精品解析：福建省南安市昌财实验中学2024-2025学年高一上学期第三次考试数学试卷

高一上数学第三次考试 一、单选题 1. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析图中阴影部分表示的集合是，再由集合的运算，分别算出对应集合即可得出答案. 【详解】集合 ， ∴图中阴影部分表示的集合为： 故选：B 2. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性和充分必要条件的定义求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 由函数在上单调递增可得， ，解得， 所以能推出，推不出， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A. 3. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 4. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 6. 若对任意的，函数满足，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】令，则，解得， 令，则，故， 故选：D 7. 已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（ ） A. （-2，4） B. （-2，1） C. （1，4） D. （-1，1） 【答案】D 【解析】 【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断. 【详解】画出的图象如图所示： 由图可知：，， 根据选项可知：当的定义域为，值域为时， 的可能值为，，，所以D错误. 故选：D. 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的单调性，以及对勾函数的单调性，结合分段函数的性质，分类讨论即可求解. 【详解】当即时，则均为上的单调递增函数， 故函数在上单调递增， 所以在上单调递增，需要满足，解得， 当即时， ，在上单调递增，符合条件， 当即时，要使在上单调递增， 需满足，解得， 综上可得， 故选：B 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据即可求解A，根据存在命题的否定为全称命题即可判定B，根据对勾函数的单调性即可求解C，根据判别式以及分类讨论即可求解D. 【详解】对于A，当，则，故A错误， 对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确， 对于C，由于，函数在单调递增，故，故C错误， 对于D,当时，不等式恒成立， 当时，要使不等式恒成立，则， 解得，故则的取值范围是，D正确， 故选：BD 10. 已知，，设，则关于的说法正确的是（       ） A. 最大值为3，最小值为 B. 最大值为，无最小值 C. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 D. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 【答案】BC 【解析】 【分析】在同一坐标系中由与的图象得出函数的图象，结合图象即可得出的性质，判断各选项． 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象， 当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象， 当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象， 根据定义画出， 容易看出有最大值，无最小值，故A错误； 当时，由，得舍或， 此时的最大值为：，无最小值，故B正确； 时，由，解得：（舍去）， 故F在，递增，在和递减， 故C正确，D错误， 故选：BC． 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 在单调递减 D. 当时，函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义分析AB选项；举例判断C；分析易得，进而得到，可判断D. 【详解】，，使得，则， 因为，所以，所以， 即的值域为，故B正确， 又因为，所以， 所以，故A正确； 因为，， 显然不可能在上单调递减，故C错误； 由上述可知，则，即， 所以当时，， 则当时，函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题是以高斯函数为背景，考查属于函数新定义内容，一方面可以从函数定义角度分析的函数性质，还可以从函数图象的角度来分析. 三、填空题 12. 设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用方程组法求解解析式. 【详解】由①， 用代替可得②， 由①②可得. 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的单调递减函数，则使不等式成立的实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域及单调性列不等式组计算即可. 【详解】∵函数为上单调减函数, 实数满足不等式,可以得出， ∴. 故答案为：. 14. 设定义在上的函数，当时，的值域为___________；若的最大值为1，则实数的所有取值组成的集合为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，分别求出各段上函数值的范围后可得函数的值域，若的最大值为1，则可就、分类讨论后可得实数的所有取值组成的集合. 【详解】因为，故，故. 当时，， 当时，，，当时，， 故当时，的值域为. 若的最大值为1，则，又，故或. 若， 当时，，当时，， 因为，故，此时无最大值，舍. 若， 当时，，当时，， 因为的最大值为1，故，即，即， 综上， 故答案为：；. 四、解答题 15. 求下列函数的值域： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）法一：利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，；法二：利用函数的单调性即可求解， （2）利用换元法可得，利用单调性求解即可. 【小问1详解】 设，则， 所以， 故在区间单调递增，所以， 所以原函数值域为. 法二：函数定义域为， 函数与函数均在区间均单调递减， 则在区间单调递减， 当时，， 所以，即原函数值域为. 【小问2详解】 设，则， 所以 因为在区间，单调递减，又， 所以. 所以原函数值域为. 16. 设，，函数． （1）求不等式的解集； （2）若在上的最大值为，求的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，将不等式分解可得，求出该不等式对应方程的两个根再进行分类讨论即可； （2）利用二次函数性质，讨论对称轴与区间的关系，求出在上的最大值，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 根据题意可得即，即， 的两根为1和， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【小问2详解】 因为，，所以，的对称轴为， 当时，即时，，与矛盾，不合题意； 当时，即时，，而，符合题意； 所以可得，又，，因此； 故取值范围为． 17. 第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效. （1）若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？ （2）若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值. 【答案】（1）7天； （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的净化剂的有效时间即可. （2）由题设，将问题化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值. 【小问1详解】 因为一次投放4个单位的净化剂， 所以水中释放的浓度为， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，所以一次投放4个单位的净化剂，则有效时间可持续7天. 【小问2详解】 设从第一次投放起，经过天后浓度为． 因为，则，， 所以，即，令，， 所以， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2. 18. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题设代点求解即可； （2）结合对勾函数的性质可得，转化问题为在有解，进而求解即可； （3）由已知可得，化简可得，，换元结合对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 解得，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，. 所以，则. 不等式，即， 得在有解，所以且， 即， 则实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以， 恒成立，所以，则， 而 ， 设，其中，则， 当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则， 所以， 因为函数在上单调递增，可得， 所以，即实数的最小值为3. 【点睛】方法点睛：求解函数不等式恒（能）成立问题，常常利用函数最值解决问题，而遇到原函数有参数时，常用参变量分离法分离参数，进而利用函数性质求解最值以解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上数学第三次考试 一、单选题 1. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A. B. C. D. 2. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若对任意的，函数满足，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 7. 已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（ ） A. （-2，4） B. （-2，1） C. （1，4） D. （-1，1） 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 已知，，设，则关于的说法正确的是（       ） A. 最大值为3，最小值为 B. 最大值为，无最小值 C. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 D. 单调递增区间为和，单调递减区间为和 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 在单调递减 D. 当时，函数的值域为 三、填空题 12. 设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为______． 13. 已知函数是定义在上的单调递减函数，则使不等式成立的实数的取值范围是___________. 14. 设定义在上的函数，当时，的值域为___________；若的最大值为1，则实数的所有取值组成的集合为___________. 四、解答题 15. 求下列函数的值域： （1）； （2）. 16. 设，，函数． （1）求不等式的解集； （2）若在上的最大值为，求的取值范围． 17. 第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效. （1）若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？ （2）若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值. 18. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $