专题02设元技巧在一元一次方程中的四种应用（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（冀教版2024）

专题02设元技巧在一元一次方程中的四种应用（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01设元的作用——不同的设元有不同的方程 【典例分析】 【例1-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一些相同的房间需要装修地面，每天4名A级工人可装修5个房间，结果还剩未能装修，每天6名B级工人除了能装修7个房间以外，还可以多装修，若一名A级工人每天比一名B级工人多装修，设每个房间的地面为，一名B级工人每天装修，下列方程中正确的是（  ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设每个房间的地面为，分别表示出一名A级工人面条装修的面积和一名B级工人面条装修的面积，再由一名A级工人每天比一名B级工人多装修可得方程；设一名B级工人每天装修，则一名A级工人每天装修，分别根据A级工人和B级工人的装修面积情况表示出每个房间的面积可得方程． 【详解】解：设每个房间的地面为， ∵每天4名A级工人可装修5个房间，结果还剩未能装修， ∴一名A级工人每天装修， ∵每天6名B级工人除了能装修7个房间以外，还可以多装修， ∴一名B级工人每天装修， ∵一名A级工人每天比一名B级工人多装修， ∴； 设一名B级工人每天装修，则一名A级工人每天装修， ∴每个房间的面积为，， ∴， ∴正确的有②③， 故选：D． 【例1-2】（20-21七年级上·河北保定·期末）某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】由中国结的数量为定值，可得中国结的数量的两种表示，从而可列方程再由小组人数为定值，可得小组人数的两种表示，从而可得方程于是可得答案． 【详解】解：由某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个； 可得：中国结的数量为：个， 若每人做4个，则将比计划少做15个， 可得：中国结的数量为：个， 故④符合题意，①不符合题意； 由某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个； 可得：某小组有人， 若每人做4个，则将比计划少做15个， 可得：某小组有人， 故②不符合题意，③符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握列方程需要的代数式的表示方法是解题的关键． 【例1-3】（20-21七年级上·河北承德·期末）在某市奥林匹克联赛中，实验一中学子再创辉煌，联赛成绩全市领先．某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分（不答同样算作答错），最终该同学获得144分．请问这位同学答对了多少道题？下面共列出4个方程，其中正确的有（    ） ①设答对了道题，则可列方程：； ②设答错了道题，则可列方程：； ③设答对题目总共得分，则可列方程：； ④设答错题目总共扣分，则可列方程：． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①若设答对了x道题，等量关系：5×答对数量-2（40-x）=144；②若设答错了y道题，等量关系：5×（40-y）-2y=144；③若设答对题目得a分，等量关系：答对的数量答错数量=40；④设答错题目扣b分，答对的数量答错数量=40． 【详解】解：①若设答对了x道题，则可列方程：5x-2（40-x）=144，故①符合题意； ②若设答错了y道题，则可列方程：5（40-y）-2y=144，故②符合题意； ③若设答对题目得a分，则可列方程：，故③符合题意； ④设答错题目扣b分，则可列方程，故④不符合题意． 所以，共有3个正确的结论． 故答案是：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程 【变式演练】 【变式1-1】（七年级上·湖北武汉·阶段练习）某学校有间男生宿舍和个男生，若每间宿舍住8个人，则还多4个人无法安置；若每间宿舍安排10个人，则还多6张空床位，据此信息列出方程，下列4个方程中正确的是（    ）． ①  ②  ③  ④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】B 【分析】分别按照男生人数不变（男生宿舍间数不变），可列出关于x（y）的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：按照男生人数不变列出方程8x+4=10x-6； 按照男生宿舍间数不变列出方程． ∴正确的方程是②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 【变式1-2】（22-23七年级上·江苏镇江·期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动，七（1）班有m人，打算制作n个“中国结”，若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，现有下列四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故①③正确， 故选A 【变式1-3】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）某幼儿园（2）班举行联欢会，有x位师生，购买了y个苹果．若每人发3个，则还剩7个苹果，若每人发4个，则最后还缺24个苹果．下列5个方程符合题意的是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①② B．①②⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，根据每人发3个，则还剩7个苹果，可知有个苹果，有人，根据每人发4个，则最后还缺24个苹果，可知有个苹果，有人，根据人数和苹果数都不变建立方程即可得到答案． 【详解】解：根据每人发3个，则还剩7个苹果，可知有个苹果，有人，根据每人发4个，则最后还缺24个苹果，可知有个苹果，有人， 故可建立方程，，， ∴符合题意的方程有①②⑤， 故选B． 题型02设元的方法 技巧1 直接设元法 【典例分析】 【例2-1】（2024七年级上·全国·专题练习）装订一批书，计划每天装订1800本，40天完成，实际每天装订2000本，实际几天可以完成？解答时设实际x天可以完成，正确的列式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据工作总量一定，判断出工作效率与工作时间成反比例，由此列出方程解答即可． 【详解】解：设实际x天可以完成， 由题意得：． 故选：B 【例2-2】（24-25七年级上·全国·期末）一件衣服以元的价格卖出，可获利，则这件衣服的成本价是 ． 【答案】元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，设这件衣服的成本价为，根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：设这件衣服的成本价为元， ∴， 解得：． 故答案为：元 【例2-3】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了，已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度为多少？ 【答案】船在静水中的速度为． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．设船在静水中的速度为，根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为 根据题意得： 解得 答：船在静水中的速度为 【变式演练】 【变式2-1】（24-25七年级上·云南红河·期中）我校七年级A班共有44名学生，其中女生人数比男生人数的多5，求这个班的男生人数．设这个班有x名男生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据女生人数+男生人数=总人数，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A． 【变式2-2】（2024七年级上·吉林·专题练习）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过吨，按每吨1元收费；若超过吨，则超过部分按每吨2元收费．如果某户居民五月份缴纳水费元，那么该居民这个月实际用水 吨． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 设该居民这个月实际用水吨，由题意可列方程，计算求解即可． 【详解】解：设该居民这个月实际用水吨， 依题意得，， 解得，， 故答案为： 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·期末）某市收取水费规定如下：每月每户用水若不超过20立方米，则每立方米水价为2.5元；若超过20立方米，则超过部分每立方米按4.0元收费．某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米3.0元，那么这户居民这个月共用了多少立方米的水？ 【答案】30立方米 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设这户居民这个月共用水x立方米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这户居民这个月共用水x立方米， 则， 解得 技巧2 间接设元法 【典例分析】 【例3-1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某商店把一种商品按标价的8折出售，仍可获利，若该商品进价为每件30元，则每件的标价为 元． 【答案】45 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利润、利润率及进价间的关系是解题的关键；设每件商品的标价为元，则可表示出每件商品的利润，根据等量关系：，列出一元一次方程，并求解即可． 【详解】解：设每件商品的标价为元，则每件商品的利润为元， 由题意得：， 解方程得：； 答：每件的标价为45元． 故答案为：45 【例3-2】（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）某车间每天能生产甲种零件120个或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别3个、5个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套用品，怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？（列方程解） 【答案】安排生产甲零件的天数为10天，安排生产乙零件的天数为20天 【分析】此题考查一元一次方程的实际应用—配套问题，正确理解甲、乙零件的配套关系是解题的关键．设生产甲种零件x天，则生产乙种零件天，然后再根据“甲、乙两种零件分别取3个、5个才能配成一套”列方程求解即可． 【详解】解：设生产甲种零件x天，则生产乙种零件天， 由题意得：， 解得：， ， 答：安排生产甲种零件10天，安排生产乙种零件20天 【例3-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 【答案】(1)设该工厂有6名工人生产A零件 (2)该工厂每日生产的零件总获利1620元 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是通过分析探究找出配套问题的相等关系且列方程求解． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，根据每天生产的A零件和B零件恰好配套列方程解决即可； （2）先求出生产B零件的有工人数，进而列式计算求出结论． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，由题意得： ， 解得：， 答：设该工厂有6名工人生产A零件； （2）由（1）得，生产B零件的有工人人， 每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元， 元， 答：该工厂每日生产的零件总获利1620元． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点B，C在线段上，且，点E为的中点，若，则 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查线段中点的定义，线段和、差、倍的计算，一元一次方程的实际应用，根据点E为的中点，设，由，列方程求出即可求解． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴． 设，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：9.6 【变式3-2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）某生产车间有80名工人，每名工人每天可以生产1000个螺柱或1200个螺母．1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ 【答案】安排生产螺柱的工人30名，安排生产螺母的工人50名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设应安排生产螺柱的工人名，安排生产螺母的工人名，根据题意列出等量关系，解方程即可，建立等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应安排生产螺柱的工人名，安排生产螺母的工人名， 依题意得：， 即， 解得：， （人）， 答：安排生产螺柱的工人30名，安排生产螺母的工人50名 【变式3-3】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）某种仪器由5个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件个或者加工B部件个．现有工人人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？ 【答案】安排8人生产A部件，8人生产B部件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设安排x人生产A部件，则安排人生产B部件，依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设安排x人生产A部件，则安排人生产B部件， 依题意得， 解得， ∴． 答：应安排8人生产A部件，8人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套 技巧3 整体设元法 【典例分析】 【例4-1】（24-25七年级上·安徽芜湖）三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为，， 由题意可得：， 解得， 故选：B． 【例4-2】一个六位数，其最左边一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数就是原数的3倍，求原数． 【答案】142857 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设原数的1后五位数是x，那么根据“六位数左端的数字是1，”可表示这个六位数是：；根据“把左端的数字1移到右端，”可表示这个新六位数是：；再根据“新数=原数×3”可列方程为：，据此即可解答． 【详解】解：设原数的1后五位数是x，则这个六位数是，则新的六位数可表示为，由此可得方程： ， 解得． 答：原数是142857 【例4-3】 一个五位数，个位上的数为4，这个五位数加上6 120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，试求原五位数. 【答案】37 644 【解】设原五位数去掉个位数后的四位数为 x ，则原五位 数可表示为10 x ＋4.根据题意，得(10 x ＋4)＋6 120＝ 4×10 000＋ x .解得 x ＝3 764. 所以10 x ＋4＝37 644. 所以原五位数是37 644 技巧4 辅助设元法 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·重庆渝中·期末）某条河道水流速度为每小时2千米，一艘渔船从地出发顺流航行到地，再调头逆流航行到、之间的地共用了6小时（掉头时间忽略不计），若渔船顺水速度是逆水速度的3倍，且、两地的距离为20千米，则、两地的距离为（   ） A．2千米 B．4千米 C．6千米 D．8千米 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．先根据“渔船顺水速度是逆水速度的3倍”求出静水速度，再根据“从A地出发顺流航行到B地，再调头逆流航行到A、B之间的C地共用了6小时”列方程求解． 【详解】解：设船在静水中是速度为a千米/小时， 则， 解得：， 则，， 设B、C的距离为x千米， 则 ， 解得：， ∴、两地的距离为4千米； 故选：B． 【例5-2】（24-25七年级上·吉林·阶段练习）某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总进价 ． 【答案】元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．分别设盈利的衣服进价为元，亏损的衣服进价为元，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设盈利的衣服进价为元， 则， 解得：， 设亏损的衣服进价为元， 则， 解得：， 元， 卖这两件衣服总进价为元， 故答案为：元． 【例5-3】一片草地上的青草，处处长得一样密一样快，且每头牛每天吃的草量相同.已知若在草地上放牧70头牛，则24天把草吃完；若放牧30头牛，则60天把草吃完.那么多少头牛96天能把草地上的草吃完？ 【答案】20头牛96天能把草地上的草吃完 【详解】设一头牛一天吃草量为 a ，草每天长出的量为 b . 根据原有的草量不变可知，70×24 a －24 b ＝30×60 a －60 b ，即 b ＝ a . 设 x 头牛96天能把草地上的草吃完，还是根据原有的草量 不变可知，96 ax －96 b ＝30×60 a －60 b ， 将 b ＝ a 代入上式，解得 x ＝20. 故20头牛96天能把草地上的草吃完 【变式演练】 【变式5-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（   ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了60元 D．不赚不赔 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为元，赔了的商品进价为元，根据卖价都是480元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得（元）； 设赔了的商品进价为元， 则，解得， ∴（元）， 即这次买卖过程中，商人赔了40元． 故选：B． 【变式5-2】（23-24七年级上·四川成都·期末）某商店出售两件衣服，每件售元，其中一件亏本，而另一件盈利，则这两件衣服在这次销售中的利润是 元． 【答案】（或亏） 【分析】设第一件衣服进价x元，第二件进价y元，根据利润售价进价进价利润率列出方程，解之即可得出x、y值即可解答．本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系列出方程式解答的关键． 【详解】解：设第一件衣服进价x元，第二件进价y元，根据题意， 得：， 解得：， ， 解得：， 由（元）， ∴这两件衣服在这次销售中的利润是元， 故答案为：（或亏） 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　　　　　元． （2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）． 某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利，另一件亏损，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：　　　　　（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】（1）20；（2）亏损；（3）150件 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据利润售价进价即可得出答案． （2））设盈利的衬衫的进价为x元，亏损的衬衫的进价为y元，根据题意分别求出两件衣服的进价，再根据利润售价进价把两件衣服的利润相加即可得出答案． （3）设降价前共售出m件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】解：（1）服装成本为100元，售价为120元，则利润为（元） （2）设盈利的衬衫的进价为x元，亏损的衬衫的进价为y元， 根据题意得：， 解得：，， ∴ 答：商店卖出这两件衬衫亏损了． （3）设降价前共售出m件，则降价后售出件， 由题意得，， 解得， 答：降价前共售出150件 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（　　） A．