精品解析：广西南宁市第四十七中学2024--2025学年上学期12月月考八年级数学试题

2024年秋季学期南宁市第四十七中学八年级 数学学科知识竞赛试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器：考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下图中为轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在中，，．延长至点D，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 12 D. 6 6. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A. B. C. D. 7. 解分式方程时，去分母后变形为 A. B. C. D. 8. 如图，将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 10. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 11. 如图，已知是等腰三角形，，，点C在坐标轴上，则满足条件的点C的个数是（ ） A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 12. 如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 分解因式：_____________． 14. 在，，，，中，属于分式的有_______个． 15. 如图所示，小明从坡角为的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了200米，则山坡的高度为________米． 16. 已知，，则的值为_______． 17. 如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是_______． 18. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中所有项的系数和为 _______； 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： （1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为，，； ①在平面直角坐标系中画出； ②填空：与关于 对称； （2）在平面直角坐标系中画出关于轴对称的（其中点，，的对称点分别为点，，）； （3）在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点在线段上的对应点的坐标为 ． 22. 如图，在直角三角形中，，． （1）作边的垂直平分线，与，分别交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：平分． 23. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部A点恰好在点B的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，观测者从点A出发，沿着与直线成角的方向前进至点C，在点C处测得，测量出的长度． 如图②，观测者从A点向正东走到E点，G是的中点，从点E沿垂直于的方向走，直到点B，G，F在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． ，，． （1）根据方案①，求河宽的长度． （2）方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，给出证明． 24. 用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差，已知“畅想号”的平均速度为． （1）求“和谐号”的平均速度； （2）如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点后退，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，在此种情况下，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 25. 对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： （1）观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． （2）观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． （3）已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 26. 如图1，图2，点O是线段的中点，，． （1）如图1，若，求的长； （2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求的长度； （3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期南宁市第四十七中学八年级 数学学科知识竞赛试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器：考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下图中为轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义可得. 【详解】根据轴对称图形定义可得ABC选项均不是轴对称图形，D选项为轴对称图形. 【点睛】轴对称图形沿对称轴折叠，左右两边能够完全重合. 2. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，,n为第一位有效数字前面0的个数． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，n为整数，确定a与n的值是解题的关键． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴A不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边一致，构成三角形， ∴B符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴C不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴D不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在中，，．延长至点D，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，代入计算即可． 本题考查了三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又，． 故． 故选：A． 5. 如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和与差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差得到即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 6. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点在的平分线上，点到边的距离等于5， ∴点到的距离为5， ∵点是边上的任意一点， ∴． 故选：B． 7. 解分式方程时，去分母后变形为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：方程， 两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1）， 故选D． 8. 如图，将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正五边形，得到，根据折叠的性质，得，连接，利用三角形外角性质，计算的度数即可． 本题考查了正多边形的性质和内角和定理，折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 根据折叠的性质，得， 连接， ∵， ∴ ， 故选：C． 9. 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的分子分母都乘以或除以一个不为的整数，分式的值不变，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 10. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 11. 如图，已知是等腰三角形，，，点C在坐标轴上，则满足条件的点C的个数是（ ） A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质及坐标与图形的性质．以点为圆心，为半径的圆与坐标轴有三个交点，以点为圆心，为半径的圆与坐标轴有三个交点；以为底，与坐标轴有两个点，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， 以点为圆心，2为半径的圆与坐标轴有三个交点，，； 以点为圆心，2为半径的圆与坐标轴有三个交点，，； 以为底，与坐标轴有两个点， ∵，， ∴， ∵，即， 解得， ∴， 综上，满足条件的点有6个． 故选：C． 12. 如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等角的余角相等，证明，可判断①；证明，可判断②；根据三角形全等性质和三角形面积公式，可判定③；根据三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质可判定④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； 延长，相交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故②正确； ∵， ∴； ∴， 故③正确； ∵是底边、上的等高三角形， ∴， 过点D作于点H， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 则正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质，三角形面积的性质，熟练掌握各种性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 在，，，，中，属于分式的有_______个． 【答案】2 【解析】 【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关． 本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键． 【详解】解：根据题意，得是分式的是，共有2个， 故答案为：2． 15. 如图所示，小明从坡角为的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了200米，则山坡的高度为________米． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质的应用；根据此性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：，米，， 则（米）． 故答案为：100． 16. 已知，，则的值为_______． 【答案】72 【解析】 【分析】根据，结合，，计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，幂的乘方的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可． 本题考查了等边三角形的性质和对称性，垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点， ∴，， ∴直线为的一条对称轴， ∴点B，点C关于直线对称， 连接，交于点，则点为取最小值时的位置点， 此时，点P与点M重合， ∵是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中所有项的系数和为 _______； 【答案】##512 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题．由杨辉三角归纳的项数与所有项的系数和的规律，即可求解． 【详解】解：由题意得，共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； ……； 共项，所有项系数的和为， ∴共10项，所有项系数的和为； 故答案为：512． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的乘方，零指数幂公式，负整数指数幂公式计算即可． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂公式，负整数指数幂公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： （1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为，，； ①在平面直角坐标系中画出； ②填空：与关于 对称； （2）在平面直角坐标系中画出关于轴对称的（其中点，，的对称点分别为点，，）； （3）在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点在线段上的对应点的坐标为 ． 【答案】（1） ①为所求作的三角形，如图所示： ②轴 （2） 如图，为所求作的三角形； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称和y轴对称的点的坐标特征． （1）①将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则点，，的坐标分别为：，，，在平面直角坐标系中画出即可； ②根据图形判断即可； （2）先作出点，，关于y轴的对称点分别为点，，，然后顺次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行解答即可． 【小问1详解】 解：①略 ②与关于x轴对称； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与关于y轴对称， ∴点在线段上的对应点的坐标为． 22. 如图，在直角三角形中，，． （1）作边的垂直平分线，与，分别交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴（HL）， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于长为半径画弧，使得弧有两个交点，经过两个交点的直线即为的垂直平分线； （2）连接，根据垂直平分线的定义得到，，再根据得到，进而求得，再根据全等三角形的性质可证出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图、垂直平分线的定义和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法，灵活运用相关的几何定理． 23. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部A点恰好在点B的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，观测者从点A出发，沿着与直线成角的方向前进至点C，在点C处测得，测量出的长度． 如图②，观测者从A点向正东走到E点，G是的中点，从点E沿垂直于的方向走，直到点B，G，F在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． ，，． （1）根据方案①，求河宽的长度． （2）方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，给出证明． 【答案】（1） （2） 证明：∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：河宽为20米． 【解析】 【分析】（1）根据，结合，，得到，利用等角对等边，求河宽的长度即可． （2）证明即可得证． 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故河宽为． 【小问2详解】 略 24. 用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差，已知“畅想号”的平均速度为． （1）求“和谐号”的平均速度； （2）如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点后退，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，在此种情况下，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 【答案】（1）2.25m/s；（2）“畅想号”的平均速度降低m/s或“和谐号”的平均速度增加m/s，可使两车能同时到达终点． 【解析】 【分析】（1）设“和谐号”的平均速度为x，根据，“畅想号”运动50m与“和谐号”运动45m所用时间相等，可得方程，解出即可． （2）分别算出两车到达终点的时间可判断不能同时到达，再设“畅想号”的平均速度降低xm/s和“和谐号”的平均速度增加xm/s，根据时间相等，得出方程求解即可． 【详解】解：（1）设“和谐号”的平均速度为xm/s， 由题意得，， 解得：x=2.25， 经检验x=2.25是原方程的解． 答：“和谐号”的平均速度2.25m/s． （2）“畅想号”到达终点的时间是=22s， “和谐号”到达终点的时间是s， ∴两车不能同时到达，“畅想号”先到． 方案一：设“畅想号”的平均速度降低xm/s时能使两车同时到达终点， 则， 解得：x=，经检验x=是原方程的解， 方案二：设“和谐号”的平均速度增加xm/s时能使两车同时到达终点， 则， 解得：x=，经检验x=是原方程的解， 答：“畅想号”的平均速度降低m/s或“和谐号”的平均速度增加m/s，可使两车能同时到达终点． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，建立方程，难度一般． 25. 对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： （1）观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． （2）观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． （3）已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 【答案】（1）， （2）， （3）50 【解析】 【分析】（1）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （2）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （3）根据（2）的等式代入解答即可． 本题考查了公式与几何图形的关系，熟练掌握公式的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，整体大长方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：根据题意，整体大正方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴． 26. 如图1，图2，点O是线段的中点，，． （1）如图1，若，求的长； （2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求的长度； （3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【答案】（1）18 （2）18 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半，求的长即可． （2）先证明是等边三角形，再证明，最后利用直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半解答即可． （3）取的中点G，分点M在上，M与点G重合，在上三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵，． ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：取的中点G， 当点M在上时，如图3所示，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当M与点G重合时，； 当M在上时，如图4，同理可证，， ∴； ． 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，分类思想，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $