勒洛四面体强化训练-2025届高三数学一轮复习

勒洛四面体 一、单选题 1．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，设弧的中点分别为M，N，若线段的长度为a，则（    ） A．弧的长度为 B．线段的长度为a C．勒洛四面体能置于一个直径为a的球内 D．勒洛四面体的体积大于 二、多选题 2．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示．若某勒洛四面体内的四面体的高为，则（    ）    A． B．外接圆的半径为2 C．四面体的体积为 D．该勒洛四面体的表面积为 3．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则（    ） A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B．勒洛四面体内切球的半径是 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 4．已知菱形的边长为，将沿对角线翻折，得到三棱锥，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） A．存在某个位置，使得 B．直线与平面所成角的最大值为 C．当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为 D．当时，分别以为球心，2为半径作球，这四个球的公共部分称为勒洛四面体，则该勒洛四面体的内切球的半径为 5．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图所示，若正四面体的棱长为1，则（    ） A．存在正方体使得勒洛四面体能在该正方体中自由转动，并始终保持与正方体六个面都接触 B．平面截勒洛四面体所得截面的周长为 C．勒洛四面体外接球半径为 D．勒洛四面体内切球半径为 6．勒洛四面体是一个非常神奇的四面体，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分､如图所示，若勒洛四面体内的正四面体ABCD的棱长为a，则（    ）      A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．过三点的截面面积为 D．勒洛四面体的体积满足 7．图1中的扫地机器人的外形是按照如下方法设计的：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形．德国工程师勒洛首先发现这个曲边三角形能够像圆一样当作轮子用，故称其为“勒洛三角形”．将其推广到空间，如图2，以正四面体的四个顶点为球心，以正四面休的校长为半径的四个球的相交部分围成的几何体叫做“勒洛四面休”．则下列结论正确的是（    ） A．若正三角形的边长为，则勒洛三角形面积为 B．若正三角形的边长为，则勒洛三角形的面积比正三角形的面积大 C．若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能容纳的最大球的半径为 D．若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体表面上交线的长度小于 三、填空题 8．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是 . 9．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则下列结论正确的序号是 ． ①能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a；②勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为； ③勒洛四面体的截面面积的最大值为； ④勒洛四面体的体积； 10．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体的棱长为，则勒洛四面体的体积的取值范围是 . 11．在世界环保意识日益强化，石油资源日渐沽竭的今天，以氢气做动力源的研究已成为一大课题．当年马自达坚持下来的转子发动机（如图1）从结构上讲是最适合燃烧氢气，而且最“干净”，因为氢燃烧完后排出的是水蒸气，对环境没有任何污染．马自达公司改制了RX-7型跑车的转子发动机，使它可以用氢做燃料．以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图2）被称为“勒洛四面体”，它表面上任意两点间的距离最大值与正四面体棱长相等，能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．转子发动机的设计正是利用了这一原理．转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．若正四面体ABCD的棱长为2，将对应的勒洛四面体ABCD放进一个正方体纸盒中，若该勒洛四面体可以在纸盒内任意转动，则该纸盒棱长的最小值为 ；若在勒洛四面体ABCD内放一个小正方体零件，该零件可以在勒洛四面体ABCD内任意转动，则该零件棱长的最大值为 ． 12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 ；用过三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D BC BC BCD ABD ACD BC 1．D 【分析】根据球的对称性可得球心到弧所在的平面的距离为，从而可求弧所在的平面与球的截面圆的半径，故可判断A；设的中点为分别为，由球的对称性可得共线，连接，计算可得线段的长度，故可得判断BC，计算出正四面体的体积后可判断D的正误. 【详解】选项A，弧为两个半径为a、球心距为a的球面相交所得的小圆中的弧， 根据球的对称性，球心到弧所在的平面的距离为， 因球的半径为，故弧所在的平面与球的截面圆的半径为， 因为弦的长度为，故弧所对的圆心角为大于， 故弧长不为．故A错误； 选项B， 设的中点为分别为，由球的对称性可得共线，连接. 由为正四面体可得，故， 而弧所在的平面与球的截面圆的半径为， 故，故B错误； 选项C，由，故C错误； 选项D，设的外接圆的圆心为，连接，则平面. 而，故， 故由四面体的体积为，故D正确． 故选：D. 2．BC 【分析】根据勒洛四面体内的四面体为正四面体，根据其几何性质，由其高求得其棱长、外接球半径以及体积，结合勒洛四面体表面积的性质，可得答案. 【详解】由已知可知勒洛四面体内的四面体是正四面体，根据题意画出正四面体，如图所示，    设正四面体的棱长为，所以正四面体底面外接圆的半径， 则正四面体的高，解得，则，故A错误； 由，则正四面体底面外接圆的半径，故B正确； 所以正四面体的体积，故C正确； 又因为两个该勒洛四面体的表面积小于半径为的一个球的表面积， 而半径为的一个球的表面积为． 所以该勒洛四面体的表面积小于．故D项错误． 故选：BC. 3．BC 【分析】求出勒洛四面体被平面截得的截面面积判断选项；求出勒洛四面体内切球的半径判断选项． 【详解】观察几何体知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体的任意三个顶点的平面截勒洛四面体而得， 勒洛四面体被平面截得的截面是正及外面拼接上以各边为弦的三个弓形， 弓形弧是以正各顶点为圆心，边长为半径且所含圆心角为的扇形弧，如图所示： 因此，截面面积为：，选项A错误，C正确； 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 正外接圆半径，正四面体的高， 设正四面体的外接球半径为，在中，，解得， 因此，勒洛四面体内切球半径为，选项B正确； 勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，选项D错误． 故选：BC． 4．BCD 【分析】画出简图，数形结合，通过对几何体的观察、作辅助线、空间想象、计算等方式分别判断各选项，从而得出结论。 【详解】为等腰三角形，所以不可能是直角，选项错误； 如图，直线和夹角为，平面平面=，菱形,所以,当平面平面时，为直线与平面的平面角，此时直线与平面所成角为最大角，为，选项正确； 为二面角的平面角，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，的外心为，则平分，，所以，三棱锥表面积为，选项正确； 设正四面体的外接球球心为，半径为，勒洛四面体的内切球的半径为，则 故，即，解得，由勒洛四面体的对称性可知，内切球切在每一个球面的中心，而顶点到切点的距离为2，故，选项D正确. 故答案为：BCD. 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 5．ABD 【分析】A选项，根据勒洛四面体的定义判断；B选项，根据勒洛四面体的定义得到截面形状，然后求周长；C选项，根据勒洛四面体的定义得到勒洛四面体的外接球即正四面体的外接球，然后计算；D选项，根据题意得勒洛四面体的内切球与勒洛四面体的弧面相切，然后计算. 【详解】    如图，为正四面体，为底面的中心，是正四面体的中心，外接球半径为，是高， ，， 由得，解得， 根据勒洛四面体可以在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触可得存在正方体使得勒洛四面体能在该正方体中自由转动，并始终保持与正方体六个面都接触，故A正确； 平面截勒洛四面体的截面如图，    则截面周长为三个半径为1，圆心角为的扇形的弧长，即，故B正确； 由勒洛四面体的外接球即正四面体的外接球，所以勒洛四面体的外接球的半径为，故C错； 勒洛四面体的内切球与勒洛四面体的弧面相切，如图    其中点为该球与勒洛四面体的切点，点为该球的球心，易知该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接，易知三点共线，且，，所以，故D正确. 故选：ABD. 6．ACD 【分析】对于A，根据勒洛四面体表面上任意两点间距离小于等于，进行判断；对于B，求出，，相减即为能够容纳的最大球的半径；对于C，找到最大截面，求出截面面积；对于D，勒洛四面体的体积介于正四杨体的体积和正四面体的外接球体积之间，求出正四面体的体积和正四面体的外接球的体积，从而求出答案． 【详解】由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值，故A正确； 勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，   其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心， 由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接，易知，，三点共线， 设正四面体的外接球半径为， 由题意得：，解得， ，， 由题意得，故B错误； 勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图，   则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积， 即，故C正确； 对于D，勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间，   正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为， 正四面体的高为， 正四面体的体积， 设正四面体的外接球半径为，则由题意得： ，解得， 正四面体的外接球的体积为， 勒洛四面体的体积满足，故D正确． 故选：ACD． 7．BC 【分析】对于A，由图可知勒洛三角形的面积为个扇形面积减去个正三角形面积，对于B，根据扇形的面积公式计算判断，对于C，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，由于正四面体的棱长为，其可以在棱长为的正方体中截出，从而可求得结果，对于D，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点，然后利用余弦定理求解. 【详解】A选项：由题意可知：， 以为圆心的扇形面积是，的面积是， 则勒洛三角形的面积为个扇形面积减去个正三角形面积， 即，所以A错误； B选项：设圆半径为，如图，    易得的面积为， 阴影部分面积为，B正确； C选项：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切， 设点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心，    所以，由四面体的性质可知该球球心为正四面体的中心，半径为， 连接，则，，三点共线，此时，为正四面体的外接球的半径， 由于正四面体的棱长为，其可以在棱长为的正方体中截出， 所以正四面体的外接球的半径为棱长的正方体的外接球半径，即正方体体对角线的一半， 所以，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径；C正确； D选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点， 故，又， 由余弦定理得：， 故，且半径为，故交线的长度大于， D错误； 故选：BC 8． 【分析】根据勒洛四面体和正四面体的对称性，由正四面体的外接球的球心为勒洛四面体内切球的球心，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去其外接球的半径求解. 【详解】解：如图所示： 设O为底面的中心，为其外接球的球心，半径为R， 由勒洛四面体和正四面体的对称性知: 为勒洛四面体内切球的球心， 由题意，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去R， 则， 在中，， 解得， 所以该勒洛四面体内切球的半径是 ， 故答案为： 9．①②④ 【分析】先求得正四面体的外接球半径、内切球半径、正四面体的体积和外接球的体积， 结合勒洛四面体的结构依次分析命题，即可得出结果. 【详解】正四面体ABCD棱长为a，设M是底面BCD的中心，O是其外接球（也是内切球）的球心，外接球半径为R，高为AM，如图， ， 由得， 解得，（内切球半径）． 所以正四面体ABCD的体积为， 外接球体积为． 对于①，由勒洛四面体的结构知， 能容纳勒洛四面体正方体的棱长的最小值为a，故①正确； 对于②，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图， 其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心， 易知该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE， 易知B、O、E三点共线，且， 因此，故②正确； 对于③，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a， 最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图， 根据勒洛四面体结构的对称性，不妨设此截面为投影光线垂直于正四面体的一个面ABD时， 勒洛四面体在与平面ABD平行的一个投影平面上的正投影，当光线与平面ABD夹角 不为时，易知截面投影均为上图所示图像在平面上的投影，其面积必然减小． 上图截面为三个半径为a，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积， 即，故③错误； 对于④，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积之间， 正四面体ABCD的体积，正四面体ABCD的外接球的体积，所以，故④正确． 故答案为：①②④. 10． 【分析】勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球体积之间，求出正四面体的体积和正四面体的外接球的体积，从而求出答案． 【详解】勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间， 正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为， 正四面体的高为， 正四面体的体积， 设正四面体的外接球半径为，则由题意得： ，解得， 正四面体的外接球的体积为， 勒洛四面体的体积满足， 即勒洛四面体的体积的取值范围是. 故答案为： 11． 2 【分析】由题意可得能容纳勒洛四面体的最小正方体的内切球直径应为2，则可求出该纸盒棱长的最小值；当小正方体的棱长最大时，为勒洛四面体内切球的内接正方体，然后利用正四面体的性质可求得该零件棱长的最大值. 【详解】因为勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为2， 因此能容纳勒洛四面体的最小正方体的内切球直径应为2， 故能容纳勒洛四面体的纸盒的棱长最小值为2； 因为小正方体可以在勒洛四面体内任意转动， 所以小正方体的棱长最大时，为勒洛四面体内切球的内接正方体． 记此时勒洛四面体的内切球半径为，则小正方体的外接球半径为， 设小正方体的棱长为，则，解得， 由对称性可知，勒洛四面体内切球球心为正四面体的外接球球心， 由正四面体的结论可知，正四面体的外接球半径为， 故勒洛四面体内切球半径为， 故小正方体棱长最大值为． 故答案为：2； 12． 【分析】空1：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，设该球与勒洛四面体的一个切点，连接，则三点共线，且为该球球心，也是正四面体的中心，再求正四面体的外接球半径即可得以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径；空2：再结合勒洛四面体的构成可知过三点的截面面积为3个半径为1，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为1的正三角形的面积，再计算即可得答案. 【详解】空1：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切， 如图1，点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心， 由正四面体的性质可知该该球球心为正四面体的中心，半径为， 连接，则三点共线，此时，为正四面体的外接球的半径， 由于正四面体的棱长为1，其可以在棱长为的正方体中截出， 所以正四面体的外接球的半径即为棱长为的正方体的外接球半径，即正方体体对角线的一半，则， 故勒洛四面体能够容纳的最大球的半径； 空2：如图2，根据勒洛四面体的构成可知，过三点的截面面积为3个半径为1，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为1的正三角形的面积， 所以所得截面的面积为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛： ①由勒洛四面体分析内切球的球心所在的位置，结合正方体求其半径； ②分析可知勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体表面的截面，计算出该截面面积，可得结果. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$