2025年河南省九年级中考数学专题特训解答21－23题特训

2025年河南省中考数学专题特训 解答21－23题特训（二） 21. （9分）（2024·南阳邓州市一模）如果将运动员的身体看作一点， 那么他在跳水过程中运动的轨迹可以看作抛物线的一部分.建立如图所 示的平面直角坐标系，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的 过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）满 足二次函数的关系.运动员甲某次训练中完成一次跳水动作时的水平距 离x与竖直高度y的几组数据如下表： 第21题 水平距离x/m 0 1 竖直高度y/m 10 10 （1） 根据上述数据，求出y关于x的函数解析式. 解：（1） 设y关于x的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c.由题意，得 解得 ∴ y关于x的函数解析式为y＝－5x2＋5x＋10 第21题 （2） 求运动员甲从起跳点到入水点的水平距离OD. 解：（2） 令y＝－5x2＋5x＋10＝0，解得x1＝－1（不符合题意，舍 去），x2＝2，∴ OD＝2m 第21题 （3） 记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为n（单位： m），从达到最高点B开始计时，则他距水面的高度h（单位：m）与时 间t（单位：s）满足h＝－5t2＋n.运动员甲在达到最高点后需要1.4s才 能完成极具难度的207C动作.请通过计算说明，在这次训练中，运动员 甲能否成功完成此动作？ 第21题 解：（3） 由（1）可知，y＝－5x2＋5x＋10＝－5（x－ ）2＋ ， ∴ 抛物线的顶点B的坐标为（ ， ）.∴ 最高点B距水面的高度为 m，即n＝ .∴ h＝－5t2＋ .当t＝1.4时，h＝－5×1.42＋ ＝ 1.45＞0，∴ 运动员甲能成功完成此动作 （9分） 22. （10分）（2024·周口郸城县三模）放风筝是人们非常喜欢的一种传 统游戏活动，至今已有两千多年的历史.数学中有一种四边形，酷似风 筝形状，故名“筝形”.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是 一个“筝形”，已知AC垂直平分BD于点H，AD＝AB，CD＝CB， ∠DAB＝90°.直线AB：y＝－2x＋8 与反比例函数 y＝ 的图象交于点 A，B（3，a），点C在反比例函 数y＝ 的图象上，点H在y轴上. 第22题 （1） 求反比例函数的解析式及点A的坐标； 解：（1） 将点B（3，a）代入y＝－2x＋8，∴ a＝－2×3＋8＝2. ∴ B（3，2）.∵ 点B在反比例函数y＝ 的图象上，∴ k＝3×2＝6.∴ 反比例函数的解析式为y＝ .∵ A为直线AB 与反比例函数y＝ 的图象的交点， ∴ ＝－2x＋8， 解得x1＝1，x2＝3.在y＝ 中，当x＝1时， y＝6，∴ 点A的坐标为（1，6） （3分） 第22题 第22题 （2） 求点H的坐标； 解：（2） 如图，过点A作EF∥x轴，过点D作DE⊥EF于点E，过 点B作BF⊥EF于点F. ∵ ∠DAB＝90°，∴ ∠DAE＋∠BAF＝ 90°.∵ DE⊥EF，BF⊥EF，∴ ∠AED＝∠BFA＝90°.∴ ∠DAE ＋∠ADE＝90°.∴ ∠BAF＝∠ADE. 在△ADE和△BAF中， ∴ △ADE≌△BAF. ∴ AE＝BF，DE＝AF. ∵ EF∥x轴，BF⊥EF，∴ BF＝4，AF＝2. ∴ AE＝4，DE＝2.∵ EF∥x轴，DE⊥EF， ∴ D（－3，4）.∵ AC垂直平分BD，∴ H 是BD的中点.∴ 点H的坐标为（0，3） （6分） 第22题 第22题 （3） 以点A为圆心、AB长为半径作 ，求出图中涂色部分的面积. 解：（3） 设直线AC对应的函数解析式为y＝k1x＋b.将A（1，6）， H（0，3）代入，得解得∴ 直线AC对应的函 数解析式为y＝3x＋3.∵ C为直线AC与 反比例函数y＝ 图象的交点， ∴ 3x＋3＝ ，解得x1＝1，x2＝－2.在y＝ 中，当x＝－2时，y＝－ 3，∴ C（－2，－3）.∴ AC＝ ＝3 . ∵ A（1，6），B（3，2），D（－3，4），H（0，3），∴ 易得BH ＝DH＝ ，AB＝2 .∴ S涂色＝S筝形ABCD－S扇形ABD＝ AC·BH＋ AC·DH－ ＝2× ×3 × － ＝30－5π （10分） 23. （10分）（2024·洛阳三模）综合与实践课上，老师给出定义：对角 线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.同学们以此开展了数学活动. （1） 【操作发现】 第23题 ① 如图①所示为四边形ABCD，AB＝AD，BC＝DC，那么四边形 ABCD “垂美四边形”（填“是”或“不是”）. 解析：（1） ∵ AB＝AD，∴ 点A在BD的垂直平分线上.∵ BC＝DC， ∴ 点C在BD的垂直平分线上.∴ AC垂直平分BD. ∵ AC⊥BD，∴ 四 边形ABCD是“垂美四边形”. 是 第23题 ② 四边形BCGE是“垂美四边形” （3分） 理由：设CE与BG交于点H. ∵ 四边形ACFG和四边形ABDE为正方 形，∴ AB＝AE，AG＝AC，∠EAB＝∠CAG＝90°.∴ ∠CAE＝ 90°＋∠BAC＝∠GAB. 在△ACE和△AGB中， ∴ △ACE≌△AGB. ∴ ∠AEC＝∠ABG. ∵ ∠BAE＝90°，∴ ∠HEB＋∠HBE＝∠HEB＋∠ABE＋∠ABG ＝∠HEB＋∠ABE＋∠AEC＝∠AEB＋∠ABE＝90°.