山东省淄博市张店区张店七中教育集团2024-2025学年九年级上册培优班12月16日过程测试数学试卷

山东省淄博市张店区张店七中教育集团 2024-2025学年九年级上册培优班12月16日过程测试 数学试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．2024年10月1日清晨，北京天安门广场举行升国旗仪式，庆祝中华人民共和国成立75周年，共有123000名来自五湖四海的游客和市民在天安门广场观看升国旗仪式．将123000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 3．在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少，则的度数为　　 A． B． C．或 D．不能确定 4．小明收集了银川市某酒店2022年3月1日月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是　　 A．平均数是 B．众数是10 C．方差是 D．中位数是8.5 5．如图，要得到从点观测点的俯角，可以测量　　 A． B． C． D． 6．规定：对于任意实数、、，有【，】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★．若关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　 A． B． C．且 D．且 7．如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为　　 A． B． C． D． 8．如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设小时后两车间的距离为千米，关于的函数关系如图所示，则乙车的速度为　　 A．60千米小时 B．70千米小时 C．75千米小时 D．80千米小时 9．在△中，，，垂足为，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点落在边上时，点为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，请对两位同学的发现作出评判　　 A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 10．如图，面积为1的矩形在第二象限，与轴平行，反比例函数经过、两点，直线所在直线与轴、轴交于、两点，且、为线段的三等分点，则的值为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．函数中，自变量的取值范围是 　　 12．如图，一段抛物线：，记为，它与轴的两个交点分别为，，顶点为；将绕点旋转得，它与轴的另一交点记为，顶点为；将绕点旋转得，它与轴的另一交点记为，顶点为，，这样一直进行下去，得到抛物线段，，，，，则点的坐标为 　　；若点，在第3段抛物线上，则　　． 13．如图，半径为2的和的圆心，都在线段上，还在上，两圆交点为，过点作于点交于点，则的大小为 　　，的长为 　　． 14．如图，小明制定了一种密码规则，根据该规则将密文“”翻译成明文为　　． 15．如图，在△中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在△的边上，则的长为 　　． 三．解答题（共7小题） 16．化简求值：，其中 ． 17．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点，点，点是线段的中点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当取什么值时，． 18．已知，．点在上以的速度由点向点运动，同时点在上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）如图①，，，若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，△与△是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图②，将图①中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为 ，是否存在实数，使得△与△全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 19．小予和小凡同学计划为美术教室设计一款多功能桌．现有圆心为、半径为的圆面形材料若干个（如图1所示），先在圆面材料上裁掉一个以为圆心、为半径的圆得到一个圆环，然后把圆环6等分（如图2所示），得到若干扇环形桌面（如图3所示）． （1）图3中一个扇环的面积为　　（用含、的式子表示）； （2）小予同学用8块相同的扇环拼成如图4所示的桌子． ①图4是一个中心对称图形，请在图上标出对称中心； ②根据图4上标注的数据求这张桌子的桌面面积（结果保留． （3）小凡同学用10块相同的扇环拼成如图5所示的桌子．矩形是能把这张桌子围起来的最小矩形，且，直接写出图中线段的长度． 20．小慧和小钰同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中，画出了如下四个二次函数的图象（共中 抛物线，抛物线， 抛物线，抛物线． 发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系： （1）可以通过　　得到（填平移、轴对称或中心对称）； （2）在下面的说法中，正确的是　　（填序号） ①和关于原点中心对称； ②和关于点中心对称； ③和关于直线轴对称，但不成中心对称． 21．阶长方形 操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为． 思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为，同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和． （1）画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比． （2）直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值． （3）从以下问题中任选一个作答： ①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？ ②图3中“”“ ” 是必然的，解释其中道理． ③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 注：答对①得1分，答对②得2分，答对③得3分．作答多题，择低赋分． 22．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （1）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （2）若的三个根分别为，，，则的值是 　　． 拓展提升： （3）已知实数，，满足，且，求正数的最小值． 23．如图，已知点、、为上互不重合的三点，，图形关于轴对称后的图形称为，把再关于轴对称后的图形称为图形，若图形和都在上或内，则称图形为关于的“轴转图形”．例如图中点为关于的“轴转图形”： 如图1，在平面直角坐标系中，的半径为1，上有三点，， （1）①直接写出的度数； ②在点和点中，点　　为关于的“轴转图形”，且的坐标为　　； （2）平面内有一条线段，且是关于的“轴转图形”． ①若上所有的点都在上或内，则长度的最大值为　　； ②若是平面内的任意一条线段，则长度的最大值为　　． 