导数及其应用小题专项训练-2025年高三数学一轮复习

导数及其应用小题专项训练-2025年高三数学上学期一轮复习 一、单选题 1．已知函数在上是增函数，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（    ） A． B． C． D． 5．函数满足，且对任意的都有，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 7．若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数，，都有”的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A． B．若，则的极大值点为 C．若至少有两个零点，则 D．在区间上单调递增 10．以下说法中正确的是（    ） A．若，则在处的瞬时变化率为2 B．“”是“”的必要不充分条件 C．在中，若，则一定是等腰三角形 D．若，则的极值点是 11．为函数的导函数，记为，依次类推，，已知，数列的前项和为，则（    ） A． B． C．存在，使得在上单调递增 D． 三、填空题 12．已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为 . 13．在函数（且）中，，已知，若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 14．某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B D C C C ACD AB 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】由题意可知，对任意的，，令，则，可得出，利用参变量分离法可求出的最小值. 【详解】因为，则， 因为，令，则， 因为函数在上是增函数，则对任意的，恒成立， 即对任意的，，可得， 因为函数、在区间上为减函数， 所以，函数在上为减函数，则， 因此，实数的最小值为. 故选：B. 2．D 【分析】根据函数的单调性结合可得，设，求出该函数的值域后可得正确的选项. 【详解】在上为增函数，在为增函数， 故，所以，故， 由可得，又， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上为增函数，在为减函数， 故，而， 故在上的取值范围为， 即的取值范围为. 故选：D. 3．B 【分析】由条件可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性，比较函数值的大小即可. 【详解】因为时，， 所以可化为， 设，， 则， 所以函数在上的单调递减， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故选：B. 4．B 【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案. 【详解】A：，即在定义域上递增，故A不符合题意； B：， 在上，在上，在上， 所以在、上递减，上递增，故B符合题意； C：由且定义域为， 为偶函数，所以题图不可能在y轴两侧， 研究上性质：，故递增，故C不符合题意； D：由且定义域为R，为奇函数， 研究上性质：， 当时，； 当时，，所以， 故，，在递增， 所以在R上递增，故D不符合题意； 故选：B 5．D 【分析】先求出解析式，再求导，求切线方程． 【详解】根据题意可知函数的最小正周期为，所以， 因为，所以， 结合，解得， 所以， 于是，对函数求导得， 于是，所以曲线在点处的切线方程为， 整理得， 故选：D． 6．C 【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可判断选项. 【详解】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； B.，故B成立； C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不一定成立. D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：C 7．C 【分析】根据题意，可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此可求得，，即得，结合图象，可得等腰直角三角形，从而得到，对取值即可判断. 【详解】因，故,易知切线的斜率存在． 因曲线在与处的切线互相垂直， 则．因, 不妨设，， 则，， 此时,． 如图，设，，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）． 由图知，， 易得． 取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和. 故选:C． 【点睛】思路点睛：本题主要考查导数的几何意义及应用，属于难题． 解题思路是利用切线互相垂直得到，需要借助于正弦函数的值域推得两个分别取1和，从而求得，推得，最后借助于图象理解找到关于的关系式即得. 8．C 【分析】利用赋值法可判断ABD，令，利用导数可得，可判断C. 【详解】对于A，令，，则，，不满足条件，故A错误； 对于B，令，则，，不满足条件，故B错误；对于C，因为，求导得， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 所以，即，所以 即，所以，满足条件, 故C正确； 对于D，令，，则，不满足条件，故D错误. 故选：C. 9．ACD 【分析】A选项，代入计算，得到；B选项，求导，得到函数单调性，得到为极小值点，B错误；C选项，分和两种情况，结合B选项，得到函数极值情况，从而得到不等式，求出；D选项，分和两种情况，得到，得到D正确. 【详解】A选项，， 故，A正确； B选项，，若，当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故为极小值点，B错误； C选项，，当时，，故在R上单调递增，不会有两个零点，舍去； 当时，由B选项知，在上单调递增， 在上单调递减， 在处取得极小值，在取得极大值， 且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 其中，， 要想至少有两个零点，则， 解得，C正确； D选项，由C选项知，当时，在R上单调递增，满足在区间上单调递增， 当时，在上单调递增， 其中， 故，所以在区间上单调递增， 综上，在区间上单调递增，D正确 故选：ACD 【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等. 10．AB 【分析】结合复合函数的导数及瞬时变化率的定义求解判断A；先解方程，再根据充分、必要条件的定义判断B；利用正弦定理化简可得或，进而判断C；利用导数求解函数极值点，进而判断D. 【详解】对于A，由，则， 则在处的瞬时变化率为，故A正确； 对于B，由，得或， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，由，根据正弦定理得， 即，则或， 即或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极值点是，，故D错误. 故选：AB. 11．AC 【分析】根据数列的定义，列举发现数列的的周期性，再结合选项即可判断. 【详解】由题意可知，，，，，，， 所以数列的周期为4，，故A正确； 因为，且数列的周期为4，所以，故B错误； 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递减， 当时，，为常数列， 所以存在时，在上单调递增，故C正确； 由C选项可知，当时，，值域为，不满足，故D错误. 故选：AC 12．2 【分析】由瞬时速度的意义，求出函数在时的导数值即可. 【详解】函数，求导得，则， 所以所求瞬时速度为2. 故答案为：2 13． 【分析】利用在上是奇函数，可得，计算可求得，利用单调性结合已知可求得的取值范围. 【详解】因为在上是奇函数，所以，解得， 当时，， 所以， 所以是奇函数，符合题意，故， 又因为，所以且， 又是上的增函数，所以是增函数，所以， 所以的取值范围是． 故答案为：. 14． 【分析】根据给定条件，结合弧长公式求出桥面修建总费用的函数关系，再利用导数探讨函数最小值问题. 【详解】连接，依题意，，则， ，的长度为， 则桥面修建总费用，， 而，求导得， 由，得，则，由，得， 当，即时，； 当，即时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当且仅当时，取得最小值，即桥面修建总费用最低. 故答案为： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$