∴ ∠BHE＝90°. ∴ CE⊥BG. ∴ 四边形BCGE是“垂美四边形”. （5分） ② 如图②，∠ACB＝90°，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为 边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CG， BE，那么四边形BCGE是“垂美四边形”吗？请说明理由. （2） 【拓展探究】 如图③，四边形ABCD是“垂美四边形”，则两组对边AB，DC与 BC，AD之间有什么数量关系？请说明理由. 第23题 解：（2） DC2＋AB2＝AD2＋BC2 （6分） 理由：设AC与BD交于点G. ∵ 四边形ABCD是“垂美四边形”， ∴ AC⊥BD. ∴ ∠AGD＝∠CGD＝∠BGC＝∠AGB＝90°.∴ 在 Rt△DCG中，DC2＝GD2＋GC2；在Rt△ADG中，AD2＝GD2＋GA2； 在Rt△ABG中，AB2＝GB2＋GA2；在Rt△BCG中，BC2＝GC2＋ GB2.∵ DC2＋AB2＝GD2＋GC2＋GB2＋GA2，AD2＋BC2＝GD2＋GA2 ＋GC2＋GB2，∴ DC2＋AB2＝AD2＋BC2. （8分） （3） 【迁移应用】 如图④，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.P，Q分别 是射线AB，AC上的动点，同时从点A出发，分别沿AB和AC方向以每 秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t秒， 连接CP，BQ，PQ，CP与BQ交于点O，当以点B，C，P，Q为顶 点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出t的值. 第23题 解：（3） 或 （10分） 【解析】如图，过点P作PG⊥AC于点G，则∠AGP＝∠CGP＝90°.在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝5. ∵ ∠AGP＝∠ACB＝90°，∴ PG∥BC. ∴ △APG∽△ABC. 第23题 第23题 ∴ ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ .∵ AP＝5t，AQ＝21t，∴ AG＝ AP＝ ×5t＝3t，PG＝ AP＝ ×5t＝4t.∴ CQ＝｜AC－AQ｜＝｜3－21t｜，BP＝｜AB－AP｜＝｜5－5t｜，GQ＝AQ－AG＝21t－3t ＝18t.在Rt△PGQ中，PQ2＝PG2＋GQ2＝（4t）2＋（18t）2. ∵ 以点B，C，P，Q为顶点的四边形是“垂美四边形”， ∴ 结合题意可知，只存在BQ⊥CP这一种情况. 由（2）可知，PQ2＋BC2＝BP2＋CQ2， ∴ （4t）2＋（18t）2＋42＝（5－5t）2＋（3－21t）2. 整理，得63t2－88t＋9＝0，解得t1＝ ，t2＝ . 第23题 当t＝ 时，P，Q两点分别在线段AB，AC上；当t ＝ 时，P，Q两点分别在线段AB，AC的延长线上. 这两种情况均符合题意.∴ t的值是 或 . 第23题 第23题 $$2025年河南省中考数学专题特训 解答21－23题特训（一） 21. （9分）（2024·南阳方城县二模）端午节是我国入选世界非物质文 化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了 满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了 解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价贵2元，用1000元购进 甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同. （1） 甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ 解：（1） 设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为 （x＋2）元.由题意，得 ＝ 解得x＝10.经检验，x ＝10是原分式方程的根，且符合题意.∴ x＋2＝12.∴ 每个甲种粽子的 进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元 （2） 该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽 子的个数不少于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子每个的售价分 别为12元、15元，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利 润为W元. ① 求W关于m的函数解析式，并求出m的取值范围. ② 超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 解：（2） ① ∵ 购进甲种粽子m个，∴ 购进乙种粽子（200－m）个. 由题意，得W＝（12－10）m＋（15－12）（200－m）＝2m＋600－3m ＝－m＋600，∴ W关于m的函数解析式为W＝－m＋600. ∵ 甲种粽子的个数不少于乙种粽子个数的2倍，∴ m≥2（200－m）， 解得m≥ .∴ m的取值范围是 ≤m＜200（m为正整数） ② 由①可知，W＝－m＋600.∵ －1＜0，∴ W随m的增大而减小. ∵ m为正整数，∴ 当m＝134时，W有最大值，最大值为466，此时200 －m＝66.∴ 购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时能获得最大利润， 最大利润是466元 22. （10分）（2024·信阳光山县三模）如图①，反比例函数y＝ （m≠0）与一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象交于点A（1，3），B （n，1），一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与y轴相交于点C. 第22题 （1） 求反比例函数和一次函数的解析式； 解：（1） ∵ 点A（1，3），B（n，1）在反比例函数y＝ （m≠0）的图象上，∴ m＝1×3＝n×1.∴ m＝3，n＝3.∴ 反比例函数的解析 式为y＝ ，点B的坐标为（3，1）. （2分）把A（1，3），B（3，1）代入y＝kx＋b，得解得∴ 一次函数的解析式为y＝－x＋4 第22题 第22题 （2） 连接OA，OB，求△AOB的面积； 解：（2） 在y＝－x＋4中，令x＝0，则y＝4，∴ C（0，4）. ∴ S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝ ×4×（3－1）＝4 第22题 （3） 如图②，E是反比例函数图象上点A右侧的一点，连接AE，把线 段AE绕点A按顺时针方向旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反 比例函数的图象上，求点E的坐标. 第22题 解：（3） 如图，过点A作x轴的平行线GD，过点F作FG⊥GD于点G，过点E作ED⊥GD于点D，则∠G＝∠D＝90°.∵ 点E在反比例 函数y＝ 的图象上，∴ 设E（a， ）（a＞1）.∵ A（1，3）， ∴ AD＝a－1，DE＝3－ .∵ 把线段AE绕点A按顺时针方向旋转90°， 点E的对应点为F恰好也落在反比例函数 y＝ 的图象上，∴ ∠EAF＝90°， AE＝AF. ∴ ∠EAD＋∠GAF＝180°－∠EAF＝90°. ∵ ∠D＝90°， 第22题 ∴ ∠EAD＋∠DEA＝90°.∴ ∠GAF＝∠DEA. 在△AGF和△EDA中， ∴ △AGF≌△EDA. （8分）∴ GF＝AD＝a－1，AG＝DE＝3－ .∵ A（1，3），∴ F（ －2，4－a）.∵ 点F在反比例函数 y＝ 的图象上，∴ （ －2）·（4－a）＝3，解得a1＝6，a2＝1（不符合题意，舍去）.当a＝6时， ＝ ， ∴ 点E的坐标为（6， ） （10分） 第22题 第22题 23. （10分）（2024·许昌禹州市二模）在数学课上，王老师组织同 学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动.王老师对正方形 纸片ABCD进行如下操作：如图①，将正方形纸片沿过点D的一条直 线翻折，使点A落在点F处，折痕为DE，请同学们在图①的基础上进 行探究. 第23题 （1） 【操作发现】 如图②，小明延长DF交射线AB于点G，连接CF，过点D作CF的垂线，交AB的延长线于点M，则线段DG与MG的数量关系是 ⁠ ⁠. DG＝MG 解析：（1）∵ 将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F 处，∴ DF＝DA. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB∥CD，DA＝ DC. ∴ DC＝DF. ∵ DM⊥CF，∴ ∠CDM＝∠FDM. ∵ CD∥AM，∴ ∠CDM＝∠M. ∴ ∠FDM＝∠M. ∴ DG＝MG. 第23题 （2） 【深入探究】 如图③，小华在图②的基础上延长CF，交DA的延长线于点H，在图③ 中是否存在一条线段与AH相等？若存在，请找出这条线段并给出证 明；若不存在，请说明理由. 第23题 解：（2） 存在，BM＝AH （3分） 证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝CD＝DA，∠CDA＝ ∠DAB＝90°.∴ ∠CDM＋∠ADM＝90°.∵ DM⊥CF，∴ ∠CDM ＋∠DCH＝90°.∴ ∠DCH＝∠ADM. 在△CDH和△DAM中， ∴ △CDH≌△DAM. （5分）∴ DH＝AM. ∵ AB ＝AD，∴ DH－AD＝AM－AB，即AH＝BM （6分） （3） 【拓展应用】 在（2）的条件下，若正方形纸片ABCD的边长为4，当BG＝ AB时， 请直接写出线段AH的长. 第23题 解：（3） AH的长为4或 ＋1 （10分） 【解析】 由题意，分两种情况讨论：① 当点G在线段AB上时，如图①. ∵ BG＝ AB，AB＝4，∴ BG＝1.∴ AG＝AB－BG＝3.在Rt△ADG中，DG＝ ＝ ＝5.由（1）可知，MG＝DG＝5，∴ BM＝MG－BG＝4.由（2）可知，AH＝BM＝4.② 当点G在AB的延长线上时，如图②. 第23题 ∵ BG＝ AB＝1，∴ AG＝AB＋BG＝5.在Rt△ADG中，DG＝ ＝ ＝ ，∴ MG＝DG＝ .∴ BM＝MG＋BG＝ ＋1. ∴ AH＝BM＝ ＋1.综上所述，线段AH的长为4或 ＋1. 第23题 $$