(sin ωx－cos ωx)·cos ωx＝ 2sin ωx cos ωx－2cos2ωx＝ sin2ωx－cos 2ωx－＝2sin (2ωx－)－. ∵函数f(x)在x＝处取得最值， ∴2ω×－＝kπ＋，k∈Z， 解得ω＝2k＋，k∈Z， 又ω∈(0，2)，∴ω＝， ∴f(x)＝2sin (3x－)－， ∴最小正周期T＝. (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin [3(x＋)－]－＝2sin (3x－)－的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝2sin (x－)－的图象，即g(x)＝2sin (x－)－. ∵α为锐角，g(α)＝2sin (α－)－＝－， ∴sin (α－)＝，－<α－<， ∴cos (α－)＝＝， ∴cosα＝cos [(α－)＋]＝ cos (α－)－sin (α－)＝×－×＝. 专题四 三角恒等变换与三角函数综合问题 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用． 　已知函数f(x)＝cos x sin －cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值． 【解】　(1)f(x)＝cosx(sin x＋cos x)－cos2x＋＝sinx cos x－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos 2x)＋＝ sin 2x－cos 2x＝sin (2x－). ∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)∵－≤x≤，∴－≤2x－≤， ∴－1≤sin (2x－)≤， ∴－≤f(x)≤， ∴函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数专题复习 专题一 同角三角函数基本关系式和诱导公式 应用诱导公式时要弄清三角函数值在各个象限内的符号．主要考查角度：①角的概念及其表示；②三角函数的定义及其应用；③扇形的弧长及面积公式；④三角函数的诱导公式． 　(1)已知＝3. ①求tan α的值； ②求的值． ①若α是第三象限角，且cos α＝－，求f(α)的值； ②若f(α)＝－4，求的值． 专题二 三角函数的图象和性质 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质．主要考查角度：①三角函数的性质；②三角函数图象的变换；③求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式；④函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质． 　(1)(多选题)已知函数f(x)＝tan ωx－(ω>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x)的最小正周期是2π，则ω＝ B．当ω＝1时，f(x)图象的对称中心为(k∈Z) C．当ω＝2时，f<f D．若f(x)在区间上单调递增，则0<ω≤ (2)(多选题)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝2cos B．函数f(x)的图象关于点对称 C．∀x∈R，f(x)＝f D．函数f(x)在上无最小值 专题三 三角函数图象变换 对于y＝A sin (ωx＋φ)＋h，应明确A，ω决定“形变”，φ，h决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别． 　已知函数f(x)＝4sin cos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0，2). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若α为锐角，且g(α)＝－，求cos α的值. 专题四 三角恒等变换与三角函数综合问题 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用． 　已知函数f(x)＝cos x sin －cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$