2024-2025学年北师大版九年级数学上册期末复习提升卷

九年级上学期期末训练提升卷 时间120分钟 满分120分 一、单选题 1．在学习完特殊的平行四边形这一章后，老师测验了同学们对特殊平行四边形的知识掌握情况，下面是张小亮的答卷，他的得分应是（   ） 姓名：张小亮 得分： ？ 判断（每小题分，共分） ①四边相等的四边形是菱形．（√） ②菱形的对角线相等且互相平分．（√） ③有两个角是直角的四边形是矩形．（×）． ④对角线相等的平行四边形是矩形．（√） ⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形．（×） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形，矩形和正方形的判定，掌握菱形，矩形和正方形的判定定理和性质是解题的关键．根据菱形，矩形和正方形的判定逐个分析即可． 【详解】①四边相等的四边形是菱形，故①正确，小亮回答正确； ②菱形的对角线垂直且互相平分，故②错误，小亮回答错误； ③有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例直角梯形，故③错误，小亮回答正确； ④对角线相等的平行四边形是矩形，故④正确，小亮回答正确； ⑤有一个角是直角的平行四边形是矩形不一定是正方形，故⑤错误，小亮回答正确； 小亮答对4题，共得分， 故选：B． 2．若方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得，，然后求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴， ∴ ∴a的值为． 故选：A． 3．如图，等边三角形的边长为3，P为上一点，且，D为上一点，若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看．根据从左面看到的图形是左视图可得答案． 【详解】解：该几何体的左视图为一个矩形，矩形的中间有2条横向的虚线． 故选：D． 5．已知是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质以及函数在象限内的增减性求解即可． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：D． 6．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，用反比例函数比例系数k的代数式分别表示的面积，利用构造方程即可． 【详解】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 7．在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（   ） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 【答案】D 【分析】本题考查中心投影和平行投影，理解中心投影和平行投影特点和规律是解答的关键． 平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据在同一路灯下，由于位置不确定，则无法判断谁的影子长短，进而可得结论． 【详解】解：∵在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长， ∴小明的身高比小强高， ∵在同一路灯下，两人与路灯的距离不确定， ∴无法判断谁的影子长． 故选：D． 8．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可解答． 【详解】解：， ， ， A、根据，，由两个三角形的两个对应角相等可得，故A不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故B符合题意； C、根据，，由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故C不符合题意； D、根据，，由两个三角形的两个对应角相等可得，故D不符合题意； 故选：B． 9．已知等腰三角形的边长分别是、、1，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、三角形的三边关系，根据，结合“等腰三角形的边长分别是、、1”，根据三角形的三边关系进行分类讨论，求出、，即可作答． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴ ∵等腰三角形的边长分别是、、1 ∴当时，则，， 解得；， 此时等腰三角形的边长分别是，不满足三边关系，故舍去； 当时，同理可得，不能满足三边关系，故舍去； 当时，则 解得； 此时等腰三角形的边长分别是，满足三边关系，符合题意； 故选：B 10．如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点，，三点共线时，交于点，则的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，由旋转可知：，，得出，证，得出，再根据勾股定理列出方程，即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， 由旋转可知：，， ，，三点共线， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题 11．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：钉尖向上的频率） 下面有三个推断： ①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图象和概率的定义推断的各个说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，故③错误． 故答案为：②． 12．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求出，再利用线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有 个队参赛． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设x个队伍参赛， 依题意可列方程：， 整理得：， 解得：，（舍）； 故应邀请8个队伍参赛． 故答案为：8． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点的坐标为， ， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 15．如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ． 【答案】 【分析】如图，延长交于点，由勾股定理求得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由翻折的性质可知，，，可得是的垂直平分线，得到， ，设，则，在和中，由勾股定理得，即得到，解得，得到，，由，得到，，进而得到，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 16．按要求解下列方程： (1)；（公式法） (2)．（配方法） 【答案】(1)，; (2)，. 【分析】此题考查一元二次方程，解题的关键是根据题目要求按照步骤进行计算求解． （1）把求根公式代入即可； （2）按照配方步骤即可解得． 【详解】（1）解： ∴, ∴, ∴，; （2）解： ∴, ∴或， ∴，. 17．现有三张正面分别写有，，的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀． (1)从中随机抽取一张卡片，求抽取写有的卡片的概率； (2)从中先抽取一张卡片，记下数字后放回，搅拌均匀后再抽取一张，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法加以说明． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接利用概率公式求解即可； （）画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案； 此题考查了用列表法或树状图法求概率，正确理解列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 【详解】（1）解：三张正面分别写有，，的不透明卡片， ∴抽取写有5的卡片其概率为（抽取写有的卡片）； （2）解：画树状图如图， ∴共有种情况，其中两张卡片上的数字之和为偶数的情况有种， ∴（两张卡片上的数字之和为偶数）． 18．如图，在中，，过点作，垂足为． (1)若，，，求的长； (2)连接，若，且，，求的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明即可求解； （）由得到，求得，利用勾股定理可得，再证明即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 20．我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形的周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍契合矩形”．    【概念辨析】 （1）边长为的正方形 （填“是”或“不是”）“完美矩形”； 矩形的周长是，面积是，它的“倍契合矩形”的周长是 ，面积是 ； 【深入探究】 （2）问题：长为，宽为的矩形是否存在“倍契合矩形”？我们可以从函数的观点来研究“倍契合矩形”的长和宽为，依题意，，则，，在图的平面直角坐标系中做出一次函数：和反比例函数：的图象来研究，有交点就可意味着存在“倍契合矩形”，那么长为，宽为的矩形是否存在“倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）如果长为，宽为的矩形是一个“完美矩形”，求与的函数关系式，并在图的平面直角坐标系中直接画出函数图象； 观察图象，直接写出周长为的“完美矩形”的长（结果精确到）． 【答案】（）是；，；（）存在，它的长为；（），画出图象见解析；周长为的“完美矩形”的长约为． 【分析】（）根据新定义即可判断； 根据新定义即可判断； （）由题意得，解出方程并检验即可； （）根据新定义得出，即，然后画出图象即可； 根据图象或解方程即可求解； 本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，解一元二次方程，画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）解：边长为的正方形，则周长为，面积为， ∴边长为的正方形是“完美矩形”， 故答案为：是； ∵矩形的周长是，面积是， ∴它的“倍契合矩形”的周长是，面积是， 故答案为：，； （）解：存在，理由， 由题意得，， ∴， ∴，， 解得：，（舍去）， 由于长大于宽， ∴它的长为； （）解：∵长为，宽为的矩形是一个“完美矩形”， ∴， ∴， 画出图象如图，   如图，    由周长为，则， ∴， ∴，解得：，， 由于长大于宽， ∴， ∴周长为的“完美矩形”的长约为． 21．为鼓励和推广全民阅读，某品牌图书开展了促销活动．八月份售出图书本，十月份售出图书本． (1)求该品牌图书销量的月平均增长率； (2)该品牌图书每本成本为元，当售价为元/本时，平均每天的销售量为本．经试销统计发现，如果该品牌图书的售价每降价1元，那么平均每天可多售出本．若要使平均每天的利润保持不变，并且让消费者尽可能获得实惠，那么该品牌图书每本的售价应为多少元？ 【答案】(1)该品牌图书销量的月平均增长率为 (2)该品牌图书每本的定价应为元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解． （1）设该品牌图书销量的月平均增长率为x，根据题意得出八月份售出图书十月份售出图书，列出方程求解即可； （2）设该品牌图书每本的售价应为y元，根据总利润=单件利润数量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌图书销量的月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， 答：该品牌图书销量的月平均增长率为． （2）解：设该品牌图书每本的售价应为y元， ， 解得：（舍去）， 答：该品牌图书每本的定价应为30元． 22．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边向点B以每秒个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作，交于点D，连接．设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式分别表示的长度：______，______，______． (2)当t取何值时．四边形是平行四边形？ (3)是否存在t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），能使四边形在某一时刻成为菱形． 【答案】(1)；； (2) (3)不存在，证明见解析； 点速度为每秒个单位长度，能使四边形在某一时刻成为菱形 【分析】（1）可用表示出、的长，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，的长； （2）由平行四边形的性质可得，列方程求出即可； （3）当时，求出，故不存在的值，使四边形为菱形，设点的速度为每秒个单位长度，根据菱形的性质得到＝＝，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ， ， ，， ； 故答案为：；；． （2）若四边形是平行四边形，则有， 即， 解得：； （3）不存在； 证明：由（2）得，当时，四边形是平行四边形， 此时， 不存在的值，使四边形为菱形， 设点的速度为每秒个单位长度， 则， 要使四边形为菱形，则， 当时，即， 解得：， 当，时，即， 解得： 当点的速度为每秒个单位长度时，在某一时刻可以使四边形是菱形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理，含度角的直角三角形的性质．熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 23．如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系 ，位置关系 ； 如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； 矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长． 【答案】相等，垂直； 不成立，，，理由见解析； ． 【分析】根据正方形的性质可得：，，，从而可得：，利用可证，利用全等三角形的性质即可求解； 根矩形的性质可证：、，据根据两边对应成比例且夹角相等证明，利用相似三角形的性质即可求解； 根据旋转的性质可分两种情况求解，当点在线段上时，证明，列比例式可得的长；当点在线段上时，仿照可解． 【详解】解：，， 理由如下： 如图所示， 在正方形和正方形中， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ， ， 故答案为：，； 不成立，，， 理由如下： 如图，由知，， ，，， ， ， ，即，， 又， ， ； 当点在线段上时，如图所示， 在中，，，则， 过点作于点， ，， ， ， ， 解得：，， 在中，， ， ； 当点在线段上时，如图所示， 过点作于点， ，， 由可得：，， 在中，， ， ； 综上所述，的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中要分两种情况求解，正确画图和分类讨论是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期期末训练提升卷 时间120分钟 满分120分 一、单选题 1．在学习完特殊的平行四边形这一章后，老师测验了同学们对特殊平行四边形的知识掌握情况，下面是张小亮的答卷，他的得分应是（   ） 姓名：张小亮 得分： ？ 判断（每小题分，共分） ①四边相等的四边形是菱形．（√） ②菱形的对角线相等且互相平分．（√） ③有两个角是直角的四边形是矩形．（×）． ④对角线相等的平行四边形是矩形．（√） ⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形．（×） A．分 B．分 C．分 D．分 2．若方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，等边三角形的边长为3，P为上一点，且，D为上一点，若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 5．已知是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（   ） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 8．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 9．已知等腰三角形的边长分别是、、1，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 10．如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点，，三点共线时，交于点，则的长度是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：钉尖向上的频率） 下面有三个推断： ①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是． 其中正确的是 ．（填序号） 12．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 13．学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有 个队参赛． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．    15．如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ． 三、解答题 16．按要求解下列方程： (1)；（公式法） (2)．（配方法） 17．现有三张正面分别写有，，的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀． (1)从中随机抽取一张卡片，求抽取写有的卡片的概率； (2)从中先抽取一张卡片，记下数字后放回，搅拌均匀后再抽取一张，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法加以说明． 18．如图，在中，，过点作，垂足为． (1)若，，，求的长； (2)连接，若，且，，求的长． 19．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 20．我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形的周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍契合矩形”．    【概念辨析】 （1）边长为的正方形 （填“是”或“不是”）“完美矩形”； 矩形的周长是，面积是，它的“倍契合矩形”的周长是 ，面积是 ； 【深入探究】 （2）问题：长为，宽为的矩形是否存在“倍契合矩形”？我们可以从函数的观点来研究“倍契合矩形”的长和宽为，依题意，，则，，在图的平面直角坐标系中做出一次函数：和反比例函数：的图象来研究，有交点就可意味着存在“倍契合矩形”，那么长为，宽为的矩形是否存在“倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）如果长为，宽为的矩形是一个“完美矩形”，求与的函数关系式，并在图的平面直角坐标系中直接画出函数图象； 观察图象，直接写出周长为的“完美矩形”的长（结果精确到）． 21．为鼓励和推广全民阅读，某品牌图书开展了促销活动．八月份售出图书本，十月份售出图书本． (1)求该品牌图书销量的月平均增长率； (2)该品牌图书每本成本为元，当售价为元/本时，平均每天的销售量为本．经试销统计发现，如果该品牌图书的售价每降价1元，那么平均每天可多售出本．若要使平均每天的利润保持不变，并且让消费者尽可能获得实惠，那么该品牌图书每本的售价应为多少元？ 22．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边向点B以每秒个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作，交于点D，连接．设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式分别表示的长度：______，______，______． (2)当t取何值时．四边形是平行四边形？ (3)是否存在t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），能使四边形在某一时刻成为菱形． 23．如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系 ，位置关系 ； 如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； 矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$