江苏省苏州市星湾学校2024-2025学年上学期九年级数学12月调研试卷

2024-2025学年第一学期教学调研九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸相应位置上） 1.下列函数是二次函数的是 （　） A. y＝x+1 B. y＝-x+1 C. y＝x2+1 D． 2．已知二次函数y＝（a﹣5）（x﹣1）2的图象如图所示，则a可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 3．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100（1+x） C．y＝50（1+x）2 D．y＝50（1﹣x）2 4．根据下表中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）的一个解x的范围是（　　） x 2.17 2.18 2.19 2.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2＜x＜2.19 B．2.17＜x＜2.18 C．2.18＜x＜2.19 D．2.19＜x＜2.20 5．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 6．二次函数y＝x2﹣2x+c的图象过A（﹣3，y1），B（2，y2）两个点，y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2 7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则cos∠ABC的值是（　　） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，2）和点B（﹣1，2），若抛物线y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是（ ） A．＜a＜2 B．≤a≤2 C．＜a≤2 D．≤a＜2 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上） 9．请写出一个二次函数表达式，使其图象开口向上，且与y轴交于负半轴：　 　． 10．已知点（﹣2，5），（4，5）是抛物线上的两点，则此抛物线的对称轴为　 　． 11．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为，坝高BC为3米，则坡面AB的长是 　 　． 12．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ 　 　． 13．已知实数a，b满足b＝a+1，则代数式a2+b﹣5a+5的最小值等于 　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有　 　． 15．如图，抛物线与直线交于点B（4，0）、点C（0，3），点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，则当最大时，点P的横坐标为 　 　． 16．在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，斜边AB的值是 　 　． 三、解答题（本大题共有11小题，共82分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17．计算：． 18．已知二次函数y＝2x2． （1）点（﹣1，m）在此函数图象上，求m的值； （2）将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为 　 　． 19．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象，列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 … （1）在图中画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象； （2）求出该二次函数的表达式； （3）根据图象，直接写出当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是 　 　． 20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 21．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高8m，跨度24m，相邻两支柱间的距离均为6m． （1）将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y＝ax2+c的形式，请根据所给的数据直接写出a，c的值，a＝　 　，c＝　 　； （2）求支柱MN的长度． 22．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内） （1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号） （2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米） （参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73） 23．如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，0°线与x轴重合，90°线与y轴重合，OA、OB、OC对应的度数分别是75°、x°、15°（15＜x＜75），连接OA、OB、OC，若点B坐标为（m，n）过点B作x轴的垂线，垂足为D. （1）AC＝ ，cosx°＝　 　（用含m，n的代数式表示）； （2）通过该图形分析，判断cos75°、cosx°、cos15°的大小关系：　 　（用“＜”连接）； （3）请借助该图形，求cos15°﹣cos75°的值． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝a(x-1)(x-4)（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若满足OC2＝OA·OB. （1）求抛物线的函数表达式; （2）连接AC、BC， ① 求证:∠ACO＝∠CBA; ② 在抛物线上找一点E，使得∠EAC＝2∠CBA，请求出点E的坐标: 25．多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角． 【基础掌握】在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6．求平行四边形ABCD的面积； 【灵活运用】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，．求△ABC的面积； 【迁移提升】如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，请直接写出sinB的值． 26.（10分）定义:若一个函数图像上存在横、纵坐标和为0的点，则称该点为这个函数图像的“零点”. （1）若点P（1，-1）是一次函数y＝mx+4图像上的“零点”，则m＝ ; 若点Q是反比例函数图像上的“零点”，则点Q的横坐标为 : （2）若点P（p，-2）是二次函数y＝x2+bx+c图像上唯一的“零点”，求这个二次函数的表达式; （3）若二次函数y＝-x2+x+m的图像上在-4＜x＜2的范围内至少存在一个“零点”，则m的取值范围是_____. 27.（10分）已知二次函数的表达式为y＝ax2-2ax+c（a＞0），它的图像与直线y＝-4有且只有一个公共点. （1）抛物线的顶点D的坐标为 ，c＝ （用含有a的代数式表示）; （2）若该二次函数的图像过点（-1，0） ① 请求出此时二次函数的表达式; ② 当m≤x≤m+1时，该二次函数y＝ax2-2ax+c的最小值为2m，求出m的值； （3）过该抛物线上动点M（x，y）（其中x≥4）作x轴的垂线，该垂线与直线y＝-ax+2a-4交于点N，若M、N两点间的距离恒大于等于2，直接写出a的取值范围. 仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 【分析】根据锐角的正弦函数的定义即可求解． 【解答】解：由题意得：， ∴AL＝asinθ千米， 故选：A． 6．二次函数y＝x2﹣2x+c的图象过A（﹣3，y1），B（2，y2）两个点，y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2 【分析】根据解析式确定抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，根据离对称轴越远，函数值越大即可求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1． ∵A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线上，且1﹣（﹣3）＞2﹣1， ∴y1＞y2． 故选：A． 7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则cos∠ABC的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可知BD＝BC，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：如图，点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝3，BC＝2， ∴BD＝BC＝1， 【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝3m，tanA＝BC：AC＝1：， ∴AC＝BC＝3（m）， ∴AB＝＝＝6（m）． 故答案为：6． 12．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ 　　． 【分析】连接AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据正弦的定义计算，得到答案． 【解答】解：如图，连接AC， 由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10， 则BC2+AC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴sin∠ABC＝＝＝， 故答案为：． 13．已知实数a，b满足b＝a+1，则代数式a2+b﹣5a+5的最小值等于 　　． 【分析】将b＝a+1代入代数式，根据配方法即可求解． 【解答】解：∵b＝a+1 ＝4（1+++1） ＝4（2+） ＝18， AC+BC＝（2+）+（2+） ＝4+2（+） ＝4+5 ＝9， ∴AB2＝AC2+BC2 ＝（AC+BC）2﹣2AC•BC ＝81﹣36 ＝45， 即AB＝3， 故答案为：3． 17．略 18．已知二次函数y＝2x2． （1）点（﹣1，m）在此函数图象上，求m的值； （2）将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为 　y＝2x2+3　． 【分析】（1）将点（﹣1，m）代入计算，即可求解； （2）根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可写出平移后二次函数的解析式． 【解答】解：（1）∵点（﹣1，m）在此函数图象上， ∴m＝2； （2）根据二次函数图象平移的规律“上加下减”可知： 抛物线y＝2x2的图象沿y轴向上平移3个单位后的解析式为：y＝2x2+3． 故答案为：y＝2x2+3． 19．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象，列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 … （1）在图中画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象； （2）求出该二次函数的表达式； （3）根据图象，直接写出当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是 　0≤y≤4　． 【分析】（1）先利用描点、连线的方法画出图形； （2）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象，求出y的范围即可． 【解答】解：（1）描点、连线得： ； （2）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点（0，3）代入得，3＝a（0+1）（0﹣3）， 得a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； （3）由函数图象得抛物线的顶点坐标为（1，4）， 当x＝1时，y有最大值为4； 由函数图象得，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝2时，y＝3， ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是0≤y≤4， 故答案为：0≤y≤4． 20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【分析】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长； （2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8； ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝＝7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴＝＝， ∴sin∠DAE＝＝＝． 21．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高8m，跨度24m，相邻两支柱间的距离均为6m． （1）将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y＝ax2+c的形式，请根据所给的数据直接写出a，c的值，a＝　　，c＝　8　； （2）求支柱MN的长度． 【分析】（1）根据直角坐标系可知A（﹣12，0），B（12，0），C（0，8），再利用待定系数法求解析式即可； （2）根据（1）可知抛物线的表达式是：，求出N的横坐标，代入解析式求出纵坐标，即可求出MN的长度． 【解答】解：（1）依题，A（﹣12，0），B（12，0），C（0，8）在y＝ax2+c上， 则有：， 解得：， 故答案为：，8； （2）因为跨度24m相邻两支柱间的距离均为6m， 所以N的横坐标为：12﹣6＝6， 由（1）可知， 当x＝6时， ， ， ∴MN＝10﹣6＝4m． 22．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内） （1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号） （2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米） （参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73） 【分析】（1）根据正切的定义求出AM； （2）根据正切的定义求出BM，结合图形计算即可． 【解答】解：（1）∵AB垂直于桥面， ∴∠AMC＝∠BMC＝90°， 在Rt△AMC中，CM＝60米，∠ACM＝30°， tan∠ACM＝， ∴AM＝CM•tan∠ACM＝60×＝20（米）， 答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米； （2）在Rt△BMC中，CM＝60米，∠BCM＝14°， tan∠BCM＝， ∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15（米）， ∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米） 答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米． 23．如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，0°线与x轴重合，90°线与y轴重合，OA、OB、OC对应的度数分别是75°、x°、15°（15＜x＜75），连接OA、OB、OC，若点B坐标为（m，n）过点B作x轴的垂线，垂足为D. （1）AC＝cosx°＝　m　（用含m，n的代数式表示）； （2）通过该图形分析，判断cos75°、cosx°、cos15°的大小关系：　cos75°＜cosx°＜cos15°　（用“＜”连接）； （3）请借助该图形，求cos15°﹣cos75°的值． 【分析】（1）直接运用锐角三角函数即可解； （2）过点A作AH⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，分别表示出cos75°、cosx°、cos15°的值即可比较； （3）过点A作 AH⊥x轴，垂足为H，过点C作 CI⊥y轴，垂足为I，AH、CI相交于点Q．应用锐角三角函数表示出cos15°﹣cos75°＝CI﹣OH＝Cl﹣IQ＝CQ，然后再应用锐角三角函数求出CQ即可解答． 【解答】解：（1） ∵OA、OB、OC对应的度数分别是75°、x°、15° ∴ ∴为等边三角形 ∴ ∵B（m，n） ∴OD＝m， ∴cosx°＝＝m， g故答案为：m； （2）过点A作AH⊥x轴，过点C作CE⊥x轴， ∵cos75°＝，cosx°＝＝OD，cos15°＝＝OE，OH＜OD＜OE， ∴cos75°＜cosx°＜cos15°， 故答案为：cos75°＜cosx°＜cos15°； （3）如图，过点A作 AH⊥x轴，垂足为H，过点C作 CI⊥y轴，垂足为I，AH、CI相交于点Q． 则四边形OHQI是矩形，cos75°＝OH，cos15°＝cos∠OCI＝CI． ∴cos15°﹣cos75°＝CI﹣OH＝Cl﹣IQ＝CQ， ∵OA＝OC， 又∠AOC＝75°﹣15°＝60°， ∴△AOC是等边三角形． ∴AC＝OA＝1，∠CAQ＝60°﹣15°＝45°． ∵∠AQC＝90°， ∴CQ＝AC•sin45°＝，即 cos15°﹣cos75° 的值为 ． 24．略 25．多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角． 【基础掌握】在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6．求平行四边形ABCD的面积； 【灵活运用】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，．求△ABC的面积； 【迁移提升】如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，请直接写出sinB的值． 【分析】（1）过点B作BE⊥AD于点E，然后求得BE，进而根据平行四边形的面积公式即可求解； （2）过点A作AD⊥BC于点D，根据正弦的定义求得AD，勾股定理求得BD，CD，继而根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据网格的特点求得△ABC的面积，根据，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， 过点B作BE⊥AD于点E， ∵∠A＝60°，AB＝8， ∴， ∵AD＝6． ∴平行四边形ABCD的面积为； （2）当点C在AD的右侧时，如图所示，过点A作AD⊥BC于点D， ∴， ∴，， ∴BC＝BD+CD＝16+9＝25， ∴△ABC的面积为； 当点C在AD的左侧时，如图所示，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， ∴， ∴，， ∴BC＝BD﹣CD＝16﹣9＝7， ∴△ABC的面积为＝42； ∴△ABC的面积为150或42； （3）∵，，， 又∵， ∴． 26．定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（﹣，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”． （1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”； （2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求： ①c的取值范围； ②直接写出∠EMN的度数． 【分析】（1）根据“2倍点”的概念直接作答即可； （2）①根据有且只有一个“1倍点”求出a与c的数量关系，根据a的取值范围求出c的取值范围； ②先求点E的坐标，然后求点M和点N的坐标，然后比较线段长度，最后求出∠EMN的度数． 【解答】解：（1）存在， 设“2倍点”的坐标为（x，2x）， 则2x＝x2﹣8， 解得：x＝﹣2或4， ∴“2倍点”的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，8）； （2）①由题意可知， y＝ax2+5x+c与y＝x有且只有交点， 则x＝ax2+5x+c， 整理得：ax2+4x+c＝0，则该方程有两个相同的实数根， 即Δ＝16﹣4ac＝0， ∴ac＝4， ∴a＝， ∵a＞1， ∴0＜c＜4； ②如图，过点E作EF⊥OM于点F， 由根与系数的关系可知，ax2+4x+c＝0， ， 又∵两个根相等， ∴， ∴点E的坐标为（，）， ∴EF＝OF＝， 由①可知，a＝， 则c＝， ∴y＝ax2+5x+c可以写成y＝ax2+5x+， 令y＝0， 则ax2+5x+＝0， 由求根公式可得， x＝， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$