第1章特殊平行四边形 期末复习综合练习题 2024—2025学年北师大版九年级数学上册

2024-2025学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，在菱形中，对角线，交于点，下列条件： ， ， ， ．上述条件能使菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（   ） A． B．6 C． D．12 4．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点M，N．若，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 5．如图，在正方形中，为其对角线，点E为上一个动点，连接，，过D作交于F，连接．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接．点G，H分别是的中点，连接．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，，E，F分别是，边上的点，且，，将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，连接．给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积是195，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．在菱形中，两条对角线与的和是14．菱形的边，则菱形的面积是 ． 10．如图， 在中， 是斜边上的中线， 若，则 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点坐标为 ． 12．如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则对角线的长为 ． 13．如图，在矩形中，，以为边在矩形外部作，且，连接，则的最小值为 ． 14．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 15．如图，在正方形中，点E、F分别是对角线、上的点，连接、、，若，且．，则的度数为 ． 16．如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是 ． 三、解答题 17．如图，已知中，，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． 求作：菱形，使菱形的顶点D落在边上． 18．如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 19．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形 (2)若6，，求矩形的面积． 20．如图，在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上． (1)如图1，当折痕的另一端点在边上时， ①求线段的长； ②的面积为________； (2)如图2，当折痕的另一端点在边上时，，折痕的长为________． 21．如图，将矩形绕顶点A时针旋转一定角度，得到矩形，且点恰好落在边上，连接交于点，连接．      (1)如图1，求证：； (2)如图1，求证：是的中点； (3)如图2，连接，若平分，，求的长． 22．在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题： (1)如图1，在四边形中，，，于E，求证：； 证明：∵，可将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，如图2，请你利用图2完成第（1）题； (2)根据第（1）题的数学活动经验，尝试用旋转变换解答下面的问题； ①如图3，在直角中，D为斜边上一点，，，四边形是正方形，设和的面积分别为，，求的值； ②如图4，已知：，，，，求的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A C C B D D 1．解：∵四边形是菱形， ∴，故不能判定菱形是正方形； ∵， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； 综上：能判定菱形是正方形， 故选：． 2．解：如下图所示， 四边形是菱形， ， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， 在中，， ， 点是的中点， ， ． 故选：C． 3．解：∵四边形是菱形，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ∴， ， ． 故选：A． 4．解：如图所示，连接，设交于点， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， 故选：A ． 5．解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，，故A、D结论正确，不符合题意； ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故C结论错误，符合题意； 故选：C． 6．解：连接 ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，线段最短，即线段最小， 此时，由得， ∴线段长的最小值为， 故选：B． 7．解：连接并延长交于，连接， 四边形是矩形， ，， ，分别是边，的中点，，， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， 点是的中点，是的中点， ， 故选：D． 8．解：∵正方形，， ∴，， 将绕点沿顺时针方向旋转后与重合， ，，， ， ， ∴， ，，， ， ， ， ，故①正确， ，， ， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ，，故②③正确， ， ， 四边形的面积是，故④正确， 正确的是①②③④； 故选：D． 9．解：如图， ∵四边形是菱形， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 菱形的面积是， 故答案为：24． 10．解：∵在中， 是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．解：如图：   四边形是矩形，点，， ，， 由旋转变换的性质可得：，， 在第二象限， ，即旋转后点的对应点坐标为． 故答案为：． 12．解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 13．解：在直线外作直线，且两直线间的距离为，延长至P，使得，则关于直线对称，连接，交直线于点，此时，根据两点之间线段最短可知的最小值为， ， ， 到的距离是：， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为:． 14．解：如图，连接． ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 15．解：如图所示：   四边形是正方形，对角线为、相交于点， ， ， ，，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 16．解：连接，延长交于， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， 故答案为：． 17．解：如图，菱形即为所求；      理由：根据作法得：垂直平分，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形． 18．证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴． 在和中，， ∴ ∴， ∴． 19．（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2）在菱形中，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 矩形的面积是． 20．（1）解：①如图1过作，则四边形是矩形，则 设，则， 在中，，又 解得： ， ② ，， 设，则 在中， ∴ 解得： ∴， 故的面积为： ； 故答案为：． （2）如图2，过作于，连接， 四边形是矩形 ， ∴， 四边形是平行四边形 由折叠性质知，，，， ∴， ∴， 四边形是菱形， ，， ∴， ， ． 故答案为：． 21．（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵将矩形绕顶点逆时针旋转一定角度，得到矩形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点B作于点H． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，即是的中点； （3）解：如图，过点B作于点H． 由（2）可知，， ∴，． ∵，平分， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 设，则，， ∴． 在中，，即， 解得：， ∴． 22．（1）证明：∵，可将图1中的绕点A逆时针旋转，得到， 如图2，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即C，D，在同一条直线上， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴； （2）解：①如图3，∵四边形是正方形， ∴，， 将绕点D逆时针旋转，得， ∴，， ∴，， ∵， ∴； ②如图4，以点A为旋转中心，将顺时针旋转60度，得到，连接，， ∴，， ∴，，， ∴，均为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴C，P，M，N在一条直线上， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$