精品解析：福建省厦门市第十中学2024-2025学年上学期九年级数学12月月考卷

厦门十中2024－2025学年（上）九年级数学第二次月考阶段性检测 （满分：150分时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，另有答题卡； 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分； 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共分32．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个不透明的袋子里装有1个白球，2个黑球，3个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 恰好是白球是不可能事件 B. 恰好是黑球是随机事件 C. 恰好是红球是必然事件 D. 恰好是红球是不可能事件 4. 如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是（ ） A. 以为半径的圆 B. 以为半径的圆 C. 以为半径的圆 D. 以为半径的圆 5. 是下列哪个一元二次方程根（ ） A. B. C. D. 6. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．如果月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 7. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线与x轴的交点为和，点，是抛物线上不同于A，B的两个点，记的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是________． 10. 已知关于的方程有一个根为，则___． 11. 已知一个二次函数的最小值是2，该二次函数解析式可以是__________ 12. 如图，将绕直角顶点B逆时针旋转得到，的延长线恰好经过的中点F．连接，．若，，则的长为________ 13. 如图，正六边形，对角线、交于点，，则正六边形外接圆的半径为________ 14. 某小区有1300个住户，为了解小区居民的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取4栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区居民当日生活垃圾总量为________ 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数 30 40 10 20 该栋所有住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 15. 动物学家通过大量的调查估计，发现某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，则现年岁的这种动物活到岁的概率是________． 16. “化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点D作交于，点，过点作于点K．若，则为_________ 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17 解方程： 18 如图所示，和关于点O中心对称， （1）请用尺规作图作出点D，连接、． （2）求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤．现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维． （1）“若甲同学从准备好光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图或列表的方法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 21. 关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数满足：，，且，求的值． 22. 如图，内接于，交于点D，交于点E，交于点F，连接，，，． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径为3，求的长． 23. 厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … （1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? （2）在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 24. 将如图，绕点A逆时针旋转α得到，且点D落在的延长线上，连接 （1）如图1，若，，交于点F，求的度数； （2）如图2，若点M、N分别为、的中点，连接并延长交于点G，，，．求的长． 25. 已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． （1）若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点坐标； （2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门十中2024－2025学年（上）九年级数学第二次月考阶段性检测 （满分：150分时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，另有答题卡； 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分； 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共分32．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点式是关键．根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为，直接求解即可 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 顶点坐标即为 ， 故选 B． 3. 已知一个不透明袋子里装有1个白球，2个黑球，3个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取出一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 恰好是白球是不可能事件 B. 恰好是黑球是随机事件 C. 恰好是红球是必然事件 D. 恰好是红球是不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、恰好是白球是随机事件，故该选项错误，不符合题意； B、恰好是黑球是随机事件，故该选项正确，符合题意； C、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意； D、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，以点为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是（ ） A. 以为半径的圆 B. 以为半径的圆 C. 以为半径的圆 D. 以为半径的圆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定等知识，熟练掌握切线的定义是解题的关键． 根据经过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线即可判断． 【详解】解：根据题意可知，， ∴以为圆心，为半径作圆，所得的圆与直线相切， 故选： C． 5. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程的求根公式逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，符合题意； D、∵， ∴，不符合题意； 故选：C． 6. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．如果月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 利用公式：（其中指原产量，指连续两次增速后的产量，为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则第三个月的销售量为辆， 依题意得，， 故选：A． 7. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，， 得， ∴点M，N，O三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8. 已知抛物线与x轴的交点为和，点，是抛物线上不同于A，B的两个点，记的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，难度较大． 判断一个命题正确与否，只要举出一个反例便可确定，因此，不妨假设，结合二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，， 不妨假设， 如图，若，，，则， ∴、满足，即：， ∵， ，故A错误； 当，时，，满足， 则，此时，故B错误； ， 、在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大， ，故D正确； 如图，若，存在、满足，但，故C错误，不符合题意； 同理，当时，D正确 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故答案为： 10. 已知关于的方程有一个根为，则___． 【答案】 【解析】 【分析】将x=-2代入方程中得到关于m的方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：∵方程的一个根为-2， ∴， 解得：m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解的意义是解答的关键． 11. 已知一个二次函数的最小值是2，该二次函数解析式可以是__________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵二次函数的最小值是2， ∴该二次函数解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，将绕直角顶点B逆时针旋转得到，的延长线恰好经过的中点F．连接，．若，，则的长为________ 【答案】## 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理、勾股定理求得，，根据三角形的外角性质和等角对等边求得，即可求的长． 【详解】解：∵将绕直角顶点B逆时针旋转得到，，， ∴，，又， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质、勾股定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 13. 如图，正六边形，对角线、交于点，，则正六边形外接圆的半径为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形和圆的综合是解题的关键．设正六边形外接圆的圆心为点，连接，，由点是正六边形外接圆的圆心可得，，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为点， 如图，连接，， 点是正六边形外接圆的圆心， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：． 14. 某小区有1300个住户，为了解小区居民的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取4栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区居民当日生活垃圾总量为________ 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数 30 40 10 20 该栋所有住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键． 先求出栋楼的住户当日生活垃圾总量，然后用这栋楼的住户当日生活垃圾总量去估计该小区居民当日生活垃圾总量即可． 【详解】解：， 个住户的当日生活垃圾总量为： （）， 估计该小区个住户的当日生活垃圾总量为： （）， 故答案为：． 15. 动物学家通过大量的调查估计，发现某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，则现年岁的这种动物活到岁的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握概率公式是解题的关键：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率，即随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 设这种动物出生时的数量为，根据概率公式可得活到岁时数量为个，活到岁时数量为个，然后根据概率公式计算现年岁的这种动物活到岁的概率即可． 【详解】解：设这种动物出生时的数量为， 活到岁的概率为，则活到岁时数量为个， 活到岁的概率为，则活到岁时数量为个， 现年岁的这种动物活到岁的概率， 故答案为：． 16. “化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点D作交于，点，过点作于点K．若，则为_________ 【答案】## 【解析】 【分析】由，证明四边形是矩形，再证明，得，则四边形是正方形，根据正方形和矩形性质可得，结合勾股定理得，进而列方程，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， 四边形是矩形，四边形是正方形， ，， 点F在边上，点E在边上， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：或， 若，则， 不符合题意，舍去， ． 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，证明是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程： 【答案】，. 【解析】 【分析】利用公式法求解即可. 【详解】， ，. 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 如图所示，和关于点O中心对称， （1）请用尺规作图作出点D，连接、． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的性质、平行四边形的判定与性质，正确画出图形是解答的关键． （1）根据中心对称图形的性质，只需在的延长线上截取，则点D即为所求作，连接、即可； （2）根据中心对称图形的性质和平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，进而利用平行四边形的对应边相等可得结论． 小问1详解】 解：如图，点D即为所求作，连接、； 【小问2详解】 解：∵和关于点O中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 光导纤维按原材料主要分为石英光纤，塑料光纤，多组分玻璃光纤，复合材料光纤，氟化物光纤．现准备了石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤各一份，多组分玻璃光纤两份给某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机选取的方式确定研究哪种光导纤维． （1）“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画树状图或列表的方法，求石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 【答案】（1）不可能 （2）石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了随机事件和列表法与树状图法． （1）根据随机事件和确定事件的定义进行判断； （2）利用树状图展示所有20种等可能的结果，再计算出石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 【小问1详解】 解：“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化物光纤恰好被抽中”是不可能事件； 故答案为：不可能； 小问2详解】 解：用A，B，C分别表示石英光纤，塑料光纤，复合材料光纤，用D，E表示两份多组分玻璃光纤， 画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的情况有AD，AE，DA，EA，即结果数为4， ∴石英光纤，多组分玻璃光纤被选取为做研究的光导纤维的概率． 21. 关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数满足：，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意将代入，然后解一元二次方程即可得解； （2）根据题意将变形为，从而可以看作是一元二次方程的两个根，进而可以得解． 【小问1详解】 解：根据题意，将代入得， ， ， 黄金分割数大于， 黄金分割数为：； 小问2详解】 解：， ， ， ， 是一元二次方程的两个根， ， ． 22. 如图，内接于，交于点D，交于点E，交于点F，连接，，，． （1）求证：直线是的切线； （2）若的半径为3，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，可证得四边形是平行四边形，于是可得，由同弧所对的圆周角相等可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由同弧所对的圆周角相等可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）可得，由圆周角定理可得，然后根据弧长公式即可求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接，延长交于点，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径，点在上， 直线是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，， 由（1）可得：， ， 的长为： ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定定理，圆周角定理，弧长公式等知识点，熟练掌握切线的判定定理和圆周角定理是解题的关键． 23. 厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … （1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? （2）在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】（1）60 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，最值问题，分段函数等知识，正确理解题意，弄清各量间的关系，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. （1）根据日销售量与时间t（天）的关系表，设，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量； （2）根据题意列出日销售利润，此二次函数的对称轴为直线，要使W随t的增大而增大，，即可得出n的取值范围． 【小问1详解】 依题意，设，将，代入中， 得：， 解得：， ∴日销售量与时间t（天）的关系． 当时，． 答：在第30天的日销售量为60千克． 【小问2详解】 解：依题意，得：， 该函数图象的开口向下，对称轴为直线，要使在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 由二次函数的性质知：，解得． 又∵， ∴． 24. 将如图，绕点A逆时针旋转α得到，且点D落在的延长线上，连接 （1）如图1，若，，交于点F，求的度数； （2）如图2，若点M、N分别为、的中点，连接并延长交于点G，，，．求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转得到，，，从而 ，，进而由 得到； （2）连接，利用等腰三角形的性质得到，进而可得四点共圆，利用圆周角定理可得，进而得到，即．然后利用线段垂直平分线的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵绕点A逆时针旋转得， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，如图2： ∵，为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，是的中点， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴， 中，． 【点睛】本题考查几何综合，综合性较强，涉及旋转性质、三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形性质、四点共圆、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点，灵活运用几何性质推理是解决问题的关键． 25. 已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． （1）若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】（1）①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标； ②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解； （2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为． ②过点作轴于点，与直线相交于点． ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为． 【小问2详解】 ∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)． 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $