2025年中考数学一轮复习讲义：专题十八：矩形、菱形、正方形

初中一轮 知识串讲 图形与几何部分 专题十八:矩形、菱形、正方形 专题十八:矩形、菱形、正方形 1.掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质; 2.了解平行四边形、矩形、菱形、正方形形之间的关系; 3.探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条条件. 考点1: 矩形的性质 性质:矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,�还具有自己独特的性质: ① 边的性质:对边平行且相等. ② 角的性质:四个角都是直角. ③ 对角线性质:对角线互相平分且相等. ④ 对称性:矩形是中心对称图形,也是轴对称图形. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形中,角所对的边等于斜边的一半. 点评:这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得,用三角形知识也可推得. 考点2: 矩形的判定 判定①:有一个角是直角的平行四边形是矩形. 判定②:对角线相等的平行四边形是矩形. 判定③:有三个角是直角的四边形是矩形. 考点3: 菱形的性质 (1) 菱形的四条边都相等; (2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。 考点4: 菱形的判定定理 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形; (3)四条边相等的四边形是菱形。 考点5: 菱形的面积 S=ah=mn/2(菱形底边长为a,高为h,两条对角线长分别为m和n) 考点6: 正方形的性质 1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 2、正方形的四个角都是直角,四条边都相等。 3、正方形对边平行且相等。 4、正方形的对角线互相垂直平分且相等,对角线平分对角; 5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形; 6、正方形既是中心对称图形,也是轴对称图形. 考点7: 正方形的判定: (1)有一个角是直角的菱形是正方形; (2)对角线相等的菱形是正方形; (3)一组邻边相等的矩形是正方形; (4)对角线互相垂直的矩形是正方形; (5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形; (6)四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形. 正方形的面积公式:面积=边长 边长=对角线 对角线 命题点1:矩形的相关证明与计算 1.如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为( ) A. B.3 C. D. 2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若∠AOB=60 ,则=( ) A. B. C. D. 3.如图,四边形ABCD是矩形,分别以点B,D为圆心,线段BC,DC长为半径画弧,两弧相交于点E,连接BE,DE,BD.若AB=4,BC=8,则∠ABE的正切值为( ) A. B. C. D. 4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=3,BC=4,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为( ) A. B. C. D. 5.如图,点E、F分别在矩形ABCD的边AB、BC上,且∠EFD=90 ,若BF=3,BE=4,CD=9,则FC的长为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 6.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是( ) A.2 B.4 C. D. 7.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥BD,交BC于点E,若CO=,CE=1,则BE的长为 . 8.已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,当点P运动 秒时, ABP和 DCE全等. 9.如图,在 ABC中,∠C=90 ,AC=6,BC=8,点D在AB边上,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为点E、F,连接EF,则线段EF的最小值等于 . 10.如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项中①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4,选择一个合适的选项作为已知条件,使 ABCD为矩形. (1)你添加的条件是 (填序号); (2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形. 11.如图,在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF, ∠ACF=90 . (1)求证:四边形ACFD是矩形; (2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积. 12.如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90 ,OB=OC,点E、F分别是AO、DO的中点. (1)求证:OE=OF; (2)当∠A=30 时,求证:四边形BECF是矩形. 命题点2:菱形的证明与计算 13.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60 ,则AC的长为( ) A. B.1 C. D. 14.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是AC,AB的中点,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 15.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( ) A.4 B.2.4 C.4.8 D.5 16.如图,两张宽为3的长方形纸条叠放在一起,已知∠ABC=60 ,则阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 17.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为边BC的中点,连结OE.若AC=6,BD=8,则OE=( ) A.2 B. C.3 D.4 18.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠A=120 ,顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H,则四边形EFGH的周长为( ) A. B. C. D. 19.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF,使点D,E,F分别在边OC,OB,BC上,过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC,∠BOC=30 ,DE=2时,EH的长为( ) A. B. C. D. 20.如图,在菱形ABCD中,∠B=45 ,E、F分别是边CD,BC上的动点,连接AE、EF,G、H分别为AE、EF的中点,连接GH.若GH的最小值为3,则BC的长 . 21.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E为AB的中点,点F在OD上,DF=OF,连接EF交OA于点G,若OG=1,连接CE,S BEC=12,则线段CE的长为 . 22.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB中点,连结CE. (1)求证:四边形AECD为菱形; (2)若∠D=120 ,DC=2,求 ABC的面积. 23.如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF. (1)求证:AE∥BF; (2)若DF=FC时,求证:四边形DECF是菱形. 24.如图,平行四边形ABCD中,AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线,且E、F分别在边BC、AD上,AE= AF. (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)若∠ABC=60 , ABE的面积等于,求平行线AB与DC间的距离. 25.如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN. (1)求证:∠DMN=∠BNM; (2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形. 26.如图, ABC中,点D是AB上一点,点E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F. (1)求证:AD=CF; (2)连接AF,CD.如果点D是AB的中点,那么当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形,证明你的结论. 27.将两张长为8,宽为4的矩形纸片如图叠放. (1)判断四边形AGCH的形状,并说明理由; (2)求四边形AGCH的面积. 命题点3:正方形的相关证明与计算 28.如图1,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15 ,则∠AED的度数为( ) A.80 B.90 C.105 D.115 29.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形: a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件:①a c d②b d c③a b c 则正确的是( ) A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 30.如图所示,在正方形ABCD中,O是对角线AC、BD的交点,过O作OE⊥OF,分别交AB、BC于E、F,若 AE=4,CF=3,则EF的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 31.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG,下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF;④∠EAG=30 ,其中正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③ 32.已知:如图,正方形ABCD中,AB=4,AC,BD相交于点O,E,F分别为边BC,CD上的动点(点E,F不与线段BC,CD的端点重合)且BE=CF,连接OE,OF,EF.在点E,F运动的过程中,有下列四个结论: ① OEF始终是等腰直角三角形;② OEF面积的最小值是2;③至少存在一个 ECF,使得 ECF的周长是;④四边形OECF的面积始终是4.所有正确结论的序号是( ) A.①②③ B.③④ C.①②④ D.①②③④ 33.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E,F分别为边AB,BC的中点,连接AF,DE,点G,H分别为DE,AF的中点,连接GH,则GH的长为( ) A. B.1 C. D.2 34.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,已知BC=1,CE=7,点H是AF的中点,则CH的长是( ) A.5 B.3.5 C.4 D. 35.如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A、点C到直线l的距离分别为1和2,则正方形的边长是 . 36.如图,在正方形ABCD中,AB=12,点E,F分别在边BC,CD上,AE与BF相交于点G,若BE=CF=5,则 BG的长为 . 37.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是边DC,CB上的动点,且始终满足DE=CF,AE,DF交于点P,则∠APD的度数为 ;连接CP,线段CP的最小值为 . 38.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA. 求证:四边形AECF是正方形. 39.【问题情境】:如图1,点E为正方形ABCD内一点,AE=2,BE=4,∠AEB=90 ,将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转 度(0≤ ≤180 )点B、E的对应点分别为点B′、E′. 【问题解决】: (1)如图2,在旋转的过程中,点B′落在了AC上,求此时CB′的长; (2)若 =90 ,如图3,得到 ADE′(此时B′与D重合),延长BE交DE′于点F, ①试判断四边形AEFE′的形状,并说明理由; ②连接CE,求CE的长; (3)在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中,直接写出线段CE′长度的取值范围. 40.综合与实践: 【思考尝试】(1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在矩形ABCD中,E是边AB上一点,DF⊥CE于点F,GD⊥DF,AG⊥DG,AG=CF,试猜想四边形ABCD的形状,并说明理由; 【实践探究】(2)小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图2,在正方形ABCD中,E是边AB上一点,DF⊥CE于点F,AH⊥CE于点H,GD⊥DF交AH于点G,可以用等式表示线段FH,AH,CF的数量关系,请你思考并解答这个问题; 【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形ABCD中,E是边AB上一点,AH⊥CE于点H,点M在CH上,且AH=HM,连接AM,BH,可以用等式表示线段CM,BH的数量关系,请你思考并解答这个问题. 参考答案 1.【答案】A 【解答】解:由题意,连接BM,记BD与MN交于点O. ∵线段MN垂直平分BD, ∴BO=DO,BM=DM. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC.∴∠MDO=∠NBO. 又∠DOM=∠BON, ∴ DMO≌ BNO(ASA). ∴DM=BN=BM=2. 在Rt BAM中, ∴AB=. ∴在Rt BAD中可得,BD=. 故选:A. 2.【答案】D 【解答】解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO, ∵∠AOB=60 , ∴ ABO是等边三角形, ∴∠BAO=60 ,∴∠ACB=30 , ∴BC=AB,∴=, 故选:D. 3.