精品解析：广东省广州市华南碧桂园学校2024-2025学年上学期八年级数学第三次月考卷

2024-2025年八年级数学阶段性训练 一、单选题（共30分） 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，积的乘方运算，掌握“幂的运算的运算法则”是解本题的关键． 由同底数幂的乘法运算可判断A，由幂的乘方运算可判断B，由同底数幂的除法运算可判断C，由积的乘方运算和幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，原运算错误，故A不符合题意； ，运算正确，故B符合题意； ，原运算错误，故C不符合题意； ，原运算错误，故D不符合题意． 故选：B． 2. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义． 3. 已知点和关于轴对称，则值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据点和关于轴对称，可得，，求出和的值，进一步计算即可． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， 解得，， ， 故选：B 4. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形唯一性的判定，需根据全等三角形的判定条件（）逐一分析各选项． 【详解】解：A．已知三边（），满足条件，可唯一确定三角形，不符合题意； B．已知两边（）及其中一边的对角（），属于情况．由于不是和的夹角，无法保证三角形唯一性，可能存在两种不同形状的三角形，符合题意； C．已知两边（）及其夹角（），满足条件，可唯一确定三角形，不符合题意； D．已知直角边，斜边，满足定理，可唯一确定直角三角形，不符合题意； 故选：B． 5. 如果等式成立，那么、的值分别是（ ） A. 0， B. 0， C. 1， D. ，0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．将等式右边进行展开，再与左边进行对比即可得到答案． 【详解】解：由题知， ， ， 即， ，． 故选：A． 6. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，， ， 的三边、、长分别为20、30、40， ． 故选C． 7. 已知、、是的三边，且满足，则的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先把已知条件式左边分解因式推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、、是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 根据现有条件无法证明是直角三角形和等边三角形， 故选：C． 8. 如图，在等腰中，，，，点在第四象限，与轴交于点，轴恰好平分，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形及等腰直角三角形的性质，熟练掌握坐标与图形及等腰直角三角形的性质是解题的关键．过点C作轴于点E，过点C作x轴的垂线交延长线于点F，交x轴于点M，证明，，然后得到，求出，进而问题可求解． 【详解】解：过点C作轴于点E，过点C作x轴的垂线交延长线于点F，交x轴于点M，如图所示： ∵轴恰好平分，，，， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C在第四象限， ∴， 故选：A． 9. 如图，在长方形中，，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B匀速运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（ ） A. B. 6或 C. 或6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据四边形是长方形可得，设运动的时间为，点Q的运动速度是，根据题意分别表示出，，，再根据全等三角形的对应边相等分两种情况讨论，当时，当时，分别建立方程组求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是， 依题有：，，， ①当时，， 解得：； 即点Q的运动速度为时，与全等， ②当时，， 解得：； 即点Q的运动速度为时，与全等， 综上可得，点Q的运动速度为或时，与全等， 故选：B． 10. 如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于，先利用“”证明，得出，可判断①正确；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②错误；由，得出，得出，可判断③正确；由，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④正确；进而可以解决问题． 【详解】解：如图，延长交于， 分别为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长 ，故④正确， ∴正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，得到是解决问题的关键． 二、填空题（共18分） 11. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则逆应用代入求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，，则____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质．由纸条折叠前后的角度对应相等是解决本题的关键． 先利用平行线的性质，可求出和的度数，再依据折叠的性质得出相关角的度数关系，通过这些关系可求出、的度数，最后求出的度数． 【详解】解：因为在长方形纸带中，， ∴，， 由于纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， 所以，同时， 因为，，， 所以， 又因为纸带沿折叠成图b，所以， 在中，， 则， 所以， 因为与、组成一个平角， 所以． 故答案为：． 14. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，是的平分线，．若，分别是和上的动点，则的最小值是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是利用面积法求高的值； 由等腰三角形三线合一可得，过点作交于点，当重合时的值最小，最小值为的长度． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，， ∴过点作交于点，当重合时的值最小，最小值为的长； ∵，， ∴， ∴的值最小值为：， 故答案为：． 16. 如图，等边的边长为20，D是中点，点E、F分别位于边上，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识．作，，垂足分别为、，证明可推出，再证明，再证明，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作，，垂足分别为、． 是等边三角形， ，， ∵D是中点， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ； 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提取公因式法和公式法是解决本题的关键． （1）先提取公因式，再套用完全平方公式因式分解； （2）套用平方差公式因式分解． 【小问1详解】 解：， ， 【小问2详解】 解：， ， ， 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，先对整式进行化简，再把的值代入即可得到结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知，，是的三边长，且满足，判断此三角形的形状． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 即， 故为等腰三角形 21. 在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，，都是等边三角形，连接，交于点，求证： （1）； （2）平分． 【答案】（1） 证明：∵，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：过点作于，于，如下图， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得，进而可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于，于，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，根据“在角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． （2）应用所得的公式计算：； （3）应用所得的公式计算：． 【答案】（1）B （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先分别用代数式表示出两图中的阴影面积，再判断即可． （2）把原式先变形为，再利用（1）的结论求解即可； （2）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即， 拼成的图2为长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故选：B； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：原式 ． 24. 【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①与的位置关系为：________； ②线段、、之间的数量关系为：________； 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵和是等边三角形， ∴，， ， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴； 平行，，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2） ①. 平行 ②. （3）有最小值，5 【解析】 【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明； （2）①由（1）得，得出，，，则； ②因为，，所以； （3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题． 【小问1详解】 【小问2详解】 有最小值，理由如下： 如图，在射线上取一点，使得，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形内角和为，可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即点E在的角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ∴， 则， 由三角形三边关系可知，， 即当点E与点C重合，时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为5． 【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 25. 如图1，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． （1）如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1） （2） 过分别作于点，作于点． ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴平分， ∴， （3）不发生改变，等于4 【解析】 【分析】此题考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识． （1）求出，，则．证明；则，的坐标为，则，得到，即可得到答案； （2）过分别作于点，作于点．证明，则．根据角平分线的判定得到平分，即可得到； （3）连接．证明，则，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， 则． ∵，则，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∵的坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的值不发生改变，等于4． 理由如下：如图：连接． ∵，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年八年级数学阶段性训练 一、单选题（共30分） 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点和关于轴对称，则值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 无法确定 4. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果等式成立，那么、的值分别是（ ） A. 0， B. 0， C. 1， D. ，0 6. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知、、是的三边，且满足，则的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，在等腰中，，，，点在第四象限，与轴交于点，轴恰好平分，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方形中，，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B匀速运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（ ） A. B. 6或 C. 或6 D. 10. 如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共18分） 11. 已知，，则的值为________． 12. 已知，，则____________． 13. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则_______°． 14. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 15. 如图，在中，，是的平分线，．若，分别是和上的动点，则的最小值是___________ 16. 如图，等边的边长为20，D是中点，点E、F分别位于边上，若，则_______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解 （1）； （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知，，是的三边长，且满足，判断此三角形的形状． 21. 在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 22. 如图，，都是等边三角形，连接，交于点，求证： （1）； （2）平分． 23. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． （2）应用所得的公式计算：； （3）应用所得的公式计算：． 24. 【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①与的位置关系为：________； ②线段、、之间的数量关系为：________； 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 25. 如图1，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． （1）如图1，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $