2025年河南省九年级中考数学专题特训核心素养特训

2025年河南省中考数学专题特训 核心素养特训 核心素养一 推理能力 1. （2024·安徽，4分）已知实数a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1 ＜1，则下列判断正确的是（　C　） A. － ＜a＜0 B. ＜b＜1 C. －2＜2a＋4b＜1 D. －1＜4a＋2b＜0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： ∵ a－b＋1＝0，∴ b＝a＋1.∵ 0＜a＋b＋1＜1，∴ 0＜a＋ a＋1＋1＜1，即0＜2a＋2＜1.∴ －1＜a＜－ .故选项A错误，不符合 题意.∵ b＝a＋1，－1＜a＜－ ，∴ 0＜b＜ .故选项B错误，不符合 题意.由－1＜a＜－ ，得－2＜2a＜－1；由0＜b＜ ，得0＜4b＜2. ∴ －2＜2a＋4b＜1.故选项C正确，符合题意.由－1＜a＜－ ，得－4 ＜4a＜－2；由0＜b＜ ，得0＜2b＜1.∴ －4＜4a＋2b＜－1.故选项 D错误，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. （2024·德阳，3分）将一组数 ，2， ，2 ， ， 2 ，…， ，…按如图所示的方式进行排列， 则第八行左起第1个数是（　C　） A. 7 B. 8 C. D. 4 第2题 C 解析：由题意，得前七行所有的数的总个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝ 28，则第八行左起第1个数是第29个数，即 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. （2024·德阳，4分）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出了一个探 究问题：把数字1至8分别填入如图所示的八个圆圈内，使得任意两个有 线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究后，乙组的小 高同学填出了图中两个中心圆圈内的数字a，b，你认为a可以是 ⁠ （填一个数字即可）. 第3题 答 案不唯一，如1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字.若将2， 3，4，5，6，7中任何一个数字填在中心圆圈内，则与其相邻的2个数字 均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不 符合题意.∴ 位于两个中心圆圈内的数字只可能是1和8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. （2024·广安，3分）如图，直线l：y＝ x－ 与x轴正半轴相交于 点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作 x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三 角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形 C2A3B3，等边三角形C3A4B4……则点A2024的 横坐标为 ⁠. ​ 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： ∵ 直线l：y＝ x－ 与x轴正半轴交于点 A1，∴ 令y＝0，即 x－ ＝0.∴ x＝1.∴ 点A1的 坐标为（1，0）.∴ OA1＝1.如图，过点B1作 B1M⊥x轴于点M，过点B2作B2N⊥x轴交A2C1于 点D，交x轴于点N. 第4题 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵ △A1B1O为等边三角形，B1M⊥OA1，∴ OB1＝OA1＝1，OM＝ OA1＝ .在Rt△OB1M中，B1M＝ ＝ ＝ .∴ B1（ ， ）.当y＝ 时， ＝ x－ ，解得x＝ ， ∴ A2 ， ，DN＝ ，A2C1＝ . ∵ △C1A2B2是等边三角形，B2D⊥A2C1， ∴ B2C1＝A2C1＝ ，C1D＝ A2C1＝ . 在Rt△B2C1D中， 第4题 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B2D＝ ＝ ＝ .∴ B2N＝B2D＋DN ＝ ＋ ＝ .∴ 当y＝ 时， ＝ x－ ，解得x＝ ， ∴ A3 .∵ ＝ ， ∴ 同理，得点A4的横坐标为 . ∴ 点An的横坐标为 . ∴ 点A2024的横坐标为 . 第4题 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. （2024·凉山，8分）阅读材料，并解决问题： 如图所示为一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1个点，第二行有2个点……第n行有n个点.容易发现，三角点阵中前4 行的点的个数之和为10. 第5题 （1） 【探索】三角点阵中前8行的点的个数之和为 ，前15行的点的个数之和为 ，那么，前n行的点的个数之和为 ⁠； 36 120 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： （1） 观察题图可知，三角点阵中第1行的点的个数为1，前2行 的点的个数之和为1＋2＝3，前3行的点的个数之和为1＋2＋3＝6，前4 行的点的个数之和为1＋2＋3＋4＝10……∴ 三角点阵中前n行的点的个 数之和为1＋2＋3＋…＋n＝ .当n＝8时， ＝36，即 三角点阵中前8行的点的个数之和为36.当n＝15时， ＝120， 即三角点阵中前15行的点的个数之和为120. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 【体验】三角点阵中前n行的点的个数之和 （填 “能”或“不能”）为500； 解析： （2） 令 ＝500，解得n1＝ ，n2＝ . ∵ n为正整数，∴ 三角点阵中前n行的点的个数之和不能为500. 不能 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 【运用】某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用 420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 解：（3） 由题意可知，前n排花的总盆数可表示为n（n＋1）.令n（n＋1）＝420，解得n1＝－21，n2＝20. ∵ n为正整数，∴ 一共能摆放20排 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 核心素养二 运算能力 6. （2024·宜宾，5分）计算： （－2）0＋2 sin 30°－｜2－ ｜. 解：原式＝1＋2× －2＋ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. （2024·眉山，8分）解不等式 －1≤ ，并把它的解集表示在数 轴上. 第7题 解：去分母，得2（x＋1）－6≤3（2－ x）；去括号，得2x＋2－6≤6－3x；移 项，得2x＋3x≤6＋6－2；合并同类 项，得5x≤10；系数化为1，得x≤2.解 集在数轴上表示如图所示 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. （2024·上海，10分）解方程组： 𝒙𝟐＝−𝟔， 𝒚𝟐=𝟔 解：由①，得（x－4y）（x＋y）＝0，解得x＝4y或x＝－y.把x＝ 4y代入②，得4y＋2y＝6，解得y＝1，∴ x＝4×1＝4.把x＝－y代入 ②，得－y＋2y＝6，解得y＝6，∴ x＝－6.∴ 方程组的解是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. （2024·达州，6分）先化简（ － ）÷ ，再从－2，－1， 0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值. 解：原式＝ · ＝ · ＝ · ＝ .∵ x－2≠0且x＋2≠0且x2＋ x≠0，∴ x≠2且x≠－2且x≠0且x≠－1.∴ x可以取1.当x＝1时，原 式＝ ＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 核心素养三 模型观念 10. （2024·广州，10分）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面 的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据， 通过对数据的整理和分析，发现身高y（单位：cm）和脚长x（单位： cm）之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 … 身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 … （1） 在图中描出表中数据对应的点（x，y）并连接各点； 解：（1） 如图 第10题 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 根据表中数据，从y＝ax＋b（a≠0）和y＝ （k≠0）中选择 一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个 函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； 解：（2） 观察图象可知，在第一象限内，y随x的增大而增大，∴ y关 于x的函数解析式不可能是y＝ .故选一次函数y＝ax＋b（a≠0）， 将（23，156），（24，163）代入，得 解得∴ 这个函数的解析式为 y＝7x－5.经检验，其余点均在一次函 数y＝7x－5的图象上 第10题 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中 求出的函数解析式，估计这个人的身高. 解：（3） 在y＝7x－5中，当x＝25.8时，y＝7×25.8－5＝175.6， ∴ 估计这个人的身高为175.6cm 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （2024·通辽，8分） 【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料 及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面， 制作出精美的花折伞. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1） 【模型建立】 如图①，从花折伞中抽象出“伞形图”，AM＝AN，DM＝DN. 求 证：∠AMD＝∠AND. 解：（1） 证明：在△ADM和△ADN中， ∴ △ADM≌△ADN. ∴ ∠AMD＝∠AND 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 【模型应用】 如图②，在△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D. 有下面两个 条件：① ∠AMD＝2∠C；② AC＝AM＋MD. 请你从中选择一个作为 已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程（注：只需选 择一种情况作答）. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：（2） 答案不唯一，如选择①为条件，②为结论　证明：在AC上 取点N，使AN＝AM，连接DN. ∵ AD平分∠MAC，∴ ∠DAM＝ ∠DAN. 在△ADM和△ADN中， ∴ △ADM≌△ADN. ∴ MD＝DN，∠AMD＝ ∠AND. ∵ ∠AMD＝2∠C，∴ ∠AND＝2∠C. 又∵ ∠AND＝ ∠CDN＋∠C，∴ ∠CDN＝∠C. ∴ DN＝CN. ∴ MD＝CN. ∵ AC ＝AN＋CN，∴ AC＝AM＋MD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 【拓展提升】 如图③，AC为☉O的直径， ＝ ，∠BAC的平分线AD交BC于点 E，交☉O于点D，连接CD. 求证：AE＝2CD. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：（3） 证明：如图，连接BD，取AE的中点F，连接BF. ∵ AD为∠BAC的平分线，∴ ∠BAD＝∠CAD. ∴ 易得 ＝ .∴ BD＝CD. ∴ ∠BCD＝∠CBD. ∵ AC为☉O的直径，∴ ∠ABC＝90°. ∵ F是AE的中点，∴ BF＝ AE＝AF. ∴ ∠ABF＝∠BAF. ∵∠BAF＝∠BCD，∴ ∠ABF＝∠CBD. ∵ ＝ ，∴ AB＝BC. 在△ABF和△CBD中，∴ △ABF≌△CBD. ∴ AF＝CD. ∴ AE＝2AF＝2CD 第11题 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 核心素养四 数据观念 12. （2024·青海，9分）为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青 和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从操作规范性和 书写准确性两方面整理描述，部分信息如下： 第12题 ① 操作规范性： ② 书写准确性（单位：分）： 小青：1，1，2，2，2，3，1，3，2，1； 小海：1，2，2，3，3，3，2，1，2，1. ③ 操作规范性和书写准确性的得分统计量的统计表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 统计量同学 操作规 范性平 均数/分 操作规 范性方 差/分2 书写准 确性平 均数/分 书写准 确性中 位数/分 小青 4 1.8 a 小海 4 b 2 根据以上信息，回答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1） 表格中的a＝ ，比较 和 的大小： ⁠； 解析： （1） 将小青的书写准确性得分（单位：分）按从低到高的顺序排列：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，第5，6个为2分、2分， ∴ 中位数为2分，即a＝2.观察题图可知，小海的操作规范性得分的 波动程度小于小青，∴ ＞ . 2 ＞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第12题 （2） 计算表格中b的值； 解：（2） 小海的书写准确性得分的平均数为 ×（1＋2＋2＋3＋3＋3 ＋2＋1＋2＋1）＝2（分），即b＝2 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价； 解：（3） 从操作规范性来分析，小青和小海的平均得分相等，但是小 海的方差小于小青的方差，所以小海在物理实验操作中发挥较稳定；从 书写准确性来分析，小海的平均得分比 小青的平均得分高，小青和小海的中位 数相等，所以小海在物理实验中书写更 准确；从两个方面综合分析，小海的操 作更稳定，并且书写的准确性更高，所 以小海的综合成绩更好（合理即可） 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （4） 为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些 方面. 解：（4） 熟悉实验方案和操作流程，注意仔细观察实验现象和结果 （合理即可） 第12题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$2025年河南省中考数学专题特训 核心素养特训（一） 核心素养一 抽象能力 1. （2024·长春，7分）如图①②③均是3×3的正方形网格，每个小正方 形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B均在格点上， 只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD， 使其是轴对称图形且点C，D均在格点上. 第1题 1 2 3 4 5 6 7 （1） 在图①中作面积为2的四边形ABCD； 解：（1） 答案不唯一，如图①，四边形ABCD即为所求 第1题 第1题 （2） 在图②中作面积为3的四边形ABCD； 解：（2） 答案不唯一，如图②，四边形ABCD即为所求 （3） 在图③中作面积为4的四边形ABCD. 解：（3） 答案不唯一，如图③，四边形ABCD即为所求 1 2 3 4 5 6 7 2. （2024·吉林，7分）如图①②均是4×4的正方形网格，每个小正方形 的顶点称为格点.点A，B，C，D，E，O均在格点上.图①中已画出 四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的☉O. 只用无刻度的直尺， 在给定的网格中按要求画图. 第2题 1 2 3 4 5 6 7 （1） 在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴； 解：（1） 答案不唯一，如图① （2） 在图②中，画出经过点E的☉O的切线. 解：（2） 如图② 第2题 第2题 1 2 3 4 5 6 7 3. （2024·无锡，10分） 【操作观察】如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝ 90°，BC＝8，AB＝12，AD＝13.折叠四边形纸片ABCD，使得点C 的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为B'，折痕与AB，CD分别 交于点M，N. 【解决问题】 第3题 1 2 3 4 5 6 7 （1） 当点C'与点A重合时，求B'M的长； 解：（1） 连接AC，CM. 当点C'与点A重合时，由折叠的性质，得 MN垂直平分AC，B'M＝BM，∴ AM＝CM. 设B'M＝BM＝x，则 AM＝CM＝AB－BM＝12－x.∵ ∠ABC＝90°，∴ BM2＋BC2＝ CM2，即x2＋82＝（12－x）2，解得x＝ .∴ B'M＝ 第3题 1 2 3 4 5 6 7 （2） 设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AFC'＝∠ADC时，求AC' 的长. 第3题 1 2 3 4 5 6 7 解：（2） 过点C作CH⊥AD于点H，则∠AHC＝∠DHC＝90°. ∵ ∠ABC＝90°，AD∥BC，∴ ∠BAD＝180°－∠ABC＝90°. ∴ 四边形ABCH是矩形.∴ AB＝CH＝12，AH＝BC＝8.∴ DH＝AD－AH＝13－8＝5.∴ tan∠ADC＝ ＝ .① 当点F在线段AB上时， 如图①.∵ ∠AFC'＝∠ADC，∴ tan∠AFC'＝tan∠ADC＝ .设AF＝5x，则AC'＝AF·tan∠AFC'＝12x. ∵ ∠A＝90°，∴ C'F＝ ＝13x.由折叠的性质，得B'C'＝BC＝8， ∠B'＝∠B＝90°，BM＝B'M. 第3题 1 2 3 4 5 6 7 ∴ B'F＝B'C'－C'F＝8－13x.∵ ∠B'FM＝∠AFC'， ∴ tan∠B'FM＝tan∠AFC'＝ .∴ B'M＝B'F·tan∠B'FM＝ （8－13x）.∴ BM＝B'M＝ （8－13x）.∵ ∠B'＝90°， ∴ FM＝ ＝ （8－13x）.∵ AF＋FM＋BM＝AB， ∴ 5x＋ （8－13x）＋ （8－13x）＝12， 解得x＝ .∴ AC'＝12x＝ .② 当点F在线 段BA的延长线上时，如图②. 第3题 1 2 3 4 5 6 7 ∵ ∠BAD＝90°，∴ ∠FAC'＝180°－∠BAD＝90°.∵ tan∠AFC' ＝ ，∴ 设AF＝5y，则AC'＝AF·tan∠AFC'＝12x.∵ ∠FAC'＝90°， ∴ C'F＝ ＝13x.∴ B'F＝C'F－B'C'＝13x－8. ∵ ∠MB'C'＝90°，∴ ∠MB'F＝180°－∠MB'C'＝90°. ∴ B'M＝B'F·tan∠B'FM＝ （13x－8）.∴ FM＝ ＝ （13x－8），BM＝B'M＝ （13x－8）.∵ FB＝AF＋AB＝BM＋FM，∴ 5x＋12＝ （13x－8）＋ （13x－8），解得x＝ .∴ AC'＝12x＝ . 综上所述，AC'的长为 或 第3题 1 2 3 4 5 6 7 11 核心素养二 几何直观 4. （2024·通辽，10分）数学活动课上，某小组将一块含45°角的三角 尺AEF和一块正方形纸板ABCD按如图①所示的方式摆放，AE＝1， AB＝2.将三角尺AEF绕点A按逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°），观 察图形的变化，完成探究活动. 【初步探究】 如图②，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M. 第4题 1 2 3 4 5 6 7 （1） BE和DF的数量关系是 ，位置关系 是 ⁠. 解析：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠BAD＝90°. ∵ △AEF是含有45°角的直角三角形，∴ △AEF是等腰直角三角形. ∴ AE＝AF，∠EAF＝90°.∴ ∠BAD－∠DAE＝∠EAF－ ∠DAE，即∠BAE＝∠DAF. 又∵ AE＝AF，AB＝AD，∴ △ABE≌△ADF. ∴ BE＝DF，∠ABE＝∠ADF. ∵ ∠AMB＝ ∠DMG，∠ABE＋∠AMB＋ ∠BAM＝∠ADF＋∠DMG＋ ∠G＝180°，∴ ∠G＝∠BAM ＝90°，即BE⊥DF. BE＝DF BE⊥DF 第4题 1 2 3 4 5 6 7 （2） 如图③，连接BD，O是BD的中点，连接OA，OG. 求证：OA ＝OD＝OG. 解：（2） 证明：∵ ∠BAD＝90°，O是BD的中点，∴ OA＝ BD＝OD. 由（1），得∠BGD＝90°，∴ OG＝ BD＝OD. ∴ OA＝OD＝OG 【深入探究】 运用（1）中的结论解决下面的问题. 第4题 1 2 3 4 5 6 7 （3） 如图④，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路 线的长度. 【尝试应用】 解：（3）点G经过路线的长度为 π　 【解析】 由（2）可知，OA＝OD＝OG，∴ 点G的运动轨迹是以点O为圆心、OA长为半径的弧.如图，连接OA，OG. ∵ 旋转角α从0°变化到60°，∴ 点G的运动路线就是 .∵ cos ∠BAE＝ cos 60°＝ ， ＝ ，∴ 易得∠AEB＝90°. 第4题 第4题 第4题 1 2 3 4 5 6 7 ∴ ∠ABE＝90°－∠BAE＝30°.∵ 四边形ABCD是正 方形，O是BD的中点，∴ OA＝OB，∠AOB＝90°， ∠ABD＝45°.∴ ∠OBG＝∠ABD－∠ABE＝45°－ 30°＝15°.∵ OB＝OA＝OG，∴ ∠OBG＝∠OGB＝ 15°.∴ ∠DOG＝∠OBG＋∠OGB＝30°.∴ ∠AOG＝ 180°－∠AOB－∠DOG＝60°.在Rt△AOB中，OA＝ AB· sin ∠ABO＝2× ＝ .∴ 的长度为 ＝ π，即点G经过路线的长度为 π. 第4题 第4题 1 2 3 4 5 6 7 5. （2024·吉林，8分）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关 联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1） 如图①，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D. 若CD ＝2，BD＝1，则S△ABC＝ ⁠. 解析： （1） ∵ AB＝AC，BD⊥AC，∴ AC＝2CD＝4.∴ S△ABC＝ AC·BD＝ ×4×1＝2. 2 第5题 1 2 3 4 5 6 7 （2） 如图②，在菱形A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，则S菱形A'B'C'D' ＝ ⁠. 解析： （2） S菱形A'B'C'D'＝ A'C'·B'D'＝ ×4×2＝4. 4 第5题 1 2 3 4 5 6 7 第5题 （3） 如图③，在四边形EFGH中，EG⊥FH，垂足为O. ① 若EG＝5，FH＝3，则S四边形EFGH＝ ⁠； ② 若EG＝a，FH＝b，猜想S四边形EFGH与a，b的关系，并证明你的猜想. 解析： （3） ∵ EG⊥FH，∴ S△EFG＝ EG·FO，S△EHG＝ EG·HO. ∴ S四边形EFGH＝S△EFG＋S△EHG＝ EG·FO＋ EG·HO＝ EG·FH＝ ×5×3＝ . ② 猜想：S四边形EFGH＝证明：∵ S△EFG＝ EG·FO，S△EHG＝ EG·HO，∴ S四边形EFGH＝S△EFG＋S△EHG＝ EG·FO＋ EG·HO＝ EG·FH＝ ​ 1 2 3 4 5 6 7 19 （4） 如图④，在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，P为边MN 上一点.小明利用直尺和圆规分四步作图： ① 以点K为圆心、适当长为半径画弧，分别交边KN，KM于点R，I； ② 以点P为圆心、KR长为半径画弧，交线段PM于点I'；③ 以点I'为 圆心、IR长为半径画弧，交前一条弧于点R'，点R'，K在MN同侧；④ 过点P画射线PR'，在射线PR'上截取PQ＝KN，连接KP，KQ，MQ. 请你直接写出S四边形MPKQ的值. 【理解运用】 第5题 1 2 3 4 5 6 7 解：（4）S四边形MPKQ＝10 【解析】由尺规作图可知，∠QPM＝∠MKN. 在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，∴ MK2＝MN2＋KN2.∴ △MNK是直角三角形，且 ∠MNK＝90°.∴ ∠NMK＋∠MKN＝90°.∵ ∠QPM＝∠MKN， ∴ ∠NMK＋∠QPM＝90°.∴ MK⊥PQ. ∵ PQ＝KN＝4，MK＝5， ∴ 由（3）可知，S四边形MPKQ＝ MK·PQ＝ ×5×4＝10. 1 2 3 4 5 6 7 6. （2024·湖南，10分） 【问题背景】已知A是半径为r的☉O上的定点，连接OA，将线段OA 绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点 A作☉O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 解析：∵ α＝60°，OA＝OE，∴ △OAE是等边三角形.∴ ∠OAE＝ 60°.∵ AC与☉O相切，∴ OA⊥AC. ∴ ∠OAC＝90°.∴ ∠CAE＝ ∠OAC－∠OAE＝30°. （1） 【初步感知】 如图①，当α＝60°时，∠CAE＝ ⁠. 30° 第6题 1 2 3 4 5 6 7 ① 如图②，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC ＝CD＋ED总成立； ② 如图③，当AC＝ r， ＝ 时，请补全图形，并求tanα及 的值. （2） 【问题探究】 以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角 线AC，BD相交于点F. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 解：（2） ① 证明：∵ 四边形ABCD是矩形，AC＝2r， ∴ OA＝OE＝CF＝DF＝r，AD＝BC，∠ADC＝ 90°.∵ ∠OAC＝∠ADC＝90°，∴ ∠OAE＋∠CAD ＝∠ACD＋∠CAD＝90°.∴ ∠OAE＝∠ACD. ∵ OA ＝OE，CF＝DF，∴ ∠OAE＝∠OEA＝∠FCD＝ ∠CDF. 在△OAE和△FCD中， 第6题 第6题 1 2 3 4 5 6 7 ∴ △OAE≌△FCD. ∴ AE＝CD. ∵ AD＝AE＋ED，∴ BC＝CD＋ED. ∴ 无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD＋ED总成立　② 解：补全图形如图，连接OC，过点O作OH⊥AD于点H. ∵ ∠OAC＝90°，AC＝ r，∴ tan∠AOC＝ ＝ .设OA＝3m，则AC＝ r＝4m.∴ OC＝ ＝5m.∵ ＝ ，OE＝OA＝3m，∴ CE＝2m.∵ OE＋CE＝5m＝OC， ∴ 点E在线段OC上. ∴ tanα＝tan∠AOC＝ .∵ OH⊥AE， ∴ AH＝EH，∠OHE＝90°. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD. ∴ ∠OHE＝∠D. 又∵ ∠OEH＝∠CED，∴ △OEH∽△CED. ∴ ＝ ＝ .设EH＝AH＝3a，则ED＝2a.∴ AD＝AH＋EH＋ED＝8a. 在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝16m2－64a2.在Rt△CED中，CD2 ＝CE2－ED2＝4m2－4a2.∴ 16m2－64a2＝4m2－4a2，解得a＝ m （负值舍去）.∴ BC＝AD＝ m， AB＝CD＝ ＝ m. ∴ ＝ ＝ 第6题 1 2 3 4 5 6 7 7. （2024·广元，10分）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质 发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值 叫做介质 的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质 对光作用的一种特征. 核心素养三 空间观念 （1） 若光从真空射入某介质，入射角为α， 折射角为β，且 cos α＝ ，β＝30°，求该 介质的折射率. 第7题 1 2 3 4 5 6 7 解：（1） ∵ cos α＝ ，∴ 如图，在直角三角形中，设b＝ x，则 c＝4x.∴ a＝ ＝ ＝3x.∴ sin α＝ ＝ ＝ .又∵ β＝30°，∴ sin β＝ sin 30°＝ .∴ 该介质的折射率为 ＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 （2） 现有一个与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①，A，B， C，D分别是长方体棱的中点，光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线的交 点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出.如图②，α＝60°，CD＝ 10cm，求截面ABCD的面积. 第7题 1 2 3 4 5 6 7 解：（2） ∵ α＝60°，折射率为 ，∴ ＝ ＝ .∴ sin β＝ .由题意，得四边形ABCD是矩形，O是AD的中点，∴ AD＝2OD， ∠D＝90°.易得∠OCD＝β，∴ sin ∠OCD＝ sin β＝ .在Rt△ODC 中，设OD＝ x，OC＝3x，则CD＝ ＝ ＝ x.∴ tan∠OCD＝ ＝ . ∴ OD＝CD× ＝10× ＝5 （cm）.∴ AD＝2OD ＝10 cm.∴ 截面ABCD的面积为AD·CD＝10 ×10＝100（cm2） 第7题 1 2 3 4 5 6 7 31 $$