精品解析：河北省承德市双滦区实验中学2024--2025学年高二上学期12月份月考数学试卷

河北承德双滦区实验中学 2024—2025学年第一学期高二数学12月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知直三棱柱中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，则与的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知双曲线：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 24 D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的一个焦点为 C. 椭圆的短半轴长为6 D. 椭圆的离心率为 10. 已知直线，（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则或 D. 直线始终过定点 11. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则＝______ 13. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为_______． 14. 已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为_________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 给出两条直线：，：，其中． （1）当m为何值时，与重合？ （2）设，求m； （3）设与相交，求m的取值范围； （4）求m的值，使得． 16. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 17. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 双曲线的左、右焦点分别为， （1）已知焦距为8，离心率为2，求双曲线标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. （2）已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）若点，分别是直线，上的动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北承德双滦区实验中学 2024—2025学年第一学期高二数学12月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知直三棱柱中，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【详解】因为直三棱柱中，，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设与所成角大小为， 则. 故选：D 2. 圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的标准方程化到一般方程，再作选择即可. 【详解】圆心为点，半径的平方为5的圆的标准方程为， 展开化为一般方程为． 故选：B． 3. 已知直线，则与的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意得，与的距离， 故选：C 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标. 【详解】抛物线的标准形式为.则焦点坐标为：. 故选：A. 5. 已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所过点以及倾斜角直接写出直线方程. 【详解】因为直线过点，且倾斜角是，所以，即， 故选：C. 6. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可. 【详解】 如图，以为原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下所示： 易知，，; 取， ， 则， 所以点到直线的距离为． 故选：C. 7. 已知双曲线：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可求出，即可得到双曲线的标准方程. 【详解】由题意得，，， ∵， ∴，故双曲线的标准方程为. 故选：B. 8. 已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 24 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题目条件得到四边形为矩形，即⊥，由勾股定理和椭圆定义得到方程组，求出，得到答案. 【详解】椭圆中，， 因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以， 又，故四边形为平行四边形， 又，故四边形为矩形，即⊥， 由勾股定理得①， 由椭圆定义得②， 式子②平方得， 结合①得， 故四边形的面积为. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的一个焦点为 C. 椭圆的短半轴长为6 D. 椭圆的离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解. 【详解】因为，且椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的长轴长为，焦点坐标为，短半轴长为3，离心率． 故选：AD. 10. 已知直线，（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则或 D. 直线始终过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的斜率即可判断A，根据平行和垂直在直线一般式满足的系数关系即可判断BC，将变形为：，即可求解定点判断D. 【详解】对于A，当时，直线：， 故斜率，则倾斜角为120°，故A错误， 对于B，等价于，解得，故B正确， 对于C，若，且，故，故C错误， 对于D，：变形为：， 令且，解得，故恒过，故D正确， 故选：BD. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，共15分 12. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则＝______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用点的位置特点及双曲线定义求出结果. 【详解】由点在双曲线：上，得，解得， 即双曲线方程为，显然点在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 13. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先设出点的坐标，然后列出等式，最后化简所得的等式可得轨迹方程. 【详解】由题意可设点，由，，，得， 化简得，即. 故答案为：. 14. 已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为_________ 【答案】. 【解析】 【分析】先根据抛物线的定义得出及，再把点代入求参即可得出抛物线方程. 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 给出两条直线：，：，其中． （1）当m为何值时，与重合？ （2）设，求m； （3）设与相交，求m的取值范围； （4）求m的值，使得． 【答案】（1）； （2） （3）且 （4） 【解析】 【分析】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与相交； （4）与垂直. 【小问1详解】 由，解得，所以当时，与重合. 【小问2详解】 由，解得，所以时，与平行. 【小问3详解】 当，即且时，与相交. 【小问4详解】 当时，即时，与相垂直. 16. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解； （2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可. 【小问1详解】 ∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． 【小问2详解】 由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 17. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因平面平面，平面平面, 由底面是正方形，可知,且平面,则平面， 又平面，故； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直证平面，利用线面垂直的性质易得； （2）依题建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）利用（2）中建系，分别求出两个半平面的法向量，再根据空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，分别取的中点为，连接. 因，则, 因平面平面，平面平面, 且平面，则平面， 又,故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 于是，, 设平面的法向量为， 则，故可取； 因,设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）建系，则, 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 双曲线的左、右焦点分别为， （1）已知焦距为8，离心率为2，求双曲线标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. （2）已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 【答案】（1）双曲线标准方程为：，该双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件依次求出c，a，b，然后可得标准方程，再直接写出相关结果. （2）由双曲线方程，结合已知列式求出a，b即可. 【小问1详解】 由双曲线的焦距为8，得，由离心率为2，得，则， 所以双曲线标准方程为：，该双曲线的顶点坐标为， 焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为. 【小问2详解】 依题意，，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）若点，分别是直线，上的动点，求的最小值. 【答案】（1）证明:因为，，，是的中点， 所以，两边平方，得， 即，得， 所以. 又平面，所以，，两两垂直., 如图，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 所以，， 所以， 所以. 由题意，知平面的一个法向量是. 易得，. 设平面的法向量是，则即 令，得，所以平面的一个法向量是， 所以， 由图，知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （2） （3） 【解析】 【分析】根据题意可得到，又平面，可以建立空间直角坐标系，利用数量积可得证. 求得平面的法向量，易得平面的一个法向量是，利用夹角公式求. 利用得点，得点，根据两点间距离公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为点N，Q分别是直线，上的动点， 设，，则，所以. 设，，则，所以， 所以 所以当，时，取得最小值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $