精品解析：甘肃省武威市天祝一中、民勤一中2024-2025学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题

2024~2025学年度第一学期第二次月考 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第1章～第4章4.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系正确是（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C D. 4 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 10 6. 定义集合运算：，若集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金6万元，他可以在至的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ） A. 4万元 B. 4.5万元 C. 5万元 D. 6万元 8. 已知函数则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列判断正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在定义域上单调递增 D. 若实数，满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设命题：，，则命题的否定为______. 13. 设函数在区间上是增函数，则实数的最大值为______. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，.当时，.则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）解方程：. （2）求值：. 16. 已知，，且. （1）求ab的最大值； （2）求的最小值. 17. 已知指数函数在其定义域内单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设函数，当时．求函数的值域． 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 19. 已知幂函数在上单调递增，函数． （1）求的值 （2）当时，记，值域分别为集合A，，设，，若是成立的必要条件，求实数的取值范围 （3）设，且在上的最小值为，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期第二次月考 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第1章～第4章4.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集，得到答案. 【详解】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集， 由，，，，可得ABC错误，D正确. 故选：D. 2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】结合幂函数的解析式，代入已知点坐标可求出幂函数解析式，再代值计算即可得出答案. 【详解】设，则由题意，得， 所以，则， 故选：B. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可. 【详解】若使得函数表达式有意义，必有解得， 可知函数的定义域为. 故选：C. 4 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由已知结合配凑法即可求解函数解析式. 【详解】由，可得. 故选：D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】因为正数，满足， 由 当且仅当时，即，时取等号， 所以的最小值为9. 故选：A. 6. 定义集合运算：，若集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先根据新定义得出，再结合真子集的定义得出个数即可. 【详解】由，又由集合的定义有， 可得集合的真子集的个数为． 故选:B． 7. 已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金6万元，他可以在至的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ） A. 4万元 B. 4.5万元 C. 5万元 D. 6万元 【答案】D 【解析】 【分析】当商品价格最低时买入，最高时卖出，商人获利最大. 【详解】甲6元时，该商人全部买入甲商品，可以买（万份），在时刻全部卖出，此时获利（万元）， 乙4元时，该商人买入乙商品，可以买（万份），在时刻全部卖出，此时获利（万元）， 共获利（万元）． 故选：D． 8. 已知函数则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出分段函数在上单调递增的条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】函数在上单调递增， 则有，解得， 时不一定满足，不能得到在上单调递增； 在上单调递增时，有，一定成立， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质和作差法比较大小，判断选项中的不等式是否成立. 【详解】对于选项A，由，可得，选项A正确； 对于选项B，由，可得，又，则有， 即，选项B正确； 对于选项C，由，有，可得，选项C正确； 对于选项D，由，可得，则， 有，所以，选项D错误. 故选：ABC. 10. 下列判断正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由指数函数的单调性判断数的大小即可. 【详解】在上是减函数，，，故A不正确； 在上是增函数，，；故B正确； 在上是增函数，，；故C正确； 在上是减函数，，，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在定义域上单调递增 D 若实数，满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D. 【详解】对于A选项，故A正确； 对于B选项，对任意的，， 所以函数的定义域为， ，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数， 当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数， 所以函数在上为减函数，故函数在上也为减函数， 因为函数在上连续，故函数在上为减函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足，则， 因为在定义域上单调递减，可得，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设命题：，，则命题的否定为______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据特称命题的否定得出全称命题即可. 【详解】因为命题：，是特称量词命题， 所以其否定是全程量词命题，即为，. 故答案为：，. 13. 设函数在区间上是增函数，则实数的最大值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】二次函数的对称轴与1比较，得到不等式，求出答案. 【详解】的图象开口向上，对称轴为直线， 函数在上单调递增，所以，解得， 故实数的最大值为6. 故答案为：6 14. 已知函数是定义在上的偶函数，.当时，.则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性定义得函数单调性，然后分两种情况解不等式，求出答案. 【详解】当时，，则在上单调递增， 又函数是定义在上的偶函数，可得函数的减区间为， 又由，可得当时，；当或时，. 不等式或，可得或， 故不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）解方程：. （2）求值：. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数式与对数式的互化关系求解方程. （2）利用指数运算计算得解. 【详解】（1）由指数式与对数式的互化关系，得，则， 解得，经检验，符合题意， 所以原方程的解为5. （2）原式. 16. 已知，，且. （1）求ab的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，即可求解； （2）根据，代入，转化为二次函数求最小值. 【小问1详解】 ，，得， 当时，等号成立， 所以的最大值为2； 【小问2详解】 ， ， 当时，时，取得最小值. 17. 已知指数函数在其定义域内单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设函数，当时．求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解； （2）令，利用二次函数的单调性求解可得. 【小问1详解】 是指数函数， ， 解得或， 又因为在其定义域内单调递增，所以， ； 【小问2详解】 ， ，令， ， ， ， 的值域为． 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）是奇函数 （2）在上递增 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再利用函数奇偶性定义判断即得. （2）化函数式为，结合反比例函数及对数函数单调性判断单调性. （3）由（2），利用单调性解不等式. 【小问1详解】 函数中，，解得， 函数的定义域为，， 所以函数是奇函数. 【小问2详解】 函数，而函数在上递减， 函数在上递减，所以函数在上递增. 【小问3详解】 由已知及（2）得，，则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 19. 已知幂函数在上单调递增，函数． （1）求的值 （2）当时，记，的值域分别为集合A，，设，，若是成立的必要条件，求实数的取值范围 （3）设，且在上的最小值为，求实数的值． 【答案】（1）-2 （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义得到，求出或，结合函数在上单调递增，去掉不合要求的解； （2）在第一问基础上求出，根据单调递增，得到，由是成立的必要条件得到，从而比较端点得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）得到，的对称轴为，根据对称轴的位置分三种情况，得到相应的函数最小值，列出方程，求出实数的值. 【小问1详解】 由幂函数的定义得，解得：或， 当时，在上单调递增，符合题意 当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去． 综上可知：； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，，即； 当时，因为单调递增， 故，即， 由命题是成立的必要条件，则，显然， 则，解得：， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 根据题意得，的对称轴为， 当，即时，在上单调递增，， 解得：（舍去），或， 当时，即，， 解得：或（舍去）， 当，即时，， 解得：（舍去）， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$