【答案】C 【解答】解:∵BE=BC,DE=CD,BD=BD, ∴ CBD≌ EBD(SSS), ∴∠CBD=∠EBD, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,AD=BC=8,∠A=90 , ∴∠ADB=∠CBD, ∴∠ADB=∠EBD, ∴OB=OD, 设AO=x,则OD=8﹣x, ∴OB=8﹣x, 由勾股定理得:AB2+AO2=OB2, ∴42+x2=(8﹣x)2,∴x=3, ∴tan∠ABE==. 故选:C. 4.【答案】C 【解答】解:∵AB=3,BC=4, ∴矩形ABCD的面积为12,AC=, ∴AO=DO=AC=, ∵对角线AC,BD交于点O, ∴ AOD的面积为3, ∵EO⊥AO,EF⊥DO, ∴S AOD=S AOE+S DOE,即3=AO EO+DO EF, ∴3= EO+ EF, ∴5(EO+EF)=12, ∴EO+EF=, 故选:C. 5.【答案】A 【解答】解:∵∠EFD=90 , ∴∠EFD=∠B=∠C=90 , ∴∠EFB+∠DFC=90 =∠DFC+∠FDC, ∴∠EFB=∠FDC, ∴ BEF∽ CFD, ∴,∴, ∴CF=12,故选:A. 6.【答案】C 【解答】解:如图: 当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1=DP1, 当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2=DP2, ∴P1P2∥CE且P1P2=CE. 当点F在EC上除点C、E的位置处时,有DP=FP. 由中位线定理可知:P1P∥CE且P1P=CF. ∴点P的运动轨迹是线段P1P2, ∴当BP⊥P1P2时,PB取得最小值. ∵矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为AB的中点, ∴ CBE、 ADE、 BCP1为等腰直角三角形,CP1=1. ∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45 ,∠DEC=90 . ∴∠DP2P1=90 . ∴∠DP1P2=45 . ∴∠P2P1B=90 ,即BP1⊥P1P2, ∴BP的最小值为BP1的长. 在等腰直角BCP1中,CP1=BC=1. ∴BP1=. ∴PB的最小值是. 故选:C. 7.【答案】2. 【解答】解:∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90 , ∴, ∴,∠EBO=∠ACB, ∵OE⊥BD, ∴∠BOE=∠CBA=90 , ∴ BOE∽ CBA, ∴即, 解得BE=2或BE=﹣3(舍去), 故答案为:2. 8.【答案】1或7. 【解答】解:设点P运动t秒时, ABP和 DCE全等. ∵AB=CD,∠ABP=∠DCE=90 ,BP=CE=2,根据SAS证得 ABP≌ DCE, 由题意得:BP=2t=2, ∴t=1, ∵AB=CD,若∠BAP=∠DCE=90 ,AP=CE=2,根据SAS证得 BAP≌ DCE, 由题意得:AP=16﹣2t=2, 解得t=7. 即当t的值为1或7秒时. ABP和 DCE全等. 故答案为:1或7. 9.【答案】4.8. 【解答】解:如图,连接CD. ∵∠ACB=90 ,AC=6,BC=8, ∴AB==10, ∵DE⊥AC,DF⊥BC,∠ACB=90 , ∴四边形CFDE是矩形,∴EF=CD, 由垂线段最短可得CD⊥AB时,线段EF的值最小, ∵S ABC=BC•AC=AB•CD, ∴ 8 6= 10 CD, 解得CD=4.8, ∴EF=4.8. 故答案为:4.8. 10.【答案】(1)①(或②);(2)见解析. 【解答】(1)解:①当∠1=∠2时, ABCD为矩形; ②当AM=DM时, ABCD为矩形, 故答案为:①(或②); (2)选择①∠1=∠2, 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,AB=DC, ∴∠A+∠D=180 , 在 ABM和DCM中, ∴ ABM≌DCM(SAS), ∴∠A=∠D, ∴∠A=∠D=90 , ∴ ABCD为矩形. 11.【答案】(1)证明过程见解答; (2)45. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE, ∵E为线段CD的中点, ∴DE=CE, ∴ ADE≌ FCE(AAS), ∴AE=FE, ∴四边形ACFD是平行四边形, ∵∠ACF=90 , ∴四边形ACFD是矩形; (2)解:∵四边形ACFD是矩形, ∴∠CFD=90 ,AC=DF, ∵CD=13,CF=5, ∴DF=, ∵ ADE≌ FCE, ∵ CEF的面积= ACF的面积= 5 12=15, 平行四边形ABCD的面积=BC•AC=5 12=60, ∴四边形ABCE的面积=平行四边形ABCD的面积﹣ CEF的面积=60﹣15=45. 12.如图,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90 ,OB=OC,点E、F分别是AO、DO的中点. (1)求证:OE=OF; (2)当∠A=30 时,求证:四边形BECF是矩形. 【答案】(1)见解析; (2)见解析. 【解答】证明:(1)∵∠ABO=∠DCO=90 , ∴AB∥CD, ∴∠A=∠D, 在 AOB与 DOC中, , ∴ AOB≌ DOC(AAS), ∴AO=DO, ∵点E、F分别是AO、DO的中点, ∴, ∴OE=OF; (2)∵OB=OC,OE=OF, ∴四边形BECF是平行四边形, ∵∠A=30 , ∴, ∵OE=OF, ∴, ∴∠EBF=90 , ∴四边形BECF是矩形. 13.【答案】D 【解答】解:如图,连接BD交AC于点O, ∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60 , ∴OA=OC,∠BAO=∠DAB=30 ,AC⊥BD, ∴∠AOB=90 , ∴OB=AB=, ∴OA==, ∴AC=2OA=, 故选:D. 14.【答案】A 【解答】解:∵E、F分别是AC、AB的中点, ∴EF是 ABC的中位线, ∴BC=2EF=2 3=6, ∴菱形ABCD的周长=4 6=24. 故选:A. 15.【答案】C 【解答】解:连接BD,交AC于O点, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD=5, ∴AC⊥BD,AO=AC,BD=2BO, ∴∠AOB=90 , ∵AC=6,∴AO=3, ∴BO==4,∴DB=8, ∴菱形ABCD的面积是 AC•DB= 6 8=24, ∴BC•AE=24, ∵BC=AB=5, ∴AE==4.8,故选:C. 16.【答案】D 【解答】解:过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F, ∵两条纸条宽度相同, ∴AE=AF. ∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵S ABCD=BC•AE=CD•AF. 又∵AE=AF. ∴BC=CD, ∴四边形ABCD是菱形, ,在Rt AEB中,∠AEB=90 ,∠ABC=60 ,AE=3cm, ∴AB=(cm), ∴BC=cm, ∴四边形ABCD的面积=AE•BC=cm2. 故选:D. 17.【答案】B 【解答】解:∵四边形ABCD是菱形, ∴OC=AC,OB=BD,AC⊥BD, ∵AC=6,BD=8, ∴OC=3,OB=4, ∴CB==5, ∵E为边BC的中点, ∴OE=BC=. 故选:B. 18.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠A=120 ,顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H,则四边形EFGH的周长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解答】解:连接AC、BD交于O, ∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120 , ∴∠ABC=60 , ∵AB=BC, ∴ ABC是等边三角形, ∴AC=AB=4, ∵∠AOB=90 , ∴∠ABO=30 ,BO=OD=, ∴BD=, ∵点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边的中点, ∴EF=GH=AC=2,FG=EH=BD=, ∴四边形EFGH的周长为:2+2++=4+. 故选:C. 19.【答案】C 【解答】解:∵四边形CDEF是菱形,DE=2, ∴CD=DE=CF=EF=2,CF∥DE,CD∥EF, ∵∠CBO=90 ,∠BOC=30 , ∴OD=2DE=4,OE=DE=, ∴CO=CD+DO=6, ∴BC=AB=CD=3,OB=BC=, ∵∠A=90 ,∴AO===, ∵EF∥CD,∴∠BEF=∠BOC=30 , ∴, ∵EH⊥AB,∴EH∥OA,∴ BHE∽ BAO, ∴,∴, ∴EH=,故选:C. 20.【答案】. 【解答】解:连接AF,∵G,H分别为AE,EF的中点, ∴GH∥AF,且, 要使GH最小,只要AF最小,当AF⊥BC时,AF最小, ∵GH的最小值为3,∴AF=6, ∵∠B=45 ,∴∠BAF=45 ,∴BF=AF=6, ∴, ∵四边形ABCD是菱形, ∴. 故答案为:. 21.【答案】. 【解答】解:作EM⊥OA于M, ∵四边形ABCD是菱形, ∴BD⊥OA,OD=OB,OA=OC, ∴EM∥OB, ∴AM:MO=AE:EB, ∵AE=BE,∴AM=OM, ∴EM是 ABO的中位线, ∴EM=, ∵DF=OF,∴OF=,∴EM=OF, ∵∠MEG=∠OFG,∠MGE=∠OGF, ∴ EMG≌ FOG(AAS), ∴MG=OG=1, ∴OM=2OG=2, ∴OA=2OM=4, ∴AC=2OA=8, ∵AE=BE, ∴ BAC的面积=2 BEC的面积=2 12=24, ∴AC•OB=24,∴OB=6,∴EM=OB=3, ∵CM=OM+OC=2+4=6, ∴CE==. 故答案为:. 22.【答案】(1)见解析过程;(2). 【解答】(1)证明:∵E为AB中点, ∴AB=2AE=2BE, ∵AB=2CD,∴CD=AE, 又∵AE∥CD, ∴四边形AECD是平行四边形, ∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠EAC, ∵AB∥CD,∴∠DCA=∠CAB, ∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD, ∴平行四边形AECD是菱形; (2)∵四边形AECD是菱形,∠D=120 , ∴AD=CD=CE=AE=2,∠D=120 =∠AEC, ∴AE=CE=BE,∠CEB=60 , ∴∠CAE=30 =∠ACE, CEB是等边三角形, ∴BE=BC=EC=2,∠B=60 , ∴∠ACB=90 ,∴AC=BC=, ∴S ABC= AC BC= 2 =. 23.【答案】(1)(2)证明见解析. 【解答】证明:(1)∵AD=BC, ∴AD+CD=BC+CD,∴AC=BD, ∵AE=BF,CE=DF, ∴ AEC≌ BFD(SSS), ∴∠A=∠B,∴AE∥BF; (2)∵ AEC≌ BFD(SSS), ∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF, ∵EC=DF,∴四边形DECF是平行四边形, ∵DF=FC,∴四边形DECF是菱形. 24.【答案】(1)证明见解析过程;(2). 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC, ∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线, ∴, ∴∠DAE=∠BCF, ∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB,∴∠BCF=∠AEB, ∴AE∥FC, ∴四边形AECF是平行四边形, ∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形; (2)解:连接AC, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB, ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠AEB, ∴AB=EB, ∵∠ABC=60 , ∴ ABE是等边三角形, ∴∠BAE=∠AEB=∠ABE=60 , ∵ ABE的面积等于, ∴,∴AB=4, 即AB=AE=EB=4, 由(1)知四边形AECF是菱形, ∴AE=CE=4, ∴∠EAC=∠ECA, ∵∠AEB是 AEC的一个外角, ∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=60 , ∴∠EAC=∠ECA=30 , ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90 , 即AC⊥AB, 由勾股定理得, 即平行线AB与DC间的距离是. 25.【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解答】证明:(1)连接BD,交AC于点O,如图: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD, ∵BM∥DN, ∴∠MBO=∠NDO, 又∠BOM=∠DON, ∴ BOM≌ DON(ASA), ∴BM=DN, ∴四边形BMDN为平行四边形, ∴BN∥DM, ∴∠DMN=∠BNM; (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥AD, ∴∠BCA=∠DAC, ∵∠BAC=∠DAC, ∴∠BAC=∠BCA, ∴AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∴MN⊥BD, ∴平行四边形BMDN是菱形. 26.【答案】(1)证明见解答过程; (2)当AC⊥BC时,四边形ADCF是菱形,证明见解答过程. 【解答】(1)证明:∵CF∥AB, ∴∠ADF=∠CFD,∠DAC=∠FCA, ∵点E是AC的中点, ∴AE=CE, ∴ ADE≌ CFE(AAS), ∴AD=CF; (2)解:当AC⊥BC时,四边形ADCF是菱形,证明如下: 由(1)知,AD=CF, ∵AD∥CF, ∴四边形ADCF是平行四边形, ∵AC⊥BC, ∴ ABC是直角三角形, ∵点D是AB的中点, ∴CD=AB=AD, ∴四边形ADCF是菱形. 27.【答案】(1)四边形AGCH是菱形,理由见解析过程;(2)20. 【解答】解:(1)四边形AGCH是菱形,理由如下: ∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形, ∴∠B=∠F=90 ,AD∥BC,AF∥CE, ∴四边形AGCH是平行四边形, ∵S平行四边形AGCH=GC•AB=AG•CF,AB=CF, ∴GC=AG, ∴平行四边形AGCH是菱形; (2)由①可知,GC=AG, 设GC=AG=x,则BG=8﹣x, 在Rt ABG中,AB=4, 由勾股定理得:42+(8﹣x)2=x2, 解得:x=5, ∴GC=5, ∴S菱形AGCH=GC•AB=5 4=20. 28.【答案】C 【解答】解:∵四边形ABCD为正方形, ∴OA=OD,∠OBC=∠OCB=∠OAD=∠ODA=45 , ∵EF∥BC, ∴∠OEF=∠OCB=45 ,∠OFE=∠OBC=45 , ∴∠OEF=∠OFE=45 , ∴∠AEF=∠DFE=135 ,OE=OF, ∵OA=OD, ∴AE=DF, 在 AEF和 DFE中, AE=DF,∠AEF=∠DFE=135 ,EF=FE, ∴ AEF≌ DFE(SAS), ∴∠CAF=∠FDE=15 , ∴∠ADE=∠ODA﹣∠FDE=45 ﹣15 =30 , ∴∠AED=180 ﹣∠OAD﹣∠ADE=180 ﹣45 ﹣30 =105 . 故选:C. 29.【答案】C 【解答】解:①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形,添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形,再添加d即一个角是直角的菱形是正方形,故①正确; ②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形,再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形,故②正确; ③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形,添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形,再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形,不能得到四边形是正方形,故③不正确; 故选:C. 30.【答案】C 【解答】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45 ,AC⊥BD, 又∵OE⊥OF, ∴∠EOB+∠BOF=90 =∠BOF+∠COF, ∴∠EOB=∠COF, ∴ BEO≌ CFO(ASA), ∴BE=CF=3, 又∵AB=BC, ∴AE=BF=4, ∴Rt BEF中,EF==5. 故选:C. 31.【答案】D 【解答】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90 , ∵E,F分别是AB,BC的中点, ∴BE=AB,CF=BC, ∴BE=CF, 在 CBE与 DCF中, , ∴ CBE≌ DCF(SAS), ∴∠ECB=∠CDF,CE=DF,故①正确; ∵∠BCE+∠ECD=90 , ∴∠ECD+∠CDF=90 , ∴∠CGD=90 , ∴CE⊥DF,故②正确; ∴∠EGD=90 , 延长CE交DA的延长线于H, ∵点E是AB的中点, ∴AE=BE, ∵∠AHE=∠BCE,∠AEH=∠CEB,AE=BE, ∴ AEH≌ BEC(AAS), ∴BC=AH=AD, ∵AG是斜边的中线, ∴AG=DH=AD, ∴∠ADG=∠AGD, ∵∠AGE+∠AGD=90 ,∠CDF+∠ADG=90 , ∴∠AGE=∠CDF.故③正确; ∵CF=BC=CD, ∴∠CDF≠30 , ∴∠ADG≠60 , ∵AD=AG, ∴ ADG不是等边三角形, ∴∠EAG≠30 ,故④错误; 故选:D. 32.【答案】D 【解答】解:①∵四边形ABCD是正方形,AC,BD相交于点O, ∴OB=OC,∠OBC=∠OCD=45 , 在 OBE和 OCF中, , ∴ OBE≌ OCF(SAS), ∴OE=OF, ∵∠BOE=∠COF, ∴∠EOF=∠BOC=90 , ∴ OEF是等腰直角三角形;故①正确; ②∵当OE⊥BC时,OE最小,此时OE=OF=BC=2, ∴ OEF面积的最小值是 2 2=2,故②正确; ③∵BE=CF, ∴CE+CF=CE+BE=BC=4, 假设存在一个 ECF,使得 ECF的周长是4+, 则EF=, 由①得 OEF是等腰直角三角形, ∴OE==. ∵OB=,OE的最小值是2, ∴存在一个 ECF,使得 ECF的周长是4+.故③正确; ④由①知: OBE≌ OCF, ∴S四边形OECF=S COE+S OCF=S COE+S OBE=S OBC=S正方形ABCD= 4 4=4, 故④正确; 故选:D. 33.【答案】C 【解答】解:连接AG并延长交CD于M,连接FM, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=CD=BC=4,AB∥CD,∠C=90 , ∴∠AEG=∠GDM,∠EAG=∠DMG, ∵G为DE的中点, ∴GE=GD, 在 AGE和MGD中, , ∴ AGE≌ MGD(AAS), ∴AG=MG,AE=DM=AB=CD, ∴CM=CD=2, ∵点H为AF的中点,∴GH=FM, ∵F为BC的中点, ∴CF=BC=2, ∴FM==, ∴GH=, 故选:C. 34.【答案】A 【解答】解:∵正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=7, ∴AB=BC=1,CE=EF=7,∠E=90 , 延长AD交EF于M,连接AC、CF, 则AM=BC+CE=1+7=8,FM=EF﹣AB=7﹣1=6,∠AMF=90 , ∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形, ∴∠ACD=∠GCF=45 , ∴∠ACF=90 , ∵H为AF的中点, ∴CH=AF, 在Rt AMF中,由勾股定理得:AF===10, ∴CH=5, 故选:A. 35.【答案】 【解答】解:∵∠CBF+∠FCB=90 , ∠CBF+∠ABE=90 , ∴∠ABE=∠FCB,同理∠BAE=∠FBC, ∵AB=BC, ∴ ABE≌ BCF(ASA) ∴BE=CF, 在直角 ABE中,AE=1,BE=2, ∴AB=. 故答案为:. 36.【答案】. 【解答】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABE=∠C=90 ,AB=BC, ∵BE=CF, ∴ ABE≌ BCF(SAS), ∴∠BAE=∠CBF, ∵∠CBF+∠ABG=90 , ∴∠BAE+∠ABG=90 , ∴∠BGE=90 , ∴∠BGE=∠C, 又∵∠EBG=∠FBC, ∴ EBG∽ FBC, ∴, ∵BC=AB=12,CF=BE=5, ∴BF===13, ∴,∴. 故答案为:. 37.【答案】90 ,. 【解答】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠ADE=∠DCF=90 , 在 ADE和 DCF中, , ∴ ADE≌ DCF(SAS), ∴∠DAE=∠CDF, ∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90 , ∴∠ADF+∠DAE=90 , ∴∠APD=90 , 取AD的中点O,连接OP,则OP=AD= 2=1(不变), 根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小, 在Rt COD中,根据勾股定理得,CO===, 所以,CP=CO﹣OP=. 故答案为:90 ,. 38.【答案】证明过程见解答部分. 【解答】证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD, ∵BE=DF, ∴OE=OF, ∴四边形AECF是菱形; ∵OE=OA=OF, ∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC, ∴平行四边形AECF是矩形,即∠AEC=90 , ∴菱形AECF是正方形. 39.【答案】(1); (2)①正方形,理由见解析;②; (3)≤CE'≤. 【解答】解:(1)∵AE=2,BE=4,∠AEB=90 , ∴AB===, ∵四边形ABD是正方形, ∴BC=AB=,∠ABC=90 , ∴AC=AB=, 由旋转的性质得:AB'=AB=, ∴CB′=AC﹣AB'=; (2)①四边形AEFE′是正方形,理由如下: 由旋转的性质得:AE'=AE,∠EAE'= =90 ,∠AE'D=∠AEB=90 , ∵∠AEF=180 ﹣90 =90 , ∴四边形AEFE′是矩形, 又∵AE'=AE, ∴四边形AEFE′是正方形; ②过点C作CG⊥BE于点G,如图3所示: 则∠BGC=90 =∠AEB, ∴∠CBG+∠BCG=∠CBG+∠ABE=90 , ∴∠BCG=∠ABE, 在 BCG和 ABE中, , ∴ BCG≌ ABE(AAS), ∴CG=BE=4,BG=AE=2, ∴EG=BE﹣BG=4﹣2=2, ∴CE===; (3)∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转 度(0≤ ≤180 )点B、E的对应点分别为点B′、E′, ∴当 =0 时,E'与E重合,CE'最短=; 当E'落在CA的延长线上时,AE'=AE=2,CE'最长=AC+AE'=, ∴线段CE′长度的取值范围是≤CE'≤. 40.【答案】见试题解答内容 【解答】解:(1)四边形ABCD是正方形, 理由:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ADC=90 , ∵GD⊥DF, ∴∠FDG=90 , ∴∠ADG=∠CDF, 又∵AG=CF,∠G=∠DFC=90 , ∴ ADG≌ CDF(AAS), ∴AD=CD, ∴四边形ABCD是正方形; (2)HF=AH+CF, 理由:∵DF⊥CE于点F,AH⊥CE于点H,GD⊥DF交AH于点G, ∴四边形HFDG是矩形, ∴∠G=∠DFC=90 , ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠ADC=90 , ∴∠ADG=∠CDF, ∴ ADG≌ CDF(AAS), ∴AG=CF,DG=DF, ∴矩形HFDG是正方形, ∴HG=HF=AH+AG=AH+CF; (3)连接AC,如图, ∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=45 , ∵AH⊥CE,AH=HM, ∴ AHM是等腰直角三角形, ∴∠HAM=45 , ∴∠HAB=∠MAC, ∵, ∴ AHB∽ AMC, ∴, 即BH=CM. ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$