17道 B．18道 C．19道 D．20道 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于根据题意设出未知数，并找到等量关系列出方程．设某同学做对了x道题，则他做错了道题，他的得分应该是，据此可列出方程． 【详解】解：设该同学做对了x题，则他做错了道题， 根据题意列方程得：， 解得：． 该同学一共做对了19道题． 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，结账时发现商场推出一种优惠卡，优惠方案：卡售价50元，购物打八折，惠怡妈妈掐指一算，发现使用优惠卡后可以少付10元．则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键理解：“卡售价50元，购物打八折，发现使用优惠卡后可以少付10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解即可． 【详解】解：惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，则有：． 故选：A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父亲（    ）岁． A．28 B．30 C．32 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——年龄问题．熟练掌握年龄差不变，是解题的关键． 设两年前儿子x岁，则两年前父亲岁，根据父子二人今年年龄之和为40岁，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设两年前儿子x岁，则两年前父亲岁， 由题意得：， 解得：， ∴， 即两年前父亲32岁， 故选：C． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？其大意是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺：绳长、井深各几尺？若设绳长x尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设绳长x尺，根据井深不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】设绳长x尺， 根据题意得，． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·山东·期末）某机械厂加工车间有名工人，平均每名工人每天只能加工大齿轮个或小齿轮个已知个大齿轮和个小齿轮配成一套，每天应分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有名，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的分配问题，理解数量关系，掌握一元一次方程解实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，设加工大齿轮的工人有名，则加工小齿轮的工人有人，用含的式子分别表示出加工大齿轮，小齿轮的数量，再根据个大齿轮和个小齿轮配成一套，由此列式即可求解． 【详解】解：加工车间有名工人，设加工大齿轮的工人有名，则加工小齿轮的工人有人， ∵平均每名工人每天只能加工大齿轮个或小齿轮个， ∴加工大齿轮的数量为，加工小齿轮的数量为个， ∵个大齿轮和个小齿轮配成一套， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 7．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）我校七年级某班有个人，其中男生是女生的，则该班男、女生分别有多少人？ 【答案】人，人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设女生人数为，则男生人数为，根据题意列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设女生人数为，则男生人数为，根据题意得： ， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 则， 该班男生为人，女生为人． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． (1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ (2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 【答案】(1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费 (2)马老师家5月份一共用水22吨 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）15吨大于12吨，所以把15吨分成两部分，第一部分是12吨，按照每吨3.2元缴费；第二部分是剩下的3吨，按照每吨4.6元缴费，分别根据总价＝单价×数量求出两部分需要缴费的钱数，再相加； （2）设他家5月份用水x吨，先确定用水12吨应交的水费为38.4元，可知他家5月份用水超过12吨，超过12吨部分的水费为元，可列方程，解方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：（元）， （元）， （元）， 答：林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费． （2）解：设马老师家5月份一共用水x吨， 用水12吨时，水费为（元）， ∵84.4元＞38.4元， ∴马老师家5月份5月份用水量超过了12吨， 根据题意得， 解得， 答：马老师家5月份一共用水22吨． 9．（24-25七年级上·山东·期末）甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 【答案】(1)3 (2) (3)15小时 (4)16小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． （1）设两车行驶t小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为建立方程求解； （2）设快车行驶t小时两车相遇，根据两车行驶路程之和为建立方程求解 （3）设t小时快车追上慢车，根据快车比慢车多行驶建立方程求解； （4）设快车行驶t小时两车相遇，根据快车比慢车多行驶建立方程求解． 【详解】（1）解：设两车行驶t小时相遇， 根据题意，得， 解得， 答：开出3小时后两车相遇， 故答案为：3； （2）解：设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得， 答：快车开出小时后两车相遇， 故答案为：； （3）解：设t小时快车追上慢车， 根据题意，得， 解得， 答：出发15小时后快车追上慢车； （4）解：设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得． 答：快车出发16小时后追上慢车． 10．（24-25七年级上·全国·期末）为了庆祝元旦，甲、乙两校准备共同组织文艺汇演，两校共有92人参加演出，其中甲校人数比乙校多，且甲校人数不足90人，现准备购买演出服装．下表是某服装厂给出的演出服装的价格表，如果两所学校单独购买一共需要付5 000元． 购买服装的套数 1至45套 46至89套 90套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果两校联合起来购买演出服装，比各自购买可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少人参加演出？ 【答案】(1)可以节省1320元 (2)甲校52人参加，乙校40人参加 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据节省的钱=单独购买的钱-联合购买的钱列式求解即可； （2）设乙校x人，甲校人，根据两所学校单独购买一共需要付5 000元列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：比各自购买服装共可以节省1320元； （2）解：∵， ∴甲校人数多于46少于90，乙校人数少于46， 设乙校x人，甲校人，由题意得：， 解得：， 则（人）， 答：甲校52人，乙校40人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02设元技巧在一元一次方程中的四种应用（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01设元的作用——不同的设元有不同的方程 【典例分析】 【例1-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一些相同的房间需要装修地面，每天4名A级工人可装修5个房间，结果还剩未能装修，每天6名B级工人除了能装修7个房间以外，还可以多装修，若一名A级工人每天比一名B级工人多装修，设每个房间的地面为，一名B级工人每天装修，下列方程中正确的是（  ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【例1-2】（20-21七年级上·河北保定·期末）某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【例1-3】（20-21七年级上·河北承德·期末）在某市奥林匹克联赛中，实验一中学子再创辉煌，联赛成绩全市领先．某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分（不答同样算作答错），最终该同学获得144分．请问这位同学答对了多少道题？下面共列出4个方程，其中正确的有（    ） ①设答对了道题，则可列方程：； ②设答错了道题，则可列方程：； ③设答对题目总共得分，则可列方程：； ④设答错题目总共扣分，则可列方程：． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式演练】 【变式1-1】（七年级上·湖北武汉·阶段练习）某学校有间男生宿舍和个男生，若每间宿舍住8个人，则还多4个人无法安置；若每间宿舍安排10个人，则还多6张空床位，据此信息列出方程，下列4个方程中正确的是（    ）． ①  ②  ③  ④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【变式1-2】（22-23七年级上·江苏镇江·期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动，七（1）班有m人，打算制作n个“中国结”，若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，现有下列四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式1-3】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）某幼儿园（2）班举行联欢会，有x位师生，购买了y个苹果．若每人发3个，则还剩7个苹果，若每人发4个，则最后还缺24个苹果．下列5个方程符合题意的是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①② B．①②⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤ 题型02设元的方法 技巧1 直接设元法 【典例分析】 【例2-1】（2024七年级上·全国·专题练习）装订一批书，计划每天装订1800本，40天完成，实际每天装订2000本，实际几天可以完成？解答时设实际x天可以完成，正确的列式是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25七年级上·全国·期末）一件衣服以元的价格卖出，可获利，则这件衣服的成本价是 ． 【例2-3】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了，已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度为多少？ 【变式演练】 【变式2-1】（24-25七年级上·云南红河·期中）我校七年级A班共有44名学生，其中女生人数比男生人数的多5，求这个班的男生人数．设这个班有x名男生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024七年级上·吉林·专题练习）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过吨，按每吨1元收费；若超过吨，则超过部分按每吨2元收费．如果某户居民五月份缴纳水费元，那么该居民这个月实际用水 吨． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·期末）某市收取水费规定如下：每月每户用水若不超过20立方米，则每立方米水价为2.5元；若超过20立方米，则超过部分每立方米按4.0元收费．某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米3.0元，那么这户居民这个月共用了多少立方米的水？ 技巧2 间接设元法 【典例分析】 【例3-1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某商店把一种商品按标价的8折出售，仍可获利，若该商品进价为每件30元，则每件的标价为 元． 【例3-2】（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）某车间每天能生产甲种零件120个或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别3个、5个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套用品，怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？（列方程解） 【例3-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 【变式演练】 【变式3-1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点B，C在线段上，且，点E为的中点，若，则 ． 【变式3-2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）某生产车间有80名工人，每名工人每天可以生产1000个螺柱或1200个螺母．1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ 【变式3-3】（2024七年级上·黑龙江·专题练习）某种仪器由5个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件个或者加工B部件个．现有工人人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？ 技巧3 整体设元法 【典例分析】 【例4-1】（24-25七年级上·安徽芜湖）三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 【例4-2】一个六位数，其最左边一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数就是原数的3倍，求原数． 【例4-3】 一个五位数，个位上的数为4，这个五位数加上6 120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，试求原五位数. 技巧4 辅助设元法 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·重庆渝中·期末）某条河道水流速度为每小时2千米，一艘渔船从地出发顺流航行到地，再调头逆流航行到、之间的地共用了6小时（掉头时间忽略不计），若渔船顺水速度是逆水速度的3倍，且、两地的距离为20千米，则、两地的距离为（   ） A．2千米 B．4千米 C．6千米 D．8千米 【例5-2】（24-25七年级上·吉林·阶段练习）某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总进价 ． 【例5-3】一片草地上的青草，处处长得一样密一样快，且每头牛每天吃的草量相同.已知若在草地上放牧70头牛，则24天把草吃完；若放牧30头牛，则60天把草吃完.那么多少头牛96天能把草地上的草吃完？ 【变式演练】 【变式5-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（   ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了60元 D．不赚不赔 【变式5-2】（23-24七年级上·四川成都·期末）某商店出售两件衣服，每件售元，其中一件亏本，而另一件盈利，则这两件衣服在这次销售中的利润是 元． 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　　　　　元． （2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）． 某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利，另一件亏损，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：　　　　　（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（　　） A．17道 B．18道 C．19道 D．20道 2．（2024七年级上·全国·专题练习）惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，结账时发现商场推出一种优惠卡，优惠方案：卡售价50元，购物打八折，惠怡妈妈掐指一算，发现使用优惠卡后可以少付10元．则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父亲（    ）岁． A．28 B．30 C．32 D．35 4．（2024七年级上·全国·专题练习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？其大意是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺：绳长、井深各几尺？若设绳长x尺，则可列方程为 ． 6．（24-25七年级上·山东·期末）某机械厂加工车间有名工人，平均每名工人每天只能加工大齿轮个或小齿轮个已知个大齿轮和个小齿轮配成一套，每天应分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有名，则可列方程为 ． 三、解答题 7．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）我校七年级某班有个人，其中男生是女生的，则该班男、女生分别有多少人？ 8．（2024七年级上·全国·专题练习）为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． (1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ (2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 9．（24-25七年级上·山东·期末）甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 10．（24-25七年级上·全国·期末）为了庆祝元旦，甲、乙两校准备共同组织文艺汇演，两校共有92人参加演出，其中甲校人数比乙校多，且甲校人数不足90人，现准备购买演出服装．下表是某服装厂给出的演出服装的价格表，如果两所学校单独购买一共需要付5 000元． 购买服装的套数 1至45套 46至89套 90套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果两校联合起来购买演出服装，比各自购买可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少人参加演出？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$