山东省淄博市张店区张店七中教育集团 2024-2025学年九年级上册培优班12月16日过程测试 数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C． C C D D A B C C 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项符合题意． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：． 2．2024年10月1日清晨，北京天安门广场举行升国旗仪式，庆祝中华人民共和国成立75周年，共有123000名来自五湖四海的游客和市民在天安门广场观看升国旗仪式．将123000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【解答】解：． 故选：． 3．在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少，则的度数为　　 A． B． C．或 D．不能确定 【解答】解：比的3倍少， ， 在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直， 有以下两种情况： ①当为锐角时，如图1所示：，， ， ， ， 解得：， ②当为钝角时，如图2所示：，， ， ， ， ， 解得：． 综上所述：的度数为或． 故选：． 4．小明收集了银川市某酒店2022年3月1日月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是　　 A．平均数是 B．众数是10 C．方差是 D．中位数是8.5 【解答】解：由折线图知：2022年3月1日月6日的用水量（单位：吨）依次是4，2，7，10，9，4， 从小到大重新排列为：2，4，4，7，9，10， 平均数是， 中位数是， 由4出现了2次，故其众数为4． 方差是 ． 综上只有选项正确． 故选：． 5．如图，要得到从点观测点的俯角，可以测量　　 A． B． C． D． 【解答】解：从点观测点的俯角，也就是从点观测点的仰角， 即要得到从点观测点的俯角，可以测量． 故选：． 6．规定：对于任意实数、、，有【，】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★．若关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　 A． B． C．且 D．且 【解答】解：根据题意得， 整理得， 关于的方程【，】★有两个不相等的实数根， △且， 解得且． 故选：． 7．如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：方法一：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：． 方法二：四边形是矩形， ，， ， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， ， ， 故选：． 8．如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设小时后两车间的距离为千米，关于的函数关系如图所示，则乙车的速度为　　 A．60千米小时 B．70千米小时 C．75千米小时 D．80千米小时 【解答】解：设甲车的速度为千米小时，乙车的速度为千米小时， 由图可得：， 解得， 即甲车的速度为60千米小时，乙车的速度为70千米小时， 故选：． 9．在△中，，，垂足为，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点落在边上时，点为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，请对两位同学的发现作出评判　　 A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【解答】解：将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 当点落在边上时，如图： ，， ， ， ， 为的中点， 故小明的说法是正确的； 连接，， ，， ， ， ， ， 点在射线上运动， 当时，的长最小， 当的长最小时，， 又， △△，， ， 故小丽的说法正确； 故选：． 10．如图，面积为1的矩形在第二象限，与轴平行，反比例函数经过、两点，直线所在直线与轴、轴交于、两点，且、为线段的三等分点，则的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：延长、交轴于点、，延长、交轴于点、， 、为线段的三等分点， ， ， ，， 的面积为1， ， ， 反比例函数的关系式为， ， 一次函数的关系式为，即：，，， 由题意得的面积为， ， 解得，，（舍去）， 故选：． 二．填空题（共6小题） 11．函数中，自变量的取值范围是 　且　 【解答】解：根据题意得：， 解得且． 故答案为且． 12．如图，一段抛物线：，记为，它与轴的两个交点分别为，，顶点为；将绕点旋转得，它与轴的另一交点记为，顶点为；将绕点旋转得，它与轴的另一交点记为，顶点为，，这样一直进行下去，得到抛物线段，，，，，则点的坐标为 　，，　；若点，在第3段抛物线上，则　　． 【解答】解：如图，抛物线，当时，则， 解得，， ， ， 的顶点为，， 与关于点成中心对称， ，，， 与关于点成中心对称， ，， 的解析式为， 将，代入， 得， 的值为， 故答案为：，；． 13．如图，半径为2的和的圆心，都在线段上，还在上，两圆交点为，过点作于点交于点，则的大小为 　30　，的长为 　　． 【解答】解：如图，连接，，，． ， ， ， ， △是等边三角形， ，，， △是等边三角形， ，． 故答案为：30，． 14．如图，小明制定了一种密码规则，根据该规则将密文“”翻译成明文为　 　． 【解答】解：由题知， 密文36对应的明文是：； 密文21对应的明文是：； 密文29对应的明文是：空格； 密文70对应的明文是：； 密文44对应的明文是：； 密文79对应的明文是：； 所以密文“”翻译成明文为： ． 故答案为： ． 15．如图，在△中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在△的边上，则的长为 　　． 【解答】解：如图，过点作于点， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， △是等腰直角三角形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 设，， 正方形的边长为， ， ，， ，， 将代入整理得：， 解得， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 16．化简求值：，其中 ． 【解答】解：原式 ， 当，时，原式． 17．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点，点，点是线段的中点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出当取什么值时，． 【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上， ， ； 如图，作轴于， ，点是线段的中点， ， 、在的图象上， ， 解得，， 一次函数的解析式为； （2）由， 解得或， ， ； （3）由图可得，当或时，． 18．已知，．点在上以的速度由点向点运动，同时点在上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）如图①，，，若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，△与△是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图②，将图①中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为 ，是否存在实数，使得△与△全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当时，△与△全等，此时． 理由如下： ，点与点的运动速度均为以， ， ， ， ， 又，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ． （2）点的运动速度为 ，运动的时间为 ， ， 点在上以的速度由点向点运动， ，则， 又， 当△与△全等时，有以下两种情况： ①当，时，△△， ， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， 当，时，△和△全等； ②当，时，△△， 由于，因此，此时点与点重合，如图所示： 由，得：， 解得：， 由，得：， 将代入，得． 当，时，△和△全等． 综上所述：当，或，时，△和△全等． 19．小予和小凡同学计划为美术教室设计一款多功能桌．现有圆心为、半径为的圆面形材料若干个（如图1所示），先在圆面材料上裁掉一个以为圆心、为半径的圆得到一个圆环，然后把圆环6等分（如图2所示），得到若干扇环形桌面（如图3所示）． （1）图3中一个扇环的面积为　　（用含、的式子表示）； （2）小予同学用8块相同的扇环拼成如图4所示的桌子． ①图4是一个中心对称图形，请在图上标出对称中心； ②根据图4上标注的数据求这张桌子的桌面面积（结果保留． （3）小凡同学用10块相同的扇环拼成如图5所示的桌子．矩形是能把这张桌子围起来的最小矩形，且，直接写出图中线段的长度． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）①如图所示； ②如图，设两个圆环的圆心分别为和，则，， 由题易得， ， 解得， ； （3）如图，分别作出各扇环所在的圆心、、、， 由图易得， 由（2）②可得，， ， 点与点关于中垂线对称，点和关于中垂线对称，且、、三点共线， 一个扇环是圆环， ， △是等边三角形， ， ，， ， △是等腰三角形，且顶角为， ． 20．小慧和小钰同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中，画出了如下四个二次函数的图象（共中 抛物线，抛物线， 抛物线，抛物线． 发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系： （1）可以通过　平移　得到（填平移、轴对称或中心对称）； （2）在下面的说法中，正确的是　　（填序号） ①和关于原点中心对称； ②和关于点中心对称； ③和关于直线轴对称，但不成中心对称． 【解答】解：（1）可以通过平移得到， 故答案为：平移； （2）抛物线关于原点对称的抛物线解析式为，即， 和关于原点中心对称，故①正确； 设为抛物线上任意一点，其关于的对称点坐标为， ， 在抛物线上， 即抛物线上任意一点关于的对称点都在上， 和关于点中心对称，故②正确； 设为抛物线上任意一点，其关于直线的对称点为， 在抛物线上， 和关于直线轴对称， 为抛物线上任意一点，其关于，的对称点为，， ， ，在抛物线上， 即抛物线上任意一点，其关于，的对称点都在抛物线上， 抛物线和抛物线关于，对称，故③错误； 正确的有①②， 故答案为：①②． 21．阶长方形 操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为． 思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为，同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和． （1）画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比． （2）直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值． （3）从以下问题中任选一个作答： ①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？ ②图3中“”“ ” 是必然的，解释其中道理． ③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 注：答对①得1分，答对②得2分，答对③得3分．作答多题，择低赋分． 【解答】（1）解：另外两种3阶长方形的裁剪示意图如图所示，对应的宽长比分别是，； （2）解：3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； （3）解：选①，因为2阶长方形的宽长比有两种可能，即是； 3阶长方形的宽长比有四种可能，即是； 4阶长方形的宽长比有八种可能，即是； 所以10阶长方形的宽长比共有种可能的值； 选②，因为1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为，同理2阶长方形的宽长比为和，两种不同补法，正好可以补成一个大的正方形，宽长比为1，故“”，“ ” 是必然的； 选③，因为，，，，，，， ， 一个长方形的宽长比为，则它是32阶长方形． 22．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （1）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （2）若的三个根分别为，，，则的值是 　49　． 拓展提升： （3）已知实数，，满足，且，求正数的最小值． 【解答】解：（1）根据学习材料提示得， ， ， 的值为； （2） 的三个根分别为， ， ，，，， ， 故答案为：49； （3），， ，， 是方程 的两根， ， ． ， ， ， ， ，即， 正数的最小值为3． 23．如图，已知点、、为上互不重合的三点，，图形关于轴对称后的图形称为，把再关于轴对称后的图形称为图形，若图形和都在上或内，则称图形为关于的“轴转图形”．例如图中点为关于的“轴转图形”： 如图1，在平面直角坐标系中，的半径为1，上有三点，， （1）①直接写出的度数； ②在点和点中，点　　为关于的“轴转图形”，且的坐标为　　； （2）平面内有一条线段，且是关于的“轴转图形”． ①若上所有的点都在上或内，则长度的最大值为　　； ②若是平面内的任意一条线段，则长度的最大值为　　． 【解答】解：（1）①连接和，过作轴于点，过作轴于点， ，， ，， ，， ，， ，， △△， ， ， ， 即， ， 即； ②第一种情况：当为对称点时， 设， ， ， ，， ， ， 点在外，不是关于的“轴转图形”； 第二种情况：当为对称点时， 设，则， ， ， ， ， ，， ， 在圆上，； 故答案为：，； （2）①如图， 由是关于的“轴转图形”，可知，在上及内部， 由上所有的点都在上或内可知，， 将线段关于射线对称得到线段在上及内部， ， 故答案为：； ②如图， 由图形在上及内部可知，图形在的和的上及内部， 因此图形内的最长线是， ， 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/17 23:01:40；用户：好好搞数学；邮箱：18325864340；学号：13028466 第1页（共1页） 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