山东省淄博市桓台县城南学校2024-2025学年八年级上册培优班12月数学考试

山东省淄博市桓台县城南学校2024-2025学年八年级上册培优班12月 数学考试 一．选择题（共10小题） 1．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 2．如图，实数、在数轴上的位置，化简：　　 A．0 B． C． D． 3．如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为　　 A．4 B． C． D． 4．某学校准备为七年级学生开设，，，，，共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 人数 40 60 100 下列说法不正确的是　　 A．这次被调查的学生人数为400人 B．对应扇形的圆心角为 C．喜欢选修课的人数为72人 D．喜欢选修课的人数最少 5．如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为　　 A． B． C．2 D． 7．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 8．如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为　　 A． B． C． D．2 9．若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数有　　个 A．5 B．4 C．3 D．2 10．如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是　　 A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 二．填空题（共5小题） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 　　． 12．关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 　　． 13．如图，矩形外接，且边落在上，若，，，，那么的长是　　． 14．如图，在△中，、为边的三等分点，，为与的交点．若，则　　． 15．如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为 　　． 三．解答题（共8小题） 16．计算： （1）； （2）． 17．如图，将绕点逆时针旋转得，其中点，点的对应点分别是点，点，点落在上，延长交于点，、交于点． （1）求证：； （2）求证：． 18．已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程两根为，，且满足，求的值． 19．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． （1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 20．（1）如图①，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，．求证：． （2）如图②，在四边形中，与相交于点，，，分别是，的中点，连接，分别交，于点，，判断的形状，请直接写出结论． （3）如图③，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断的形状，请直接写出结论． （4）如图④，四边形中，，分别是，的中点，，，，试求的度数． 21．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 22．问题引入：如图①，，，，是线段的中点．连结并延长交于点，连结．判断与之间的数量关系，并说明理由． 问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连结、． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由． （2）连结，若，，则的长为 　　． 23．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． （1）证明是菱形； （2）若，连接、，求的度数； （3）若，，，是的中点，求的长． 山东省淄博市桓台县城南学校2024-2025学年八年级上册培优班12月 数学考试 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B D A D C C D 一．选择题（共10小题） 1．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【解答】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2．如图，实数、在数轴上的位置，化简：　　 A．0 B． C． D． 【解答】解：由数轴可知， ， 原式 ， 故选：． 3．如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为　　 A．4 B． C． D． 【解答】解；连接，如图所示， 四边形是矩形， ， ， ， 故选：． 4．某学校准备为七年级学生开设，，，，，共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 人数 40 60 100 下列说法不正确的是　　 A．这次被调查的学生人数为400人 B．对应扇形的圆心角为 C．喜欢选修课的人数为72人 D．喜欢选修课的人数最少 【解答】解：人，因此选项正确， 对应的人数为人，对应的人数为人，对应的人数为人，因此、都正确； ，因此是错误的， 故选：． 5．如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：延长交的延长线于，如图所示： 四边形是正方形， ，，， ， 点，分别是，的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 即点是△斜边上的中点， ， ， ， ． 故选：． 6．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为　　 A． B． C．2 D． 【解答】解：矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2， 两个正方形的边长分别是，2， 阴影部分的面积． 故选：． 7．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【解答】解：根据题意得， 解得且． 故选：． 8．如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为　　 A． B． C． D．2 【解答】解：连接并延长交于，连接， 四边形是矩形， ，， ，分别是边，的中点，，， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 点是的中点， ， 故选：． 9．若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数有　　个 A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：， 解不等式①得：， ， 不等式组有解且至多3个整数解， ， ， 分式方程两边都乘以得：， ， ， ， ， ， 方程有整数解， ，， 解得：，1，5，， ，， ，1，， 故选：． 10．如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是　　 A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 【解答】解：①四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， 垂直平分， 故①正确； ②如图，连接与交于点，交于点，连接， 四边形是正方形， ， 即， 垂直平分， ， 当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为4， ， ， 即的最小值为， 故②错误； ③垂直平分， ， ， ， 又， ， ， 即， 由①知， ， 故③正确； ④垂直平分， ， 又， ， 故④正确； 综上，正确的是：①③④， 故选：． 二．填空题（共5小题） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为 　且　． 【解答】解：由题意，得且， 解得：且， 故答案为：且． 12．关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 　且　． 【解答】解：解分式方程得，， 使关于的方程的解为非负数， ，且 且． 故答案为：且． 13．如图，矩形外接，且边落在上，若，，，，那么的长是　　． 【解答】解：在矩形中，， ，， ， ， ，设垂足为， ， ，，， ， 解得， ， ， ， 解得． 故答案为． 14．如图，在△中，、为边的三等分点，，为与的交点．若，则　18　． 【解答】解：、为边的三等分点，， ，，， ，是△的中位线， ，则， ， △△， ，即， 解得：， 故答案为：18． 15．如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为 　2　． 【解答】解：如图，以为对称轴作等边，延长交轴于， 是等边三角形，是等边三角形， ，，，， ， ， ， ， ，，， ， ，， ，， 点在上移动， 当时，有最小值， 此时，． 故答案为：2． 三．解答题（共8小题） 16．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； ． 17．如图，将绕点逆时针旋转得，其中点，点的对应点分别是点，点，点落在上，延长交于点，、交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【解答】证明：（1）将绕点逆时针旋转得， ，， ， ， ； （2）将绕点逆时针旋转得， ，，， ，即， ， ， ，即， ，， 为等腰直角三角形， ， 即． 18．已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程两根为，，且满足，求的值． 【解答】解：（1）△， 原方程必有两不等实数根． （2），， ， 即：， 解得：． 19．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． （1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为？ 【解答】解：（1）设矩形苗圃的一边的长为，则， ，； （2）根据题意，得：， 解得：或， 答：当或时，所围矩形苗圃的面积为． 20．（1）如图①，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，．求证：． （2）如图②，在四边形中，与相交于点，，，分别是，的中点，连接，分别交，于点，，判断的形状，请直接写出结论． （3）如图③，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断的形状，请直接写出结论． （4）如图④，四边形中，，分别是，的中点，，，，试求的度数． 【解答】（1）证明：如图1，连接，取的中点，连接、， 、分别是、的中点， 、分别是、的中位线， ，，， ， ， ， ，， ，， ； （2）解：是等腰三角形．理由如下： 如图2，取的中点，连接，， 点、、分别是、、的中点， ，，，， ，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：是直角三角形．理由如下： 如图3，连接，取的中点，连接、， 是的中点， ，， 同理，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形． ， ， ， ， 即是直角三角形； （4）解：连接，取的中点，连接，，如图4， 、分别是、的中点， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ． 21．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）设当商品降价元时，商品获利4250元，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 22．问题引入：如图①，，，，是线段的中点．连结并延长交于点，连结．判断与之间的数量关系，并说明理由． 问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连结、． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由． （2）连结，若，，则的长为 　　． 【解答】解：问题引入： ，理由如下： ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ； 问题延伸： （1），理由如下： 如图，延长交于点， 四边形，为正方形， ，， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为斜边上的中线， ， ； （2）四边形、为正方形， ，，， 设， ， ， ， ， ， 解得， ，， ． 故答案为：． 23．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． （1）证明是菱形； （2）若，连接、，求的度数； （3）若，，，是的中点，求的长． 【解答】解：（1）证明： 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）四边形是平行四边形， ，，， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ，， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ； （3）如图2中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形， ， 四边形为正方形． ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形． ，， ， ． 方法二：，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形， ， 四边形为正方形． ， ， 过作于， 则是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/17 23:11:45；用户：好好搞数学；邮箱：18325864340；学号：13028466 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$