2025年河南省中考数学专题特训选填1－15题特训课件

2025年河南省中考数学专题特训 选填1－15题特训（二） 一、 选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只 有一个是正确的） 1. （2024·驻马店西平县三模）2024年春节假期（2月10日至2月17日）期间，国铁集团郑州局累计发送旅客433.4万人次.2月17日发送旅客78万人次，创 春运以来单日客发新高.数据“433.4万”用科学记数法表示为（　D　） D A. 43.34×106 B. 4.334×105 C. 4.334×107 D. 4.334×106 解析： 433.4万＝4334000＝4.334×106. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2024·许昌一模）如图所示为由3个相同的小正方体搭成的几何体， 它的主视图是（　C　） 第2题 C A B C D 解析：从正面看，底层有两个小正方形，上层的左边有一个小正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （2024·南阳淅川县二模）下列计算正确的是（　C　） A. 3a2＋2a2＝5a4 B. 4a2×5a3＝20a6 C. （－ab3）2＝a2b6 D. （－ab2）÷（－a2b）＝ab 解析： 3a2＋2a2＝5a2，故选项A计算错误，不符合题意；4a2×5a3＝ 20a5，故选项B计算错误，不符合题意； ＝a2b6，故选项C计 算正确，符合题意；（－ab2）÷（－a2b）＝ ，故选项D计算错误， 不符合题意. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2024·濮阳一模）通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚 在主光轴上一点.如图，箭头所画的是光线的方向，F是凸透镜的焦 点，BD∥CE∥OF. 若∠BDF＝150°，∠CEF＝161°，则∠DFE的 度数是（　B　） A. 10° B. 11° C. 12° D. 13° 第4题 B 解析： ∵ BD∥CE∥OF，∴ ∠DFO＝180°－∠BDF＝180°－150° ＝30°，∠EFO＝180°－∠CEF＝180°－161°＝19°. ∴ ∠DFE＝∠DFO－∠EFO＝30°－19°＝11°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5. （2024·周口西华县三模）信息技术的存储设备常用B，KB，MB， GB等作为存储量的单位.例如，我们常说某手机的容量是128GB，某个 文件的大小是120MB等，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝ 210B，对于一个存储量为32GB的优盘，其容量有（　A　） A. 235B B. 232B C. 230B D. 228B 解析： 32GB＝32×210×210×210B＝25×210×210×210B＝25＋10＋10＋10B＝ 235B. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2024·南阳方城县二模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6， 将线段AB沿BC方向平移a个单位长度得到线段EF. 若四边形ECDF为 菱形，则a的值为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第6题 B 解析： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，CE∥FD， CD＝AB＝4.∵ 将线段AB沿BC方向平移得到线段EF，∴ AB∥EF. ∴ CD∥EF. ∴ 四边形ECDF为平行四边形.当CD＝CE＝4时， ▱ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. （2024·河南二模）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我 们称这个数为“理想数”，如：因为16＝52－32，所以称16为“理想 数”.下列数中，属于“理想数”的是（　A　） A. 1000 B. 1001 C. 1002 D. 1003 解析：设两个连续奇数分别为2n－1，2n＋1（n为整数），则有（2n＋1）2－（2n－1）2＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1＝8n，∴ “理想数” 能被8整除.∵ 1000÷8＝125，1001÷8＝125……1，1002÷8＝ 125……2，1003÷8＝125……3，∴ 1000是“理想数”. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. （2024·焦作一模）如图所示为某商家2023年1月至10月“人工智能机 器人”的月销售量，下列说法错误的是（　C　） A. 这10个月的月销售量的众数为28个 B. 这10个月中7月的月销售量最高 C. 前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差 D. 4月至7月的月销售量逐月增加 第8题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：将样本数据按从小到大的顺序排列为25，26，27，28，28，30， 33，36，37，40，∴ 这组数据的众数为28.故选项A说法正确，不符合 题意.7月的月销售量为40个，月销售量最高，故选项B说法正确，不符 合题意.由题图可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售 量的波动，∴ 前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方 差.故选项C说法错误，符合题意.由题图可知，4月至7月的月销售量逐 月增加，故选项D说法正确，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2024·南阳二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边 与坐标轴重合，OA＝2，OC＝1.将矩形ABCO绕点O按逆时针方向旋 转，每次旋转90°，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（　C　） A. （－2，－1） B. （－1，2） C. （2，1） D. （1，－2） 第9题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ OA＝2，OC＝1，∴ B（2，1）.如图，将矩形 ABCO绕点O按逆时针方向旋转，由图可知，B1（－ 1，2），B2（－2，－1），B3（1，－2），B4（2， 1）……∴ 每旋转4次则回到原位置.∵ 2024÷4＝506， ∴ 第2024次旋转结束时，完成了506个周期，又回到了 原来的位置，即点B的坐标为（2，1）. 第9题 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. （2024·河南二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB 于点O，以点O为圆心、OB的长为半径的圆与AC相切于点E，连接BE交OC 于点F. 若∠A＝38°，有下列结论：① CE＝CF；② ∠CEF＝74°； ③ ∠EBC＝26°；④ CE＝ BE. 其中，正确的个数是（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第10题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：连接OE. ∵ AC与☉O相切，∴ OE⊥AC. ∵ ∠ACB＝90°， ∴ BC⊥AC. ∴ OE∥BC. ∴ ∠OEB＝∠CBE. ∵ OE＝OB， ∴ ∠OEB＝∠OBE. ∴ ∠CBE＝∠OBE. ∵ OC⊥AB，∠ACB＝ 90°，∴ ∠ACB＝∠AOC＝90°.∴ ∠BCO＋∠ACO＝∠A＋ ∠ACO＝90°.∴ ∠BCO＝∠A. ∵ ∠CEF＝∠A＋∠ABE，∠CFE ＝∠CBF＋∠BCF，∴ ∠CEF＝∠CFE. ∴ CE＝CF. 故①正确. ∵ ∠A＝38°，∴ ∠ABC＝90°－∠A＝52°.∴ ∠EBC＝ ∠ABC ＝26°.故③正确.∴ ∠CEF＝90°－∠EBC＝64°.故②错误.当 ∠EBC＝30°，∠ACB＝90°时，CE＝ BE，但∠EBC＝26°， ∴ CE≠ BE. 故④错误.∴ 正确的结论有2个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题3分，共15分） 11. （2024·南阳桐柏县二模）我国古代有“米谷粒分”题，翻译如下： 粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数 得300粒内有25粒谷.这批米内夹谷约 石. 解析： 1500× ＝125（石），∴ 这批米内夹谷约125石. 125 12. （2024·安阳一模）不等式组的解集是 ⁠. 解析：解不等式5－2x≥1，得x≤2；解不等式x－1＜0，得x＜1. ∴ 不等式组的解集为x＜1. x＜1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2024·信阳浉河区三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，且AD＝13，AC＝24，DE⊥AB于点E，则DE＝ ⁠. ​ 第13题 解析： ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝AD＝13，AC⊥BD， AO＝ AC＝12，DO＝BO. 在Rt△AOB中，BO ＝ ＝ ＝5，∴ BD＝2BO＝10. ∵ DE⊥AB，∴ S菱形ABCD＝AB·DE＝ AC·BD， 即13DE＝ ×24×10，解得DE＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2024·南阳淅川县二模）如图，BD是☉O的直径，A是☉O外一 点，点C在☉O上，CA与☉O相切于点C，∠CAB＝90°.若BD＝ 6，BA＝4，则BC的长为 ⁠. 第14题 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：如图，连接OC，CD. ∵ CA与☉O相切，∴OC⊥CA. ∴ ∠OCA＝90°.∵ ∠CAB＝90°，∴ ∠OCA＋∠CAB＝180°. ∴ OC∥BA. ∴ ∠OCB＝∠ABC. ∵ OC＝OB，∴ ∠OCB＝∠OBC. ∴ ∠ABC＝∠OBC. ∵ BD是☉O的直径，∴ ∠BCD＝90°. ∴ ∠BCD＝∠A. ∴ △BAC∽△BCD. ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得BC＝2 （负值舍去）. 第14题 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2024·南阳邓州市一模）如图，矩形ABCD的边AD的长为2，将 △ADC沿对角线AC翻折得到△AD'C，CD'与AB交于点E，再将 △BCE沿CE翻折得到△B'CE. 若两次翻折后，点B'恰好落在△ADC的 边上，则AB的长为 ⁠. 第15题 2 或2 ＋2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ BC＝AD＝2，∠BCD＝∠B＝∠D ＝90°.∵ 将△ADC沿对角线AC翻折得到△AD'C，∴ ∠D'＝∠D＝90°，AD'＝AD＝2.∴ ∠D'＝∠B，AD'＝CB. ∵ 将△BCE沿CE翻折得到△B'CE，∴ ∠CB'E＝∠B＝90°，CB'＝CB＝2.在△AD'E 和△CBE中， ∴ △AD'E≌△CBE. ∴ EA＝EC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ① 当点B'恰好落在AC上时，如图①.∵ ∠CB'E＝90°，∴ EB'⊥AC. ∴ B'为AC的中点.∴ AC＝2CB'＝4.在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝2 .② 当点B'恰好落在DC上时，如图②.∵ ∠CB'E＝∠B＝∠BCD＝90°，∴ 四边形B'EBC为矩形.∴ BE＝CB'＝2.在Rt△CBE中，EC＝ ＝ ＝2 ，∴ EA＝EC＝2 .∴ AB＝EA＋BE＝2 ＋2. 综上所述，AB的长为2 或2 ＋2. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$2025年河南省中考数学专题特训 选填1－15题特训（五） 一、 选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只 有一个是正确的） 1. （2024·三门峡二模）4的相反数是（　C　） A. － B. C. －4 D. 4 解析：4的相反数是－4. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2024·焦作一模）如图所示为焦作市博物馆的四件特色藏品，其中 主视图与左视图相同的是（　A　） A B C D 解析：由各选项可知，A选项图形的主视图与左视图相同. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （2024·洛阳三模）5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅.已知硅原子的直径约为0.117nm（1nm＝10－9m），“0.117nm”用科学记数法表示为（　C　） A. 0.117×10－9m B. 117×10－6m C. 1.17×10－10m D. 1.17×10－8m 解析： 0.117nm＝1.17×10－10m. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2024·许昌一模）如图，某人沿路线A→B→C→D行走， AB∥CD. 如果∠1＝128°，那么∠2的度数为（　C　） A. 52° B. 118° C. 128° D. 138° 第4题 解析： ∵ AB∥CD，∴ ∠2＝∠1＝128°（内错角相等）. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （2024·郑州三模）已知关于x的方程（x－2）（x－4）＝m有实数 根，则m的值可能是（　C　） A. －3 B. －2 C. －1 D. － 解析：关于x的方程（x－2）（x－4）＝m可化为x2－6x＋8－m＝ 0.∵ 方程有实数根，∴ Δ≥0，即Δ＝（－6）2－4（8－m）≥0，解得 m≥－1.∵ －3＜－2＜－ ＜－1，∴ m的值可能是－1. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2024·驻马店新蔡县二模）如图①，C是半圆上一个动点，点C从 点A开始向终点B运动的整个过程中， 的长l与时间t（单位：秒） 的函数关系如图②所示.当点C运动3秒时，扇形OAC的面积为（　B　） A. B. C. D. B 第6题 解析：当点C运动到点B处时，t＝12，l＝6π， 即 ＝6π，∴ ×2π·OA＝6π.∴ OA＝6. ∵ 点C在 上的运动的时间为12秒，∴ 当t＝3时， ∠AOC＝ ∠AOB＝45°.∴ 此时S扇形OAC＝ ＝ π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. （2024·南阳桐柏县二模）如图，点C的坐标为（0，4），先将菱形 OACB绕其对角线的交点按顺时针方向旋转90°，再向右平移3个单位长 度，则两次变换后点C的对应点C'的坐标为（　C　） A. （2，4） B. （2，5） C. （5，2） D. （6，2） 第7题 C 解析： ∵ 点C的坐标为（0，4）， ∴ 菱形的中心的坐标为（0，2）. ∴ 将该菱形绕其对角线的交点按顺时针方向旋转90°后点C的坐标变为（2，2），再向右平移3个单位长度后点C的对应点C'的坐标为（5，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. （2024·濮阳一模）如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为 9m，在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角α为30°，旗杆底部B的 俯角β为45°，则旗杆AB的高度为（　D　） A. 3 m B. 3 m C. （3 ＋9）m D. （3 ＋9）m 第8题 D 解析：设平面内经过点C的水平线与AB交于点E. 由题意，得 CE⊥AB，CE＝BD＝9m.在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，∴ AE＝ CE·tan30°＝9× ＝3 （m）.在Rt△BCE中，∠BCE＝45°， ∴ BE＝CE·tan45°＝9×1＝9（m）.∴ AB＝AE＋BE＝（3 ＋9）m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2024·三门峡二模）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，顶点B，C在第一象限内，对角线AC∥x轴，交y轴于点 D. 若矩形OABC的面积是6， cos ∠OAC＝ ，则k的值为（　D　） A. － B. －1 C. － D. － 第9题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ AC∥x轴，∴ ∠ADO＝90°.在Rt△AOD中， cos ∠OAD＝ ＝ .设AD＝2a，AO＝3a.在Rt△AOD中，OD＝ ＝ ＝ a.在矩形OABC中，∠AOC＝90°， cos ∠OAC＝ ＝ ，∴ AC＝ a.在Rt△OAC中，OC＝ ＝ ＝ a.∵ 矩形OABC的面积为6，∴ 3a× a ＝6.∴ a2＝ .∵ ｜k｜＝AD·OD＝2a× a＝2 a2＝ ，k＜0， ∴ k＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. （2024·安阳滑县三模）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分 图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝－1.有下列 说法：① 3a＋c＞0；② 若点（－4，y1），（3，y2）均在该二次函数 的图象上，则y1＞y2；③ 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2有两 个相等的实数根；④ 满足ax2＋bx＋c＞2的x的取值范围是－2＜x＜0. 其中，正确的是（　C　） A. ①②④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 第10题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ① ∵ 二次函数的图象开口向下，∴ a＜0.∵ 二次函数的图象的对 称轴为直线x＝－ ＝－1，∴ b＝2a.由图象可知，当x＝1时，y＜ 0，即a＋b＋c＜0.∵ b＝2a，∴ 3a＋c＜0.故①错误.② ∵ 二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴ 当x＜－1时，y随x的增 大而增大；当x＞－1时，y随x的增大而减小.∵ ｜－1－（－4）｜＝ 3，｜－1－3｜＝4，∴ 点（－4，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2） 到对称轴的距离，∴ y1＞y2.故②正确.③ 由图象，得二次函数y＝ax2 ＋bx＋c的图象与直线y＝－2有两个交点，∴ 关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝－2有两个不相等的实数根.故③错误. ④ ∵ 二次函数的图象经过点（0，2），对称轴为直线x＝－1，∴ 二次 函数的图象必然经过点（－2，2）.∴ 当ax2＋bx＋c＞2时，x的取值 范围是－2＜x＜0.故④正确.综上所述，②④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题3分，共15分） 11. （2024·濮阳一模）某种细菌每20分钟由1个分裂成2个，经过1小 时，这种细菌由1个能分裂成 个. 解析：由题意，得60÷20＝3（次），则经过1小时，这种细菌分裂3次， 由1个分裂成1×23＝8（个）. 8 12. （2024·南阳邓州市一模）在平面直角坐标系中，若点M（a－2，a ＋3）在第二象限，则a的取值范围是 ⁠. 解析： ∵ 点M（a－2，a＋3）在第二象限，∴ 解得－3 ＜a＜2. －3＜a＜2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2024·信阳新县三模）如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形， AD∥BC，☉O的直径AE与BC交于点F，连接BD. 若AE∥CD， sin ∠DBC＝ ，EF＝2，则AE的长为 ⁠. 第13题 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：如图，连接CE，连接DE交BC于点G. ∵ AD∥BC，∴ ∠ADB＝∠DBC. ∴ 易得 ＝ . ∴ ∠DEC＝∠ADB，AB＝CD. ∵ AE∥CD，∴ ∠EDC＝∠DEA. ∴ 易得 ＝ .∴ ∠EDC＝∠DBA. 在△DEC和△BDA中， ∴ △DEC≌△BDA. ∴ DE＝DB. ∵ AE是直径，∴ ∠ADE＝90°.∵ AD∥BC，∴ ∠ADE＝∠FGE＝90°.∵ sin ∠DBC＝ ，∴ ＝ .∴ ＝ .∴ ＝ .∵ AD∥BC，∴ ＝ ＝ . ∵ EF＝2，∴ AE＝6. 第13题 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2024·新乡二模）如图，A，B是反比例函数y＝ （x＜0）图象 上的两点，A，B两点的横坐标分别是－4、－1，直线AB与y轴交于点 C，连接OA，OB. 若△AOB的面积为5，则k＝ ⁠. － 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥x轴，垂 足为F，作BD⊥y轴，垂足为D. ∵ A，B是反比例函数y＝ （k＜0， x＜0）图象上的两点，A，B两点的横坐标分别是－4、－1，∴ 将x＝ －4代入y＝ ，得y＝－ ，即点A的坐标为 ；将x＝－1代入 y＝ ，得y＝－k，即点B的坐标为（－1，－k）. 易得四边形BDOF是矩形，四边形AEFB是直角梯形. ∵ S矩形BDOF＋S梯形AEFB＝S△AOB＋S△AEO＋S△ODB， ∴ （－k）×1＋ × ×3＝5＋ ×4× ＋ ×1×（－k），解得k＝－ . 第14题 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 15. （2024·信阳淮滨县三模）如图，在长方形ABCD中，AD＝5，AB ＝8，E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠.当点D的对应 点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为 ⁠. 第15题 或10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：设AB的垂直平分线分别交CD，AB于点M，N，则∠ANM＝∠ANF＝90°，AN＝ AB＝4.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠D＝∠DAB＝90°.又∵ ∠ANM＝90°，∴ 四边形ADMN是矩形.∴ DM＝AN＝4，MN＝AD＝5，∠DMN＝90°.分两种情况：① 如图①，当点F在矩形内部时，由折叠，得AF＝AD ＝5，DE＝FE. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在Rt△AFN中，FN＝ ＝ ＝3， ∴ FM＝MN－FN＝2.设DE＝y，则EM＝4－y， FE＝y.在Rt△EMF中，FE2＝EM2＋FM2，∴ y2＝ （4－y）2＋22，解得y＝ ，即DE的长为 .② 如图②， 当点F在矩形外部时，同理可得FN＝3，∴ FM＝MN ＋FN＝8.设DE＝z，则EM＝z－4，FE＝z. ∵ ∠DMN＝90°，∴ ∠EMF＝180°－∠DMN＝90°. 在Rt△EMF中，FE2＝EM2＋FM2，∴ z2＝（z－4）2 ＋82，解得z＝10，即DE的长为10.综上所述，当点F 刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为 或10. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$2025年河南省中考数学专题特训 选填1－15题特训（七） 一、 选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只 有一个是正确的） 1. （2024·南阳桐柏县二模）下列四个实数中，最小的是（　A　） A. －3 B. C. 0 D. 1 解析： ∵ －3＜0＜1＜ ，∴ 最小的是－3. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2024·濮阳一模）如图所示为索玛立方体，是由丹麦数学家皮亚 特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元拼成的一个3×3×3的立 方体，有400多种拼法.下列四个积木单元中，主视图面积最大的是 （　A　） 第2题 A A B C D 解析：选项B，C，D中主视图都由3个小正方形组成，选项A中主视图由4 个小正方形组成，∴ 选项A中主视图面积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （2024·南阳淅川县二模）生物学家发现了某种花粉的直径约为 0.0000078米，数据“0.0000078”用科学记数法表示为（　A　） A. 7.8×10－6 B. 78×10－6 C. 7.8×10－5 D. 78×10－5 解析： 0.0000078＝7.8×10－6. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2024·洛阳三模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分 ∠BOD，OF⊥OE. 若∠AOC＝40°，则∠DOF的度数是（　C　） A. 20° B. 40° C. 70° D. 80° 第4题 C 解析： ∵ 直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°， ∴ ∠BOD＝∠AOC＝40°.