专题复习第二十一章 一元二次方程（三）公共根问题2024—2025学年人教版 九年级 数学上册

2024—2025学年度九年级人教版数学（上）专题复习 第二十一章 一元二次方程 （三）公共根问题 1．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 2．“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为如果和就是互为好友方程，那么 3．若方程和有公共根，则常数m的值是 ． 4．若两个关于x的方程和只有一个公共根，则a，b的关系是 ． 5．若一元二次方程和有且只有一个公共解，则 ． 6．已知关于x的一元一次方程与一元二次方程有一个公共解，若关于的一元二次方程有两个相等的实数解，则的值为 ． 7．已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ． 8．已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 9．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 10．若关于x的一元二次方程和有公共根，则a的值是_____________． 11．已知关于x的两个一元二次方程， 方程①：＝0， 方程②：＝0. (1)若这两个方程中只有一个有实数根，请说明哪个方程没有实数根； (2)如果这两个方程有一个公共根a，求代数式的值. 12．已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”．如与互为“同根轮换方程”． (1)方程与互为“同根轮换方程”吗？ (2)若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值； (3)已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由． 13．定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 14．已知两个一元二次方程有一个公共根为1，求证：也有一个根为1． 15．已知关于的方程和有公共根，求：的值． 16．已知方程①；方程②有公共根，且是方程①的根，不是方程②的根，求实数，的值 九年级数学专题复习 第1页，共3页 九年级数学专题复习 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答 案 1． 解：由方程得， 解得，， ∵两个一元二次方程和互为联根方程， ∴，是方程的两个根， 当时，则，即， ∵， ∴此方程无实数根，即不是方程的解； 当时，则，即， 解得，， ∵， ∴， 此时，方程为，解得，， 又方程的一个解为，满足题意， 故a的值为． 2．3或1 解：解方程得：，， ①若是两方程的公共根，将代入得， ∴， 此时方程为， 解得：，，符合题意， ∴； ②若是两方程的公共根，将代入得， ∴， 此时方程为， 解得：，，符合题意， ∴， 综上所述，或1. 3．-2． 解：设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t， 则t2+mt+1=0①， t2+t+m=0②， ①-②得（m-1）t=m-1， 如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0无解，不符合题意； 如果m≠1，那么t=1， 把t=1代入①，得1+m+1=0，解得m=-2． 故常数m的值为-2． 4．a+b+1=0． 解：设公共根是m． 由-②得：（a-b）m+b-a=0 ∵ab ∴m=1 ∴x=1是方程的根， 代入任意一个方程得：a+b+1=0． 5．0或8或 解：设两方程的公共解为，则， 得， 若，即，则两方程相同，而两方程有且只有一个公共解， 则， 或， 从而或； 若，则 ， 6． 解：解方程得， 关于的一元一次方程与一元二次方程有一个公共解， 为方程的解， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数解， ， 把代入得，解得， 当时，， ． 7． 解：设公共实数根为，则，，， ∴三式相加得出，即， ∵， ∴， ∴ ， 8．①③ 解：∵关于x的一元二次方程，有一个公共解2， ∴，， ②-①，得：， ∴，故①正确； 设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n， ∴ ∴， ， ∴， ∴ ∴，故②错误； ∵ ∴一元二次方程可变形为：， 当时，左边右边， ∴是一元二次方程的一个解，故③正确， 9． 解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 10．2 解：依题意可得，则，解得， 把代入中，得，解得， 11． (1)∵  而方程①②只有一个有实数根 ∴方程①没有实数根     (2)∵方程①②有一个公共根a，则有：  ＝0，① ＝0. ②  ②－①后有：＝0，即：＝－4 12． （1）解：在方程中，， ∴方程无实数根， ∴方程与不互为“同根轮换方程”； （2）解：∵方程与互为“同根轮换方程”， ∴ 设t是公共根，则有，， 解得，． ∵， ∴． ∴． ∴（0值舍去）． （3）解：当公共解为时， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”； 设公共解为时，，，， 同理可得， ∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”； 设公共解为， 由题意可得：，，， 同理可得，，，， ∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”． 13． （1）解：根据定义的友好方程是； （2）设这个公共根为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得或； （3）∵的两个根为， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， ∴的两根为． 14． 证明：方程有一个公共根为1， 即有，， 相加即得， 两边除2，即得， 由此即可证得方程也有一个根为1． 15． 解：根据题意，两方程相减，可得 化简可得： 则或 当时，， 代入可得 判别式，方程无解，与题意不符，舍去； 当时， 代入可得 将代入可得： 解得， 将代入可得： 解得， 两个方程公共根，，符合题意； 故的值为． 16． 解：设公共根为， 则，， 两方程相减得， 所以， 解得，， 把代入方程①得， 把代入得， 解得，； 把代入方程①得， 把代入得， 解得，， 综上所述，或． 九年级数学专题复习答案 第1页，共2页 九年级数学专题复习答案 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$