第二十一章 一元二次方程（四）整数根问题　专题训练　2024—2025学年人教版数学九年级上册

2024—2025学年度九年级人教版数学（上）专题复习 第二十一章 一元二次方程 （四）整数根问题 1．已知关于 的方程 的根都是整数，且 满足等式 ，则所有满足条件的整数 的值之和是 ． 2．若关于x的方程 有两个不相等的整数根，则正整数m的值是 ． 3．已知关于x的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数a有 个． 4．若关于 x 的方程 的根为正整数，且关于 x 的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数 a 为 ． 5．若数 使得等式 成立，求 的取值范围是 ；并且数 使关于 的方程 的根都是整数，则符合条件的所有整数 的和是 ． 6．已知关于 的方程 的根都是整数，且 满足等式 ，则所有满足条件的整数 的值之和是 ． 7．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是 ． 8．若关于 的一元二次方程 至少有一个整数根，且 为正整数，则满足条件的 共有 个． 9．若关于x的方程 所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 10．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的正整数根时，整数a的值是 ． 11．已知关于x的一元二次方程 ． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若m为正整数，关于x的一元二次方程 的两个根也都是整数，求m的值 12．关于 的一元二次方程 ． (1)求证：当 时，此方程必有实数根； (2)若方程有两个相等的整数根，写出满足条件的一组 的值，并求此时方程的根． 13．已知关于x的方程 ． (1)求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当k为何整数时，该方程有两个整数根？ 14．已知关于x的方程 ． (1)求证：无论m取何值，该方程总有实数根； (2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 15．已知：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程 与 有一个相同的根，求常数n的值． 16．已知关于x的一元二次方程 EMBED Equation.DSMT4 ． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若 ，方程的两个实数根分别为 （其中 ），若y是m的函数，且 ，求这个函数的解析式． (3)若m为正整数，关于x的一元二次方程 EMBED Equation.DSMT4 的两个根都是整数，a与 EMBED Equation.DSMT4 分别是关于x的方程 的两个根．求代数式 的值． 17．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0 （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值； （3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值． 18．阅读下列材料：在苏教版九年级数学上册 页中，我们通过探索知道：关于 的一元二次方程 ，如果 时，这个方程的实数根就可以表示为 ，其中 就叫做一元二次方程根的判别式，我们用 表示，即 ，通过观察公式，我们可以发现，如果 的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数， 的值一定是一个完全平方数． 例：方程 ， ， 的值是一个完全平方数，但是该方程的根为 ， ，不都为整数；方程 的两根 ， ，都为整数，此时 ， 的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程 称为“全整根方程”，代数式 的值为该“全整根方程”的“最值码”，用 表示，即 ；若另一关于 的一元二次方程 也为“全整根方程”，其“最值码”记为 ，当满足 时，则称一元二次方程 是一元二次方程 的“全整根伴侣方程”． (1)关于 的一元二次方程 是一个“全整根方程” 当 时，该全整根方程的“最值码”是__________． 若该全整根方程的“最值码”是 ，则 的值为__________． (2)关于 的一元二次方程 （ 为整数，且 ）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”． (3)若关于 的一元二次方程 是 （ ， 均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求 的值（直接写出答案）． 19．若关于 的一元二次方程 的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 一定为完全平方数．现规定 为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程” ，的两根均为整数，其“快乐数” ，若有另一个“快乐方程” 的“快乐数” ，且满足 ，则称 与 互为“开心数”． (1)“快乐方程” 的“快乐数”为________； (2)若关于 的一元二次方程 （ 为整数，且 ）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于 的一元二次方程 与 （ 、 均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求 的值． 20．已知关于 的方程 有整数根，求自然数 的值． 21．已知方程 的根都是整数．求整数k的值及方程的根． 22．如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，四边形 是菱形，点 在 轴的正半轴上，点 的坐标为 ， ，点 在边 上移动（不与 、 重合），点 在边 上移动（不与 、 重合），在移动的过程中保持 ． (1)求点 的坐标（用含 的式子表示）； (2)求 的大小； (3)若整数 使得关于 的一元二次方程 的两根均为整数，请求出 的值及此种情况下 面积的最小值． 23．若关于x的一元二次方程 的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 一定为完全平方数．现规定 为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程” 的两个根均为整数，其“快乐数” ．若有另一个“快乐方程” 的“快乐数” ，且满足 ，则称 与 互为“开心数”． (1)“快乐方程” 的“快乐数”为________； (2)若关于x的一元二次方程 （m为整数，且 ）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程 与 （m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 答 案 1． 解：∵ ， ∴ ， 解得 ； ∵ m是整数， 故 ， 当 时，即 ，方程变形为 ， 解得 ，是整数解，符合题意， 故 ； 当 时，∵ ， ∴ ， 解得 ， ， ∵ 方程的根都是整数， ， ∴ ， 综上所述，符合题意的m值为 ， ∴ ， 2．1 关于x的方程 有两个不相等的整数根， ， ， 解得 ， m是正整数，方程 有两个不相等的整数根， 是整数，且 ， . 3．5 解：∵ 的根都是整数， ∴①当 时，原方程为 ， 解得， ； ②当 时，原方程可整理为： ， 则 ， ， 即 是方程的整数根， 且x是整数， 则 或 ， 解得， ， ， ， ， 综上，满足条件的整数 的值为1，0，2， ，3， 4． 或0 解：∵ ， 解得： ， ∵方程的解为整数，且 ， ∴ 为整数，且 ， ∴ ∴ 为一元二次方程， 解得： ， ∵方程 的根为正整数， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ 或0； 5． ；2 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当 ，即 时，原方程为 ，解得 ，符合题意； 当 ，即 时 ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∵数 使关于 的方程 的根都是整数， ∴ 是整数，即 是整数， ∴ 或 或 ， ∴ 或 或 或 或 或 ， ∴符合题意的m的值为 ， ∴符合条件的所有整数m的和是 ， 6． 解：∵ ， ∴ ， 解得 ； ∵ m是整数， 故 ， 当 时，即 ，方程变形为 ， 解得 ，是整数解，符合题意， 故 ； 当 时， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ， ∵ 方程的根都是整数， ， ∴ ， 综上所述，符合题意的m值为 ， ∴ ， 7．3个 解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由一元二次方程的根与系数的关系有， ， ， ， ， 这两个方程的根都为负根，①正确； ②由一元二次方程的根的判别式有： ， ， ， ， ， ， ∵ ， ∴ ，②正确； ③由一元二次方程的根与系数的关系可得 ， 由 、 均为负整数，故 ，故 ， 同理可得： ，得 ，即 ，故③正确， 8．3 解：∵关于x的一元二次方程 有整数根， ∴ 且 ， 解得 且 ， ∴方程的根为 ， ∵ 为完全平方数且 为正整数， 设 ，t时整数， 则 ， 根据偶数的平方是偶数，偶数减去1是奇数，奇数不是48的倍数， 故t是奇数， 当 即 时， ，此时， ，符合题意； 当 即 时， ，此时，不符合题意； 当 即 时， ，此时， 符合题意； 当 即 时， ，此时， 符合题意； 当 即 时， ，此时，不符合题意； 当 即 时， ，此时，不符合题意； 故符合题意的有3个， 9． 或 / 或 解：当 时， ． 当 时，可得 ，解得： ，符合题意； 当 时，可得 ，解得： ，不符合题意； 当 时， ，则 ∴ ． ∵关于x的方程 的所有根都是比1小的正实数， ∴ ，解得： ， ，解得： ，即 ． 综上可得，实数m的取值范围是 或 ． 10．a=1． 解：∵方程 是关于x的一元二次方程， ∴a≠0． ∵ ∴当a=2时，方程有两个相等的实数根， 当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根． ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴a≠2且a≠0． 设方程的两个根分别为x1、x2， ∴x1•x2= ， ∵x1、x2均为正整数， ∴ 为正整数， ∵a为整数，a≠2且a≠0， ∴a=1， 11． （1）证明：由题意得， ， ∵ ， ∴ ， ∴原方程有两个实数根； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 解得 ， ∵m为正整数，且关于x的一元二次方程 的两个根也都是整数， ∴ 是整数， ∴ ． 12． （1）证明： ， ， 方程有有的实数根； （2）解：方程有两个相等的非零实数根， ， 若 ， 时，方程变形为 ，解得 （答案不唯一）． 13． （1）解：当 时，方程为一元一次方程，必有一解； 当 时，方程为一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根． 综上：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）解： 方程 有两个整数根， 方程为一元二次方程，即 ， ， 解得 或 ， 又k为整数及方程的两个根都为整数， 或 ， 或2． 14． （1）证明： EMBED Equation.DSMT4 ， 无论m取任何数， ，即 ， 无论m取何值，该方程总有实数根； （2）解： ，由求根公式得： ， ， 方程的两个根都是整数， 取 时，方程的两根为 ， ． 15． （1）解：根据题意得 ，且 ， 解得 且 ； （2）解：∵ 且 ， ∴m的最大整数为 ，此时方程变形为 ， 解得 ， ， 把 代入 ，得： ， 解得 ； 把 代入 ，得： ， 解得 ． 16． （1）解： 由题意可知 ， 方程有两个实数根； （2） 解：由（1）可知，方程有两个实数根， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ． EMBED Equation.DSMT4 ． （3）解： a与 EMBED Equation.DSMT4 分别是关于x的方程 的两个根． ， ， 与 是整数， EMBED Equation.DSMT4 与 同为整数， 是正整数， ， 方程为 ， ， ， 将 代入 原式 ． 17． 解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0， 解得：x=-1； 当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0， ∴方程有实数根， 综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）∵方程有两个整数根， ∴ ， ，且k≠﹣1， ∵x2为整数，k为正整数， ∴k=1或k=3； （3）由（2）得x1=-1， ，且k≠-1， ∴|x1-x2|= ， 解得：k=-3或k=0， 经检验k=﹣3或k=0是原方程的解， 故k的值为﹣3或0． 18． （1）解： 当 时，代入 得， ， ∴ ，即 ; 由题意得， ， 整理得， ， 解得 ， ， （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是“全整根方程”， ∴ 是完全平方数， 即 是完全平方数， ∴ 或 或 ， 解得 或 或 ， ∵ 为整数， ∴ 不合，舍去， ∴ 或 ， 当 时，方程 化为 ， ∴ ； 当 时，方程 化为 ， ∴ ， ∴方程 的“最值码”为 或 ； （3）解：方程 的“最值码”为 ， 方程 的“最值码”为 ， ∵ 是 的“全整根伴侣方程”， ∴ ， 即 ， 整理得， ， ∴ ， 即 ， ∵ ， 均为正整数， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 19． （1）解：方程 的“快乐数为： ， （2）解：方程 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又方程 是“快乐方程”， ∴ 或36， ∴ ， （舍去）， ∴方程为： ， 则 ， （3）解： ， ∴ ， 设 ， 则 ， 又 与 同奇偶， ∴ 或 或 或 解得 或 ， ∴方程为： 或 ； ， ∴ ， ， 当 时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴ ， 解得： 或 （舍去）， 当 时， ， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴ ， 解得 ， 综上，n的值为0或3． 20． 解：当 时，原方程为 ， 解得 ，不符合题意，舍去； 当 即 时，原方程变形为 ， 当 时，此时 不成立， ∴ ， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∵方程 有整数根， ∴x的整数解可能为 ， ，0，1，2，3，4，5，6， 又 ， ∴ ， ∴当 时， ，符合题意； 当 时， ，符合题意； 当 时， ，不符合题意； 当 时， ，不符合题意； 当 时， ，不符合题意； 当 时， ，不符合题意； 当 时， ，不符合题意； 当 时， ，符合题意； 综上，自然数 的值为1或13． 21． 解： ∴ ∴ 整数 ，0，1，2，3． 由求根公式知 ，故 当 时， ， ； 当 时， ， 或3； 当 时， 不是完全平方数，整根 不存在； 当 时， ， 或4； 当 时， ， ． 因此， ，0，2，3， ，0，3，4． 22． （1）解：如图 ，作 轴于 ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ； （2）解：如图 ，连接 ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ； （3）解：设方程两个根为 ， ， ， ， ， 当 时， ， 此时 （舍去）， 当 时， ， 此时 （舍去）， 当 时， ， 此时 ， 当 时， ， 此时 ， 当 时， ， 此时 （舍去）， 当 时， 此时 （舍去）， 综上所述， ， 此时 ， ， ， 连接 ， 由（2）证得 ， ， ， ， 过 作 于 ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 过 作 交 的延长线于 ，则 ， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， 点 在线段 上且不与 、 重合， ， ， ， ， ， 当 时， 有最小值，为 ， ，此时 面积的最小值为 ． 23． （1） 的“快乐数”为 ， （2）∵一元二次方程 （m为整数，且 ）是“快乐方程”， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 为平方数， ∴ ，或 ， ∴ （舍去），或 ， ∴原方程为 ， ∴“快乐数”为 ； （3）∵x的一元二次方程 （m为正整数）是“快乐方程”， ∴设 （a整数）， ∴ ， ∴ ， ∵两因式同奇同偶， ∴ ，或 ，或 ，或 ， 解得 ，或 (舍去)， ∴ ， ∴ ∵x的一元二次方程 （n为正整数）是“快乐方程”， ∴ ， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴ ， 解得， ， （舍去）． 故n的值是3． 九年级数学专题复习 第1 = 1 页，共3 = 3 页 九年级数学专题复习 第1 = 1 页，共3 = 3 页 $$