∵ OE平分∠BOD， ∴ ∠DOE＝ ∠BOD＝20°.∵ OF⊥OE， ∴ ∠EOF＝90°.∴ ∠DOF＝∠EOF－∠DOE＝90°－20°＝70°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （2024·南阳淅川县二模）若抛物线y＝x2＋4x＋c与x轴没有交点， 则c的值可以是（　D　） A. －4 B. 0 C. 4 D. 8 解析： ∵ 抛物线y＝x2＋4x＋c与x轴没有交点，∴ 方程x2＋4x＋c＝0 无实数根.∴ Δ＝16－4c＜0，解得c＞4.∴ 当c＝8时，抛物线与x轴没 有交点. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2024·新乡二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连接 BD，以点B为圆心、适当的长为半径画弧，分别交BD，BC于M，N 两点；再分别以点M，N为圆心、大于 MN的长为半径画弧，两弧交 于点P，作射线BP，交CD于点F，则DF的长为（　C　） A. 3 B. 3 C. 5 D. 4 第6题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：过点F作FH⊥BD于点H. ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ CD＝AB ＝8，∠C＝90°.在Rt△BCD中，BD＝ ＝ ＝10. 由作法，得BF平分∠CBD，又∵ FC⊥BC，FH⊥BD，∴ FH＝FC ＝CD－DF＝8－DF. 在Rt△BCF和Rt△BHF中， ∴ Rt△BCF≌Rt△BHF. ∴ BC＝BH＝6.∴ DH＝ BD－BH＝4.在Rt△DFH中，DH2＋FH2＝DF2，∴ 42＋（8－DF）2 ＝DF2，解得DF＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. （2024·信阳潢川县三模）如图，电路AB由图示的开关控制，闭合 K1，K2，K3，K4，K5五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路的 概率是（　C　） A. B. C. D. 第7题 C 解析：列表如下： K1 K2 K3 K4 K5 K1 －－ （K2，K1） （K3，K1） （K4，K1） （K5，K1） K2 （K1，K2） －－ （K3，K2） （K4，K2） （K5，K2） K3 （K1，K3） （K2，K3） －－ （K4，K3） （K5，K3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 K1 K2 K3 K4 K5 K4 （K1，K4） （K2，K4） （K3，K4） －－ （K5，K4） K5 （K1，K5） （K2，K5） （K3，K5） （K4，K5） －－ 由表可知，共有20种等可能的结果，其中使电路形成通路的结果有12 种，∴ P（使电路形成通路）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. （2024·洛阳三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点 O，E为OD的中点，AE＝5，DE＝3，则菱形ABCD的周长为（　B　） A. 2 B. 8 C. 4 D. 24 第8题 B 解析： ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD， AB＝BC＝CD＝AD. ∵ E为OD的中点，∴ OE＝DE＝3， OD＝2DE＝6.∵ AE＝5，∴ 在Rt△AOE中，OA＝ ＝ ＝4.在Rt△AOD中，AD＝ ＝ ＝2 ，∴ 菱形ABCD的周长＝4AD＝4×2 ＝8 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2024·信阳光山县三模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，AC和 BE都是扇形OAB所在圆的切线，A，B为切点，OC交BE于点E，交 于点D，连接AD，AD＝CD. 若OA＝3，则CE的长为（　C　） A. B. 6－3 C. 6－2 D. 第9题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ OA＝OD，∴ ∠OAD＝∠ODA. ∵ CD＝AD，∴ ∠C＝ ∠CAD. ∴ ∠OAD＝∠ODA＝∠C＋∠CAD＝2∠CAD. ∵ AC是扇 形OAB所在圆的切线，∴ ∠OAC＝90°.∴ ∠OAD＋∠CAD＝ 90°，即3∠CAD＝90°.∴ ∠CAD＝30°＝∠C. ∵ ∠OAC＋ ∠AOB＝90°＋90°＝180°，∴ AC∥BO. ∴ ∠BOE＝∠C＝30°. 在Rt△AOC中，OA＝3，∠C＝30°，∴ OC＝2OA＝6.∵ BE是扇形 OAB所在圆的切线，∴ ∠OBE＝90°.在Rt△BOE中，OB＝OA＝ 3，∠BOE＝30°，∴ OE＝ ＝2 .∴ CE＝OC－OE＝6－ 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. （2024·南阳淅川县二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的 等边三角形AOP在第二象限，OA与x轴重合，先将△AOP绕点O按顺 时针方向旋转60°，得到△A1OP1，再作△A1OP1关于原点O的中心对 称图形，得到△A2OP2，再将△A2OP2绕点O按顺时针方向旋转60°， 得到△A3OP3，再作△A3OP3关于原点O的中心对称图形，得到 △A4OP4……以此类推，点P2023的坐标是（　A　） A. （1， ） B. （－1，－ ） C. （2，0） D. （－2，0） 第10题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ 边长为2的等边三角形AOP在第二象限，∴ 易得P（－1， ）.∵ 将△AOP绕点O按顺时针方向旋转60°，得到△A1OP1， ∴ 易得点P1与点P关于y轴对称.∴ P1（1， ）.再作△A1OP1关于原 点O的中心对称图形，得到△A2OP2，∴ 点P2与点P1关于原点对称. ∴ P2（－1，－ ）.再将△A2OP2绕点O按顺时针方向旋转60°，得到 △A3OP3，易得此时点P3落在x轴的负半轴上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ P3（－2，0）.再作△A3OP3关于原点O的中心对称图形，得到△A4OP4，此时点P4落在x轴的正半轴上，∴ P4（2，0）……以此类推，P5（1，－ ），P6（－1， ），∴ 点P6与点P重合.∴ 点Pn（n为 正整数）的坐标以（1， ），（－1，－ ），（－2，0），（2，0），（1，－ ），（－1， ）为规律循环.∵ 2023÷6＝337……1， ∴ 点P2023与点P1的坐标相同，即点P2023的坐标为（1， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题3分，共15分） 11. （2024·南阳新野县一模）若代数式 有意义，则x的取值范围 是 ⁠. 解析： ∵ 代数式 有意义，∴ x－2≥0.∴ x≥2. x≥2 12. （2024·商丘夏邑县二模）若关于x的不等式组的 解集为－1＜x＜4，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：解不等式组得 ∵ 它的解集为－1＜x＜4，∴ a≤－1. a≤－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2024·信阳息县三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4， E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，连接AF，CE，则AF＋ CE的最小值是 ⁠. 第13题 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：延长BC到点G，使CG＝EF，连接FG，AG. ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠B＝90°，AD＝BC＝4，AB∥CD. 又∵ EF∥BC， ∴ 四边形BCFE是平行四边形.∴ EF＝BC＝4.∵ EF∥CG，EF＝ CG，∴ 四边形EFGC是平行四边形.∴ CG＝EF＝4，CE＝FG. ∴ AF＋CE＝AF＋FG. ∴ 当点A，F，G共线时，AF＋FG的值最 小，即AF＋CE的值最小，最小值为AG的长.在Rt△ABG中，AB＝ 6，BG＝BC＋CG＝8，∴ AG＝ ＝ ＝10.∴ AF ＋CE的最小值为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2024·驻马店一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC⊥AB，以点O为圆心、分别以OA，OC长为半径画弧交对角线D于点E， F. 若AB＝ ，AC＝2，则图中涂色部分的面积为  ⁠. 第14题 － 解析： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD＝ ，AO＝CO ＝ AC＝1，AB∥CD. ∴ ∠ACD＝∠BAO＝90°.在Rt△ABO中， tan∠AOB＝ ＝ ，∴ ∠AOB＝60°＝∠FOC. ∴ 图中涂色部分 的面积＝2（S△ABO－S扇形OAE）＝2×（ × ×1－ ）＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2024·信阳固始县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝10，BC＝20，CD是△ABC的中线，E是边BC上一动点，将 △BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当△DFG 是直角三角形时，CE的长为 ⁠. 第15题 5或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝20，∴ AB＝ ＝ ＝10 .∵ CD是边AB上的中线，∴ BD＝CD＝ AB＝ ×10 ＝5 .∵ △DFG是直角三角形，未确定哪个角为直角，∴ 分 情况讨论.① 如图①，当∠GDF＝90°时，过点D作DH⊥BC于点 H，DI⊥FG于点I，∴ ∠DIE＝∠DHE＝∠BHD＝∠FID＝90°. 由折叠可知，∠B＝∠F，DB＝DF. 在△BHD和△FID中， 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ △BHD≌△FID. ∴ DH＝DI. ∵ BD＝CD， DH⊥BC，∴ ∠BDH＝∠CDH. ∵ ∠B＋∠BDH＝∠DHE＝90°， ∠B＝∠F，∴ ∠F＋∠CDH＝90°.∵ ∠F＋∠FDI＝∠DIE＝ 90°，∠FDI＋∠GDI＝∠GDF＝90°，∴ ∠F＝∠GDI. ∴ ∠GDI ＋∠CDH＝90°.∴ ∠IDH＝90°.∵ ∠DIE＝∠IDH＝∠DHE＝ 90°，DH＝DI，∴ 四边形DIEH是正方形.∴ DH＝EH. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵ DC＝DB，DH⊥BC，∴ H是BC的中点.∴ CH＝ BC＝10. ∵ D是AB的中点，∴ DH是△ABC的中位线.∴ DH＝ AC＝5. ∴ EH＝DH＝5.∴ CE＝CH－EH＝10－5＝5.② 如图②，当∠DGF ＝90°时，过点D作DK⊥BC于点K，∴ ∠DKB＝∠DGF＝90°.由折叠可知，DB＝DF，∠B＝∠F. 在△DGF和△DKB中， 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ △DGF≌△DKB. ∴ DG＝DK. ∵ DC＝DB， DK⊥BC，∴ K是BC的中点.∴ CK＝ BC＝10.∵ D是AB的中点， ∴ DK是△ABC的中位线.∴ DK＝ AC＝5＝DG. ∴ CG＝CD－DG＝ 5 －5.在Rt△DKC中， cos ∠DCK＝ ＝ .∵ ∠CGE＝∠DGF ＝90°，∴ 在Rt△CGE中，CE＝ ＝ .综上所述，CE的 长为5或 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$2025年河南省中考数学专题特训 选填1－15题特训（三） 一、 选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只 有一个是正确的） 1. （2024·驻马店一模）芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种 薄膜层，如金属、绝缘体和半导体.单位“埃米”被用来描述薄膜的厚 度，符号为“A．”.已知1A．＝0.0000000001m，即纳米的十分之一.若将 15A．用科学记数法表示为1.5×10nm，则n的值为（　D　） A. 8 B. －8 C. 9 D. －9 解析：由题意，得1A．＝10－10m，∴ 15A．＝1.5×10－9m，即n＝－9. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2024·南阳淅川县二模）下列常见的几何体中，主视图和 左视图不同的是（　A　） A B C D 解析：正三棱柱的主视图是三角形，左视图是矩形，故选项A符合题意； 圆柱的主视图与左视图都是矩形，故选项B不符合题意；圆锥的主视图 与左视图都是等腰三角形，故选项C不符合题意；正方体的主视图和左 视图都是正方形，故选项D不符合题意. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （2024·许昌一模）正比例函数y＝2x的大致图象是（　B　） A B C D 解析：正比例函数y＝2x的图象是一条经过原点的直线，又∵ 2＞0， ∴ 它经过第一、三象限. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2024·驻马店一模）下列等式中，成立的是（　B　） A. （x＋y）2＝x2＋y2 B. （－2m2）3＝－8m6 C. （4m＋n）（n－4m）＝16m2－n2 D. x2－x－2＝（x－1）（x＋2） 解析： （x＋y）2＝x2＋2xy＋y2，故选项A等式不成立，不符合题意； （－2m2）3＝－8m6，故选项B等式成立，符合题意；（4m＋n）（n －4m）＝n2－16m2，故选项C等式不成立，不符合题意；x2－x－2＝ （x＋1）（x－2），故选项D等式不成立，不符合题意. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （2024·周口郸城县三模）已知关于x的一元二次方程x2－mx＋n＝0，其 中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 第5题 A 解析：观察数轴可知，m＞0，n＜0，∴ m2＞0，－4n＞0.在x2－mx＋ n＝0中，a＝1，b＝－m，c＝n，Δ＝b2－4ac＝（－m）2－ 4×1×n＝m2－4n＞0，∴ 方程有两个不相等的实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2024·濮阳一模）二十四节气是中华民族文明的智慧结晶，是专属于中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.如图，分别 有“立春”“立夏”“立秋”“立冬”四张节气图片，小明与小强分别选 取四张节气图片中的一张，两人选取同一张图片的概率是（　C　） A. B. C. D. 第6题 C 解析：画树状图如图所示.由树状图可 知，共有16种等可能的结果，其中两 人选取同一张图片的结果有4种，∴ 两人选取同一张图片的概率是 ＝ . 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7. （2024·安阳一模）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，a与c 相交于点O，OP⊥a于点O，∠1＝50°，则∠2的度数为（　C　） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 第7题 解析：如图，∵ a∥b，∴ ∠3＝∠1＝50°.∵ OP⊥a， ∴ ∠2＋∠3＝90°.∴ ∠2＝90°－∠3＝40°. 第7题 C 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. （2024·驻马店西平县三模）某数学兴趣小组借助数学绘图软件探究 函数y＝ 的图象.现输入一组a，b的值，得到的函数图象如图 所示.借助函数学习的经验，可以推断输入的a，b的值满足（　D　） A. a＜0，b＞0 B. a＞0，b＜0 C. a＞0，b＞0 D. a＜0，b＜0 第8题 D 解析：由图象，得当x＞0时，y＜0. ∵ （x－b）2＞0，∴ a＜0.由函数的解析式，得x≠b，∴ 结合图象可知，b＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2024·洛阳三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形ABCD是 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形 ABCD的中心与原点O重合，AB∥y轴，正方形ABCD的面积为5，正 方形EFGH的面积为1，将△CDG绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转 90°，则第2024次旋转结束时，点G的坐标为（　D　） A. B. C. D. 第9题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ 360°÷90°＝4，∴ 每旋转4次为一个周期.∵ 2024÷4＝506， ∴ 第2024次旋转结束时，点G回到起点.过点G作GM⊥CD于点M. ∵ 正方形ABCD的面积为5，正方形EFGH的面积为1，∴ CD＝AD＝ ，GH＝1.由题意，设CG＝DH＝a，则DG＝DH＋GH＝a＋1. 在Rt△CDG中，CG2＋DG2＝CD2，∴ a2＋（a＋1）2＝（ ）2，解 得a1＝1，a2＝－2（不符合题意，舍去）.∴ CG＝1，DG＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵ S△CDG＝ CD·GM＝ CG·DG，∴ × GM＝ ×1×2， 解得GM＝ .在Rt△DGM中，DM＝ ＝ . ∵ 正方形ABCD的中心与原点重合，AB∥y轴，AD＝CD＝ ， ∴ D（ ， ），CD∥y轴.∵ GM⊥CD，∴ xG＝xD－GM ＝ － ＝ ，yG＝yD－DM＝ － ＝－ .∴ 点G的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. （2024·河南二模）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、 y轴上，点B（6，1）在直线l：y＝－x＋b上，直线l分别交x轴、y轴 于点E，F. 将正方形ABCD沿x轴向右平移n个单位长度后，点D恰好 落在直线l上，则n的值为（　C　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第10题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：过点B作BM⊥x轴于点M. ∵ 点B（6，1）在直线l：y＝－x ＋b上，∴ 1＝－6＋b，解得b＝7.∴ 直线l对应的函数解析式为y＝ －x＋7.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BAD＝90°，AB＝DA. ∴ ∠OAD＋∠MAB＝180°－∠DAB＝90°.∵ ∠AOD＝90°， ∴ ∠ODA＋∠OAD＝90°.∴ ∠ODA＝∠MAB. 在△OAD和△MBA 中，∴ △OAD≌△MBA. ∴ OA＝MB， OD＝MA. 又∵ 点B的坐标为（6，1），∴ OA＝MB＝1.∴ OD＝ MA＝OM－OA＝6－1＝5.∴ 点D的坐标为（0，5）.∴ 将正方形 ABCD沿x轴向右平移n个单位长度后，点D的坐标为（n，5）.∵ 此 时点D恰好落在直线l上，∴ 5＝－n＋7，解得n＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题3分，共15分） 11. （2024·焦作一模）方程组的解为 　​　. 解析： ①×3－②×2，得－x＝－1，解得x＝1.把x＝1 代入①，得1＋2y＝5，解得y＝2.∴ 方程组的解是 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. （2024·驻马店遂平县三模）在反比例函数y＝ 的图象上有两 点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的最 小整数值为 ⁠. 解析：由题意，得1＋2m＞0，解得m＞－ .∴ m的最小整数值为0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2024·驻马店新蔡县二模）《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波 罗尼奥斯定理”，据此定理可以得出如下推论：平行四边形对角线的平 方和等于各边的平方和.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝ 6，D是BC的中点，则AD的长为 ⁠. 第13题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：如图，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE， CE，则AE＝2AD. ∵ D是BC的中点，∴ BD＝CD. ∴ 四边形ABEC是平行四边形.∴ CE＝AB＝5，BE＝AC ＝4.由题意，得AB2＋BE2＋CE2＋AC2＝BC2＋AE2，∴ 52＋42＋52＋42＝62＋（2AD）2，解得AD＝ （负值舍去）. 第13题 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2024·洛阳三模）如图，在2×3的正方形网格中，每个小正方形的 边长均为1，点A，B，C，D都在格点上， 经过点B，线段CD与 交于点E，则图中涂色部分的面积为 ⁠. 第14题 － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：如图，连接AD，AE，AC，取AC的中点O，连接OE. ∵ AD＝AC＝ ＝ ，CD＝ ＝ ， ∴ AD2＋AC2＝CD2.∴ ∠CAD＝90°.∵ ∠ABC＝90°， ∴ AC是半圆的直径，O是半圆的圆心.∴ ∠AEC＝90°， OE＝OC＝ AC＝ .∴ AE⊥CD. 又∵ AD＝AC， ∴ ∠CAE＝ ∠CAD＝45°.∴ ∠COE＝2∠CAE＝90°. ∴ S涂色＝S扇形OCE－S△OCE＝ － × × ＝ － . 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2024·南阳方城县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝6，BC＝8，D为斜边AB的中点，P为边BC上的一动点，沿着PD所 在直线折叠△PBD，得到△PB'D. 当DB'垂直于Rt△ABC的直角边时， PB的长为 ⁠. 第15题 或5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ ∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴ AB＝ ＝ ＝10.∵ D为AB的中点，∴ AD＝ BD＝ AB＝5.① 如图①，DB'⊥BC，垂足为E，则 ∠DEB＝90°.∵ ∠DEB＝∠C＝90°， ∴ DE∥AC. ∴ △DBE∽△ABC. ∴ ＝ ＝ ＝ .∴ CE＝BE＝ BC＝4，DE＝ AC＝3.由折叠，得 PB'＝PB，B'D＝BD＝5，∴ EB'＝B'D－DE＝5－3＝2.在Rt△PEB'中，EB'2＋PE2＝PB'2. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵ PB'＝PB，PE＝BE－PB＝4－PB，∴ 22＋（4－PB） 2＝PB2，解得PB＝ .② 如图②，DB'⊥AC. ∵ ∠C＝ 90°，∴ BC⊥AC. ∴ DB'∥BC. ∴ ∠ADB'＝∠B. 由折叠，得∠B'＝∠B， ∴ ∠B'＝∠ADB'.∴ PB'∥BD. ∴ 四边形PBDB'是平行 四边形.又∵ B'D＝BD，∴ 四边形PBDB'是菱形.∴ PB ＝BD＝5.综上所述，PB的长为 或5. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$2025年河南省中考数学专题特训 选填1－15题特训（一） 一、 选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只 有一个是正确的） 1. （2024·许昌一模）我国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的 国家.若向东走60米记作＋60米，则向西走80米可记作（　A　） A. －80米 B. 0米 C. 80米 D. 140米 解析： ∵ 向东走60米记作＋60米，即向东走用正数表示，∴ 向西走用 负数表示.∴ 向西走80米可记作－80米. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2024·驻马店一模）杆秤是我国最古老也是现今人们仍然使用的衡 量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做 “权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图所示为一种常见 的秤砣，则它的主视图是（　A　） 第2题 A A B C D 解析：从正面看到的图形如图所示. 第2题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （2024·南阳方城县二模）下列计算正确的是（　A　） A. ＝3 B. （3a）2＝6a2 C. 3＋ ＝3 D. （a＋b）2＝a2＋b2 解析： ＝3，故选项A计算正确，符合题意；（3a）2＝9a2， 故选项B计算错误，不符合题意；3与 不是同类二次根式，不可以合 并，故选项C计算错误，不符合题意；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，故 选项D计算错误，不符合题意. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2024·南阳淅川县二模）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD ＝126°，则∠BOC的度数为（　C　） A. 36° B. 44° C. 54° D. 63° 第4题 解析： ∵ ∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，∴ ∠COD＝∠AOD－ ∠AOC＝36°.∵ ∠BOD＝90°，∴ ∠BOC＝∠BOD－∠COD＝ 90°－36°＝54°. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （2024·焦作一模）化简 · 的结果为（　C　） A. B. C. D. 解析：原式＝ · ＝ . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2024·南阳二模）某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量 是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球的单价比 足球贵30元.由题意可列方程 ＝ －30，则方程中的x表示（　D　） A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 D 解析：设篮球的数量为x个，则足球的数量是2x个.由题意，得 ＝ －30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. （2024·南阳内乡县三模）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所 示，则一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝ 在同一平面直角坐标系中 的图象可能是（　C　） 第7题 C A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，得出a＞0；与y轴的 交点在y轴的负半轴上，得出c＜0；利用对称轴x＝－ 在y轴左侧， 即－ ＜0，得出b＞0.∴ 一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、 三象限，反比例函数y＝ 的图象经过第二、四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. （2024·信阳固始县三模）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点 C放置在矩形EFGH的边EH上，顶点A放置在边FG上，其中∠GAB＝ 12°，则∠HCB的度数为（　B　） A. 33° B. 57° C. 67° D. 53° 第8题 B 解析：∵ △ABC是等腰直角三角形，∴ ∠BAC＝45°，∠ACB＝90°. ∵ ∠GAB＝12°，∴ ∠CAD＝∠BAC－∠GAB＝33°. ∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥FG. ∴ ∠ECA＝∠CAD＝33°. ∴ ∠HCB＝180°－∠ECA－∠ACB＝57°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2024·信阳罗山县三模）“化积为方”是一个古老的几何学问题， 即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定 理的一种思想方法.如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），以AD为边作 正方形ADEF，在FE的延长线上取一点G，使得∠DGC＝90°，过点 D作DH⊥DG交AB于点H，过点H作HK⊥GC交GC的延长线于点K. 如果BF＝2FH＝2，那么DE的长为（　B　） A. 4 B. 2＋ C. 2 D. 3 第9题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ DH⊥DG，HK⊥GC，∠DGC＝90°，∴ ∠HDG＝∠DGC ＝∠K＝90°.∴ 四边形DGKH是矩形.∵ 四边形ABCD是矩形，四边 形ADEF是正方形，∴ ∠DAB＝∠DAF＝90°，∠ADC＝∠ADE＝ 90°.∴ 点F在AB上，点E在CD上.∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ ∠DEF＝90°，AD＝ED. ∴ ∠DEG＝180°－∠DEF＝90°. ∴ ∠DAH＝∠DEG. ∵ ∠ADE＝∠HDG＝90°，∴ ∠ADE－ ∠HDE＝∠HDG－∠HDE，即∠ADH＝∠EDG. ∴ △DAH≌△DEG. ∴ DH＝DG. ∴ 四边形DGKH是正方形.∴ DH2＝DH·DG＝2S△CDH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB·AD＝2S△CDH. ∴ DH2＝AB·AD. ∵ ∠DAH＝90°，∴ AD2＋AH2＝DH2＝AB·AD. ∵ BF＝2FH＝2， ∴ FH＝1.∵ 四边形ADEF是正方形，∴ AF＝AD＝DE. ∴ AH＝AF －FH＝DE－1，AB＝AF＋BF＝DE＋2.∴ DE2＋（DE－1）2＝ （DE＋2）·DE，解得DE＝2＋ 或DE＝2－ .若DE＝2－ ， 则AH＝2－ －1＝1－ ＜0，∴ DE＝2－ 不符合题意，舍去. ∴ DE的长为2＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. （2024·焦作一模）如图①，点P从等腰直角三角形ABC的顶点A出 发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到AC的中点 D. 设点P运动的路程为x，△PBC的面积为y，图②是点P运动时y随x 变化的关系图象，则BC的长为（　B　） A. 1 B. 2 C. D. 2 B 第10题 解析： ∵ 当x＝0时，y＝2a，∴ 当点P在点A处时，S△PBC＝2a.∵ 当a＜x＜2a时，y的值不变，一直是a，∴ 当a＜x＜2a时，点P与点D的连线平行于三角形的底边BC. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 ∵ a－0＝2a－a，∴ 当x＝a时，点A到点P的距离等于点D到点P的 距离，均为a.如图，过点D作DM∥BC，交AB于点M，作AD的垂直 平分线EF交MD于点E，交AC于点F，连接AE，∴ EA＝ED＝a. ∵ △ABC是等腰直角三角形，∴ ∠C＝45°.∵ DM∥BC， ∴ ∠ADE＝∠C＝45°.∵ EA＝ED＝a，∴ ∠EAD＝∠ADE＝45°. ∴ ∠AED＝90°.∴ AD＝ ＝ a.∵ D是AC的中点， ∴ AC＝2AD＝2 a.∵ S△ABC＝2a， ∴ AC2＝2a，即 ×（2 a）2＝2a，解 得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝ . ∴ AC＝ .∴ BC＝ AC＝2. 第10题 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题3分，共15分） 11. （2024·驻马店一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某 种食品的说明书上标明保存温度是（25±2）℃，请你写出一个适合该 食品保存的温度： ℃. 解析：由题意，得保存温度的范围是23～27℃，故适合该食品保存的温 度在23～27℃. 答案不唯一，如24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. （2024·安阳一模）现有4张卡片，正面分别写有文字“殷墟”“羑 里城”“红旗渠”“文峰塔”，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背 面朝上洗匀，从中随机抽取1张，记录正面文字后放回，再随机抽取1 张，两次抽取的卡片正面文字一样的概率是 ⁠. 解析：把写有“殷墟”“羑里城”“红旗渠”“文峰塔”的4张卡片分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示.由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面文字一样的结果有4种，∴ 两次抽取的卡片正面文字一样的概率是 ＝ . 第12题 ​ 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2024·南阳邓州市二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB 为☉O的切线，E为切点，线段AC经过圆心O且与☉O相交于D，C 两点.如果 sin A＝ ，AD＝2，那么BC的长为 ⁠. 6 解析：连接OE. 设☉O的半径为r，则OE＝OD＝OC＝r，AO＝AD ＋OD＝2＋r.∵ AB为☉O的切线，∴ OE⊥AB. ∴ ∠AEO＝90°. ∴ sin A＝ ＝ ＝ ，解得r＝3.∴ AO＝5.∴ AC＝AO＋OC＝8. 在Rt△ACB中，∵ sin A＝ ＝ ， ∴ 设BC＝3x，则AB＝5x.∵ ∠ACB＝90°， ∴ AC＝ ＝4x，即4x＝8，解得x＝2. ∴ BC＝6. 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2024·信阳新县三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是 角平分线，AB的垂直平分线分别交AB，AD于点E，F，连接BF. 若 AC＝6，BC＝8，则BF的长为 ⁠. 第14题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：过点D作DH⊥AB于点H. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 6，BC＝8，∴ AB＝ ＝10.∵ EF是AB的垂直平分线， ∴ AE＝BE＝ AB＝5，AF＝BF，EF⊥AB. ∵ ∠C＝90°， ∴ DC⊥AC. ∵ AD是角平分线，DH⊥AB，∴ DC＝DH. 又∵ AD＝ AD，∴ Rt△ACD≌Rt△AHD. ∴ AH＝AC＝6.∴ BH＝AB－AH＝ 4.∵ BC＝8，∴ BD＝BC－DC＝8－DH. 在Rt△BDH中，BD2＝DH2 ＋BH2，∴ （8－DH）2＝DH2＋42.∴ DH＝3.在Rt△ADH中，AD＝ ＝ ＝3 .∵ EF⊥AB，DH⊥AB， ∴ EF∥DH. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴ AF＝ .∴ BF＝AF＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2024·周口商水县三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝ 3，点E，F分别在边BC和CD上.将△ABE沿着AE折叠得到△AB'E， 将△CEF沿着EF折叠得到△C'EF（点C'在矩形ABCD内部），且B'，C'，E三 点共线，连接AC'.当△AC'E为等腰三角形时，CF的长为 ⁠. 第15题 或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ BC＝AD＝3，∠B＝∠C＝90°， AD∥BC. ∴ ∠AEB＝∠DAE. ∵ 将△ABE沿着AE折叠得到 △AB'E，∴ ∠AEB＝∠AEB'＝∠DAE＞∠C'AE. ∴ AC'＞C'E. ∴ △AC'E为等腰三角形分两种情况.由折叠，得BE＝B'E，∠B＝ ∠AB'E＝90°，CE＝C'E. 设BE＝B'E＝x，则C'E＝CE＝BC －BE＝3－x.当AE＝C'E时，在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝4 ＋x2.∵ C'E2＝（3－x）2，∴ 4＋x2＝（3－x）2，解得x＝ .当AE ＝AC'时，∵ ∠AB'E＝90°，∴ AB'⊥C'E. ∴ B'为C'E的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ C'E＝2B'E＝2x.∴ 3－x＝2x，解得x＝1.由折叠，得∠AEB＝ ∠AEB'，∠FEC＝∠FEC'，∴ ∠AEB＋∠FEC＝ ∠BEB'＋ ∠CEC'＝ （∠BEB'＋∠CEC'）＝90°.∵ ∠C＝90°，∴ ∠EFC ＋∠FEC＝90°.∴ ∠AEB＝∠EFC. ∵ ∠B＝∠C＝90°， ∴ △ABE∽△ECF. ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ CF＝ .当x ＝ 时，CF＝ ；当x＝1时，CF＝1.综上所述，CF的长为 或1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$2025年河南省中考数学专题特训 选填1－15题特训（四） 一、 选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只 有一个是正确的） 1. （2024·安阳一模）实数－3的相反数是（　A　） A. 3 B. －3 C. D. － 解析： －3的相反数是－（－3），－（－3）＝3. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2024·南阳方城县二模）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该 几何体的底面可能是（　B　） 第2题 A B C D 解析：观察题图可知，该几何体是四棱锥，∴ 它的底面是四边形. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （2024·南阳方城县二模）如图所示为商场某品牌椅子的侧面示意 图，点A，B在地面上，AF，BD相交于点C，点E在AF上，∠DEF ＝120°，DE∥AB，∠ABD＝50°，则∠ACB的度数为（　A　） A. 70° B. 65° C. 60° D. 50° 第3题 A 解析： ∵ DE∥AB，∴ ∠D＝∠ABD＝50°. ∵ ∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角， ∴ ∠DCE＝∠DEF－∠D＝70°. ∴ ∠ACB＝∠DCE＝70°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2024·许昌一模）如图，要使▱ABCD成为矩形，则需添加的条件 是（　C　） A. AB＝BC B. AC⊥BD C. ∠ABC＝90° D. ∠1＝∠2 第4题 C 解析：选项A是邻边相等，可判定▱ABCD是菱形，故选项A不符合题 意；选项B是对角线互相垂直，可判定▱ABCD是菱形，故选项B不符 合题意；选项C是一内角等于90°，可判定▱ABCD是矩形，故选项C 符合题意；选项D是对角线平分内角，可判定▱ABCD是菱形，故选项 D不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （2024·新乡二模）如图所示为用三块正方形纸片以顶点相连的方式 设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2， 3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图所示的方式组成图案， 使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积 分别是（　B　） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 第5题 B 解析：要围成直角三角形，则三边需满足勾股定理.本题有如下情况：5 ＝1＋4，5＝2＋3，4＝1＋3，4＝2＋2，3＝1＋2，2＝1＋1.经计算及比 较可知，当直角三角形的三边长分别为 ， ， 时，面积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2024·濮阳一模）下列方程中，与一元二次方程x2－2x－3＝0根的 情况一致的是（　A　） A. x2－2x＝0 B. x2＋2x＋3＝0 C. x2－2x＋1＝0 D. x＝0 A 解析：在x2－2x－3＝0中，∵ a＝1，b＝－2，c＝－3，∴ Δ＝b2－4ac ＝（－2）2－4×1×（－3）＝16＞0.∴ 方程有两个不相等的实数根.选 项A，Δ＝（－2）2－4×1×0＝4＞0，故方程x2－2x＝0有两个不相等 的实数根，符合题意；选项B，Δ＝22－4×1×3＝－8＜0，故方程x2＋ 2x＋3＝0没有实数根，不符合题意；选项C，Δ＝（－2）2－4×1×1＝ 0，故方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，不符合题意；选项D， 方程x＝0只有一个实数根，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. （2024·驻马店一模）根据高考综合改革实施方案，河南省2025年首 届新高考实行“3＋1＋2”模式.其中“3”指的是语文、数学、外语三 门必考科目，“1”指的是在物理和历史中任选一门，“2”指的是在思 想政治、地理、生物学和化学中任选两门.若小明在思想政治、地理、 生物学和化学中任选两门，则选中思想政治和化学的概率是（　B　） A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：列表如下： 思想政治 地　理 生物学 化　学 思想 政治 －－ （地理，思想政治） （生物学，思想政治） （化学，思想政治） 地理 （思想政治，地理） －－ （生物学，地理） （化学，地理） 生物学 （思想政治，生物学） （地理，生物学） －－ （化学，生物学） 化学 （思想政治，化学） （地理，化学） （生物学，化学） －－ 由表可知，共有12种等可能的结果，其中选中思想政治和化学的结果有 2种，∴ 选中思想政治和化学的概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. （2024·南阳邓州市二模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于 点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，连接EO. 若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　A　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第8题 A 解析： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥DC，AB＝CD＝6， OD＝OB. ∴ ∠CDP＝∠APD. ∵ DP平分∠ADC，∴ ∠CDP＝ ∠ADP. ∴ ∠ADP＝∠APD. ∴ AP＝AD＝4.∴ PB＝AB－AP＝6－ 4＝2.∵ E是PD的中点，OD＝OB，∴ EO是△DPB的中位线.∴ EO ＝ PB＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2024·安阳一模）某款电动汽车采取智能快速充电模式进行充电， 当充电量达到电池容量的80％时，为保护电池，充电速度会明显降低. 如图所示为该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率 ＝ ×100％）随充电时间x（单位：min）变化的函数图 象，下列说法错误的是（　D　） D A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩10％的电量 B. 本次充电40min时，汽车电池含电率达到80％ C. 本次充电的持续时间是120min D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70kW·h， 则本次充电耗电63kW·h 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩10％的电量， 故选项A说法正确，不符合题意；由函数图象可知，本次充电40min 时，汽车电池含电率达到80％，故选项B说法正确，不符合题意；由函 数图象可知，本次充电的持续时间是120min，故选项C说法正确，不符 合题意；若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70kW·h，则从0％到 100％的电量变化对应的耗电量是70kW·h，∴ 10％到90％的电量变化 对应的耗电量为70× ＝56（kW·h）.故选项D说法错误，符合 题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. （2024·信阳三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ 10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，Q为AB的 中点，则PB＋PQ的最小值为（　C　） A. B. C. D. ＋3 第10题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ ∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴ AC＝ ＝6.如图，过点P作PD⊥AC于点D. ∵ △ACP的面积为3，∴ AC·PD＝3，∴ PD＝1.作直线l∥AC，距离为1，则点P在直线l上运动且在△ABC内.∵ ∠ACB＝90°，BC＝8，∴ 点B到AC的距离为8. ∴ 点B到直线l的距离为8－1＝7.作点B关 于直线l的对称点E，连接EP，EQ，EQ 交直线l于点P'，则BE＝7×2＝14， EP＝PB. ∴ PB＋PQ＝EP＋PQ. 第10题 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ 当点E，P，Q共线时，EP＋PQ的值最小.∴ 当点P运动到点P'时， PB＋PQ的值最小，最小值为EQ的长.过点Q作QF⊥BC于点F. ∵ ∠ACB＝90°，Q为AB的中点，∴ BQ＝ AB＝CQ＝5. 又∵ QF⊥BC，∴ BF＝ BC＝4.∴ 在Rt△BFQ中，QF＝ ＝3.∵ BE＝14，BF＝4， ∴ EF＝BE－BF＝10.∴ 在Rt△EFQ 中，EQ＝ ＝ ，即 PB＋PQ的最小值为 . 第10题 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题3分，共15分） 11. （2024·南阳邓州市一模）写出单项式－2a2b的一个同类项： ⁠ ⁠. 解析：同类项的概念：① 含有字母相同；② 相同字母的指数也相同. 答案 不唯一，如a2b 12. （2024·驻马店新蔡县二模）能说明“若a2＞4，则a＞2”属于假命 题的一个反例可以是 ⁠. 解析：反例是满足题设的条件，不满足结论，如当a＝－3时，a2＝9＞ 4，但此时a＜2， 答案不唯一，如a＝－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2024·信阳三模）如图，点A在双曲线y＝ （x＞0）上，点B在 双曲线y＝ （x＞0）上，点C，D在x轴上.若四边形ABCD为矩形， 则它的面积为 ⁠. 第13题 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：延长BA交y轴于点E. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ADC＝ 90°，AD∥BC，AB∥x轴.∴ AD⊥x轴.又∵ x轴⊥OE， ∴ AD∥OE. ∴ OE∥AD∥BC. 又∵ AB∥x轴，∴ 四边形AEOD和 四边形BEOC都是平行四边形.又∵ ∠EOC＝90°，∴ ▱AEOD和 ▱BEOC都是矩形.∵ 点A在双曲线y＝ （x＞0）上，∴ 矩形AEOD 的面积为1.∵ 点B在双曲线y＝ （x＞0）上，∴ 矩形BEOC的面积为 3.∴ 矩形ABCD的面积为3－1＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2024·南阳邓州市一模）在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物 体，如图，有一球形石块，要使其滚动，杠杆的端点C必须向上翘起， 使起始位置与终止位置相距5cm.若杠杆AC的长度为120cm，其中BC的 长度为20cm，则要使该石块滚动，需要将杠杆的另一端点A向下压，使 起始位置与终止位置相距 cm. 第14题 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：如图，设点C的终止位置为点C'，点A的终止位置为点A'，连接CC'，AA'，A'C'，则CC'＝5cm，A'，B，C'三点共线.由题意，得BA ＝BA'，BC＝BC'，∴ ＝ ＝1.∴ ＝ .又∵ ∠ABA'∠CBC'，∴ △ABA'∽△CBC'.∴ ＝ ＝ ＝5.∵ CC'＝5cm，∴ AA'＝25cm.∴ 要使该石块滚动，需要将杠杆 的另一端点A向下压，使起始位置与终 止位置相距25cm. 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2024·信阳三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8.Q为 射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D的对应点D'恰好落 在直线BQ上，则DQ的长为 ⁠. 第15题 4或16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD＝10，BC＝AD＝8，AB∥CD，∠BCD＝90°.① 如图①，当点Q在线段DC上时， ∵ AB∥CD，∴ ∠AQD＝∠BAQ. 由翻折，得∠AQD＝∠AQD'， ∴ ∠BAQ＝∠AQD'.∴ BQ＝AB＝10.在Rt△BCQ中，CQ＝ ＝ ＝6，∴ DQ＝CD－CQ＝10－6＝4. ② 如图②，当点Q在DC的延长线上时，∵ AB∥CD，∴ ∠AQD＝∠BAQ. 由翻折，得∠AQD＝∠AQB，∴ ∠BAQ＝∠AQB. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ BQ＝AB＝10.∵ ∠BCD＝90°，∴ ∠BCQ＝180°－∠BCD＝90°.在Rt△BCQ中，CQ＝ ＝ ＝6，∴ DQ＝CD＋CQ＝10＋6＝16.综上所述，DQ的长为4或16. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$2025年河南省中考数学专题特训 选填1－15题特训（八） 一、 选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只 有一个是正确的） 1. （2024·濮阳二模）将运算符号“＋，－，×，÷”填入“”中，要 使2（－3）的计算结果最大，应该填入的符号是（　B　） A. ＋ B. － C. × D. ÷ 解析： 2＋（－3）＝－1，2－（－3）＝5，2×（－3）＝－6， 2÷（－3）＝－ ，要使计算结果最大，应该填入的符号是“－”. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2024·南阳新野县一模）如图所示为一个正方体的展开图，则在这 个正方体上与“美”字所在面相对的面上的字是（　C　） A. 建 B. 设 C. 河 D. 南 第2题 解析：观察题图可知，“建”和“南”相对，“设”和“丽”相对， “美”和“河”相对. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （2024·信阳浉河区三模）下列图形均为医疗或救援的标志，其中既 属于轴对称图形又属于中心对称图形的是（　C　） C A B C D 解析：选项A不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 选项B不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；选项 C既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；选项D既 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2024·三门峡一模）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水 槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度. 第4题 下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的 时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　A　） A A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：由浮力和重力的知识可知，铁块露出水面之前，F拉＋F浮＝G， 此过程中浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读 数不变；在铁块逐渐露出水面的过程中，F拉＋F浮＝G，此过程中浮力 逐渐减小，且由于铁块是匀速运动的，故浮力与时间满足一次函数关 系，铁块的重力不变，故拉力逐渐增大，且拉力与时间满足一次函数关 系，即弹簧测力计的读数逐渐增大；铁块完全露出水面之后，F拉＝ G，此过程中拉力等于铁块的重力，即弹簧测力计的读数不变.综上所 述，弹簧测力计的读数先不变，再逐渐增大，最后不变. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （2024·新乡二模）若关于x的一元二次方程（k－1）x2＋2kx＋k＝ 0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为（　A　） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 解析： ∵ 关于x的一元二次方程（k－1）x2＋2kx＋k＝0有两个不相等的实数根，∴ Δ＝（2k）2－4（k－1）k＞0，解得k＞0.∵ 关于x的 方程（k－1）x2＋2kx＋k＝0是一元二次方程，∴ k－1≠0，即 k≠1.∴ k的取值范围是k＞0且k≠1.∴ k的最小整数值为2. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2024·周口西华县二模）如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下 列结论错误的是（　C　） A. AB∥CD B. ∠B＝30° C. ∠C＋∠2＝∠EFC D. CG＞FG 第6题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ ∠1＝∠2＝65°，∴ AB∥CD. 故选项A正确.∵ ∠3＝35°， ∴ ∠C＝∠2－∠3＝65°－35°＝30°.∵ AB∥CD，∴ ∠B＝∠C＝ 30°.故选项B正确.∵ ∠3＝35°，∴ ∠EFC＝145°.∵ ∠2＝65°， ∴ ∠CGF＝115°.∴ ∠C＋∠2＝∠C＋65°，∠EFC＝∠C＋ ∠CGF＝∠C＋115°.∴ ∠C＋∠2＜∠EFC. 故选项C错误.∵ ∠3＞ ∠C，∴ 可在CF上取一点H，使∠3＝∠GHF，则FG＝HG. 易得 CG＞HG，∴ CG＞FG. 故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. （2024·南阳邓州市二模）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系， 蟋蟀鸣叫就是其中的一种.据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，学习 小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温/℃ … 13 15 17 19 … 每分钟鸣叫次数 … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49，则该地当时的气温约为（　B　） A. 9℃ B. 10℃ C. 11℃ D. 12℃ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：由题表可知，气温每升高2℃，蟋蟀每分钟鸣叫次数增加14， ∴ 蟋蟀每分钟鸣叫次数是气温的一次函数.设蟋蟀每分钟鸣叫次数为y，气温为x（单位：℃），y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b（k，b 为常数，且k≠0）.将x＝13，y＝70和x＝15，y＝84分别代入y＝kx ＋b，得解得∴ y与x之间的函数解析式为y ＝7x－21.当y＝49时，7x－21＝49，解得x＝10，∴ 该地当时的气温 约为10℃. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. （2024·信阳三模）如图，PA，PB是☉O的切线，切点分别为A， B，PO的延长线交☉O于点C，连接OA，OB，BC. 若OA＝5，OP ＝10，则∠C的度数为（　C　） A. 60° B. 20° C. 30° D. 45° 第8题 C 解析： ∵ PB是☉O的切线，∴ ∠OBP＝90°. 在Rt△OBP中，OB＝OA＝5.∵ cos ∠BOP ＝ ＝ ＝ ，∴ ∠BOP＝60°.∴ ∠C＝ ∠BOP＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2024·南阳邓州市一模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O， ∠BAD＝120°，BD＝4 ，E，F分别是OA，OD的中点，则EF的 长为（　C　） A. 2 B. C. 2 D. 4 第9题 C 解析： ∵ 四边形ABCD为菱形，∴ OD＝ BD＝2 ， AO⊥BD，∠OAD＝ ∠BAD＝60°.在Rt△AOD中， sin ∠OAD＝ ＝ ，∴ AD＝4.∵ E，F分别是OA， OD的中点，∴ EF是△AOD的中位线.∴ EF＝ AD＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. （2024·南阳新野县一模）如图①，E为矩形ABCD（AB＞AD）的 边AD上的一点，点P从点B出发，沿折线B－E－D运动到点D停止； 同时点Q从点B出发，沿BC运动到点C停止，点P，Q的运动速度都是 1cm/s.设运动时间为x（单位：s），△BPQ的面积为y（单位： cm2），若y与x的函数关系如图②所示，则△ABE的面积是（　B　） A. 120cm2 B. 54cm2 C. 24cm2 D. 60cm2 B 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：由函数的图象和运动的过程可知，当x＝10时，y＝ 40，此时点Q运动到点C，点P运动到点F，如图，过点 F作FG⊥BC于点G，连接CF，此时BC＝BF＝ 10cm.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC＝10cm. ∵ S△BFQ＝40cm2，∴ FG＝ ＝8（cm）.在Rt△BFG中，BG＝ ＝6cm.设ED＝acm，则AE＝（10－a）cm.由题图②可知，当x＝16时，点P运动到点D，∴ BE＝（16－a）cm.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC，∠A＝90°.∴ ∠AEB＝∠GBF. ∵ ∠A＝∠FGB＝90°，∴ △ABE∽△GFB. 第10题 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得a＝1.∴ AE＝9cm， BE＝15cm.在Rt△ABE中，AB＝ ＝12cm， ∴ △ABE的面积为 AE·AB＝ ×9×12＝54（cm2）. 第10题 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题3分，共15分） 11. （2024·南阳淅川县二模）若分式 ＝0，则实数x的值是 ⁠. 解析：若分式 的值为0，则需满足x2－9＝0且x－3≠0.∵ 方程x2 －9＝0的解为x1＝3，x2＝－3，不等式x－3≠0的解集为x≠3， ∴ x＝－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. （2024·许昌一模）如图所示为一个滑轮起重装置，滑轮的半径是 12cm，当重物上升4πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向 旋转，则旋转的角度为 ⁠. 第12题 60° 解析：设旋转的角度是n°.由题意，得 ＝4π， 解得n＝60.∴ 旋转的角度为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2024·许昌二模）化学实验课上，张老师带来了Mg（镁），Al （铝），Zn（锌），Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同 的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气 （根据金属活动顺序可知：Mg，Al，Zn可以置换出氢气，而Cu不能置 换出氢气）.小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验， 则二人所选金属均能置换出氢气的概率是 ⁠. ​ 解析：画树状图如图所示.由树状图可知，共有16种等可能的结果，其 中二人所选金属均能置换出氢气的结果有9种，∴ 二人所选金属均能 置换出氢气的概率是 . 第13题 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2024·安阳滑县三模）如图，以等边三角形ABC的一边BC为直径 作半圆O交另两边于D，E两点，等边三角形ABC的边长为6，则图中 涂色部分的面积为 ⁠. 第14题 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：如图，连接OD，OE，DE. ∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC＝6，∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵ OB＝OD＝OC＝OE＝ BC＝ ×6＝3，∴ △BOD，△COE都是等边三角形.∴ ∠BOD＝∠EOC＝60°，BD＝OB＝3，CE＝OC＝3.∴ ∠DOE＝60°. ∴ △DOE是等边三角形.∵ AB－BD＝AD＝3，AC－ CE＝AE＝3，∴ AD＝AE. ∴ △ADE是等边三角形. 易得△ADE≌△OBD≌△OCE≌△ODE，∴ S△ADE ＝S△OBD＝S△OCE＝S△ODE. 第14题 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵ S扇形OEC＝S扇形ODE＝S扇形OBD＝ ＝ ，∴ S扇形 OCE－S△OCE＝S扇形ODE－S△ODE＝S扇形OBD－S△OBD. ∴ S 涂色＝（S扇形OBD－S△OBD）＋（S扇形OCE－S△OCE）＋ [S△ADE－（S扇形ODE－S△ODE）]＝S△ADE＋S扇形ODE－ S△ODE＝S扇形ODE＝ . 第14题 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2024·信阳固始县二模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6， ∠ABC＝60°，P为边AD的中点，Q为▱ABCD边上一点，沿着 D→C→B的路径移动，将PD沿直线PQ翻折.若点D的对应点E恰好落 在▱ABCD的边上，则点Q移动的距离为 ⁠. 第15题 或5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AD∥BC， BC＝AD＝6，CD＝AB＝4，∠D＝∠ABC＝ 60°.∵ P为边AD的中点，∴ PD＝AP＝ AD＝3. ① 如图①，当点E落在边CD上时，此时点Q在边 CD上.∵ PD＝PE，∠D＝60°，∴ △PDE为等边 三角形.∴ DE＝PD＝3.由翻折，得DE⊥PQ， ∴ DQ＝ DE＝ ，即点Q移动的距离为 .② 如图②， 由翻折，得PE＝PD，则当点E落在边AD上时，点 A，E重合，此时点Q在边BC上，且PQ⊥AD，过 点C作CF⊥AD于点F， 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则∠CFD＝90°.∴ ∠DCF＝90°－∠CDA＝30°. ∴ DF＝CD· cos D＝2.∴ PF＝PD－DF＝1. ∵ AD∥BC，∴ ∠QCF＝∠CFD＝90°. ∵ PQ⊥AD，CF⊥AD，∴ ∠FPQ＝∠CFP＝90°. ∴ 四边形PFCQ为矩形.∴ CQ＝PF＝1. ∴ 点Q移动的距离为CD＋CQ＝5.综上所述， 点Q的移动距离为 或5. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$2025年河南省中考数学专题特训 选填1－15题特训（六） 一、 选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只 有一个是正确的） 1. （2024·信阳潢川县三模）在实数－ ，－2，－ ，3 中，最小的 数是（　A　） A. －2 B. － C. － D. 3 解析： ∵ π≈3.14，∴ ＜ ＜2.∴ －2＜－ ＜－ ＜3 .∴ 最小的 数是－2. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2024·南阳邓州市二模）2024年河南春晚从传统文化中寻找韵脚， 在科技赋予的丰富场景中，编织出了一幅璀璨的文化风情图，获得业内 专家的点赞.截至2024年2月9日12时，全网阅读量再创新高，突破130亿 次.数据“130亿”用科学记数法表示为（　C　） A. 0.13×1010 B. 1.3×109 C. 1.3×1010 D. 13×109 解析： 130亿＝13000000000＝1.3×1010. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （2024·信阳新县三模）不等式组的解集在数轴上表示 正确的是（　C　） C A B C D 解析：解不等式 x＋1＞0，得x＞－2；解不等式2x－6≤0，得x≤3. ∴ 不等式组的解集为－2＜x≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2024·三门峡二模）已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根 为x1，x2，若x1x2＋3x1＋3x2＝1，则实数k的值为（　B　） A. B. －8 C. －10 D. 10 解析： ∵ 一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2， ∴ x1＋x2＝3，x1x2＝k.∵ x1x2＋3x1＋3x2＝1，∴ x1x2＋3（x1＋x2） ＝k＋3×3＝1.∴ k＝－8. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （2024·驻马店一模）一次函数y＝mx＋n的图象如图所示，则二次 函数y＝mx2＋nx的图象可能是（　B　） 第5题 B A B C D 解析：由一次函数y＝mx＋n的图象，得m＜0，n＞0，∴ 二次函数y ＝mx2＋nx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－ .∵ － ＞0， ∴ 二次函数y＝mx2＋nx的图象的对称轴在y轴右侧.只有选项B符合 题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2024·驻马店遂平县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝10，O为边AB的中点，连接OC，过点O作OD⊥OC交BC于点 D. 若 cos A＝ ，则CD的长为（　B　） A. 6 B. C. D. 5 第6题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ ∠ACB＝90°，AB＝10，O为边AB的中点，∴ OC＝ AB ＝OA＝5.∴ ∠A＝∠OCA. ∵ OD⊥OC，∴ ∠COD＝90°. ∴ ∠CDO＝90°－∠OCD. ∵ ∠OCA＝∠ACB－∠OCD＝90° －∠OCD，∴ ∠CDO＝∠OCA＝∠A. ∴ cos ∠CDO＝ cos A＝ ＝ .设OD＝3x，CD＝5x，则在Rt△OCD中，OC＝ ＝ ＝4x＝5，∴ x＝ ，即CD的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. （2024·南阳方城县二模）如图，AC，BC为☉O的两条弦，D，G 分别为AC，BC的中点，☉O的半径为2.若∠C＝45°，则DG的长为 （　D　） A. 2 B. C. D. D 解析：如图，连接AO，BO，AB. ∵ ∠C＝45°， ∴ ∠AOB＝2∠C＝90°.∵ ☉O的半径为2，∴ AO＝BO ＝2.在Rt△AOB中，AB＝ ＝ ＝ 2 .∵ D，G分别是AC，BC的中点， ∴ DG＝ AB＝ ×2 ＝ . 第7题 第7题 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. （2024·周口西华县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，边 AC在x轴上，A，D两点的坐标分别为（－2，0），（2，1），矩形 CDEF的顶点F与点O重合，顶点D在边BC上，tan∠BAC＝ .将矩形 CDEF沿x轴向左平移，当点D落在边AB上时，点E的坐标为（　B　） B A. B. C. D. （－5，1） 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： ∵ 点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（2，1），∠ACB＝90°，∴ AO＝2，CD＝1，OC＝2.∴ AC＝AO＋OC＝4.在Rt△ABC中，tan∠BAC＝ ＝ ，∴ BC＝5.∴ B（2，5）.设直线AB对应的函数解析式 为y＝kx＋b.把A（－2，0），B（2，5）代入，得解得∴ 直线AB对应的函数解析式为y＝ x＋ .当y＝1时，x＝－ ， ∴ 平移后点D的坐标为（－ ，1）.∵ 四边形CDEF是矩形， ∴ ∠CDE＝90°，DE＝OC＝2，∴ 平移后点E的坐标为（－ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2024·安阳滑县三模）如图①，在△ABC中，动点P从点A出发以 1cm/s的速度向点B运动，设运动时间为ts，CP＝ycm，y关于t的函数 图象如图②所示，则图②中最低点M的纵坐标为（　C　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 解析：由题图可知，当点P在点A处时，t＝0，y＝13，∴AC＝13cm.当点P在点B处时，t＝a＋4，y＝15，∴ BC＝15cm.如图，过点C作CH⊥AB于点H，在HB上截取DH＝AH，连接CD. ∴ CH垂直平分AD. C 第9题 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 ∴ AC＝CD＝13cm.当点P在点D处时，y＝13，此时t＝ a，即AD＝acm，∴ DH＝ AD＝ acm.当点P在点B处 时，t＝a＋4， ∴ AB＝（a＋4）cm.∴ BD＝AB－AD＝4cm.∴ BH＝ DH＋BD＝（ a＋4）cm.在Rt△CDH中，CH2＝CD2－ DH2，在Rt△BCH中，CH2＝BC2－BH2，∴ CD2－DH2 ＝BC2－BH2.∴ 132－（ a）2＝152－（ a＋4）2.∴ a＝ 10.∴ DH＝5cm.在Rt△CDH中，CH＝ ＝ 12cm.由题图可知，点M的纵坐标最小表示CP的长最小. 当CP⊥AB时，CP的长最小，最小值为CH的长，即 12cm，∴ 点M的纵坐标为12. 第9题 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. （2024·三门峡二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，以 点B为圆心、适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别 以点E，F为圆心、大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 BP，过点C作BP的垂线交AD于点N，则CN的长为（　C　） A. B. C. 2 D. 8 第10题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：设BP与CN交于点O，与CD交于点R，过点R作RQ⊥BD于点Q. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ CD＝AB＝6，∠BCD＝∠ADC＝90°. ∴ RC⊥BC. 在Rt△BCD中，BD＝ ＝10.由作图过程可知，BP平分∠CBD，又∵ RQ⊥BD，∴ RQ＝RC. 在Rt△BCR和Rt△BQR中，∴ Rt△BCR≌Rt△BQR. ∴ BC＝BQ＝8.∴ DQ＝BD－BQ＝2.设RQ＝RC＝x，则DR＝CD－RC＝6－x.在Rt△DQR中，DR2＝DQ2＋RQ2，即（6－x）2＝22＋x2，解得x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解QR中，DR2＝DQ2＋RQ2，即（6－x）2＝22＋x2，解得x＝ . ∴ RC＝ .在Rt△BCR中，BR＝ ＝ .∵ S△BCR＝ RC·BC＝ BR·OC，∴ OC＝ ＝ ＝ .∵ CN⊥BP，∴ ∠COR＝∠CDN＝90°.又∵ ∠OCR＝∠DCN，∴ △OCR∽△DCN. ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得CN＝2 .∴ CN的长为2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、 填空题（每小题3分，共15分） 11. （2024·驻马店一模）香港国际六人板球赛是国际板球赛一大盛事.在一 次比赛中，甲、乙两支板球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两支板球队队员的身高更整齐的是 队（填“甲”或“乙”）. 甲 第11题 解析：观察题图可知，参加比赛的甲、乙两支板球队队员的身高更整齐的是甲队. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. （2024·驻马店西平县三模）不等式组的解集 是 ⁠. 解析：解不等式－x－5≤0，得x≥－5；解不等式3x＋9≥8，得x≥－ . ∴ 不等式组的解集为x≥－ . x≥－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2024·新乡二模）小明有经典图书《上下五千年》上、中、下各一 册，他随机将它们叠放在一起，则从上到下的顺序恰好为“上册、中 册、下册”的概率是 ⁠. 解析：画树状图如图所示.由树状图可知，共有6 种等可能的结果，其中从上到下的顺序恰好为 “上册、中册、下册”的结果有1种，∴ P（从 上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”）＝ . 第13题 ​ 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2024·南阳邓州市一模）如图，在扇形OAB中，OA＝1，P为OB 上一个动点，将△OAP沿AP折叠，当点O的对应点Q落在 上时，图 中涂色部分的面积为 ⁠. 第14题 － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：连接OQ交AP于点C. ∵ 将△OAP沿AP折叠得△QAP，且点Q 落在 上，∴ AP⊥OQ，OC＝ OQ＝ OA＝ .在Rt△ACO中， sin ∠OAC＝ ＝ ，∴ ∠OAC＝30°.∴ ∠AOQ＝90°－30°＝60°. 在Rt△OAC中，AC＝ ＝ ＝ .∴ S涂色＝S扇 形OAQ－S△AOQ＝ － ×1× ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2024·信阳浉河区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝2AC＝4，CO为斜边上的中线，P为线段AO上一动点，将线段 PC绕点P按逆时针方向旋转90°得线段PQ，连接CQ，OQ. 当CP垂 直于△ABC的一边时，线段OQ的长为 . 第15题 －1或 － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：在Rt△ABC中，∵ sin B＝ ＝ ，∴ ∠B＝ 30°.∵ CO为斜边上的中线，∴ OC＝ AB＝OA＝ OB＝2.∴ ∠B＝∠OCB. ∴ ∠POC＝∠B＋ ∠OCB＝2∠B＝60°.① 当CP⊥AB时，如图①.在 Rt△PCO中，∠POC＝60°，∴ CP＝CO· sin 60° ＝ ，PO＝CO· cos 60°＝1.由旋转，得PC＝PQ ＝ ，∠CPQ＝90°.∵ CP⊥AB，∴ 点Q在AB 上.∴ OQ＝PQ－PO＝ －1.② 当CP⊥BC时，如 图②，此时点A与点P重合，过点Q作QD⊥AB于点 D. ∵ ∠CPQ＝90°，∠ACB＝90°，∴ AQ∥CB. 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ ∠OAQ＝∠B＝30°.在Rt△AQD中，QD＝ AQ＝1，AD＝AQ· cos ∠OAQ＝ AQ＝ .∴ OD＝OA－AD＝2－ .在Rt△ODQ中，OQ＝ ＝ ＝ ＝ － .综上所述，线段OQ的长为 －1或 － . 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$