精品解析：浙江省杭州市十三中2024-2025学年上学期 九年级12月数学独立作业

数学独立作业问题纸 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】随机事件. 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断： 抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B. 2. 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 3. 若，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理．根据∽，则，最后由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理与圆内接四边形对角互补，根据圆周角等于所对弧圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D． 5. 如图，下列条件不能判定∽的是（ ） A. ， B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据三边对应成比例的两三角形相似，有两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似，依次判断即可． 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∵， ∴∽，不符合题意； 、∵， ∴∽，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵，不是两边夹角， ∴不能判定∽，符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴∽，不符合题意； 故选：． 6. 如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查黄金分割，注意黄金分割的比值是，即分得的较长线段等于总线段的．根据黄金比值计算即可． 【详解】∵是线段的黄金分割点，，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 设二次函数（，m，n是实数），则（ ） A. 当时，函数y的最大值为 B. 当时，函数y的最大值为 C. 当时，函数y的最大值为 D. 当时，函数y最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数与x轴的交点坐标是．得到二次函数的对称轴是直线．根据开口方向进一步求出最值即可． 【详解】解：由题意，令， ∴， ∴． ∴二次函数与x轴的交点坐标是． ∴二次函数的对称轴是：直线． ∵， ∴y有最大值． 当，y最大， 即， 当时，函数y的最大值为； 当时，函数y的最大值为． 综上，C选项正确． 故选：C． 8. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的下方，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，根据已知条件列不等式即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵和两点都在直线的下方，且， ∴, ∴， 考虑函数，当时，， ∴的解集表示位于横轴下方的图象的自变量的取值， ∴①， ∵数（a是常数，）的图象上有和两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴②， 由①②得，． 故选：B． 10. 如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点为的中点 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，进而证明是等腰直角三角形，矩形是正方形，得出，证明得出是等腰直角三角形，即可得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形， ∵是的中点，， ∴，故A选项正确， ∵， ∴，故C选项正确， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故D选项正确， 则无法证明点为的中点，故B选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，弧与圆心角的关系，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为_______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了模拟实验，由频率估计概率，根据图中的数据即可解答． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近， ∴ “凸面向上”的概率为， 故答案：． 12. 若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，可知抛物线顶点的纵坐标等于0，从而可以求得c的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴y＝＝0，解得c＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为． 13. 如图，已知在中，点是三角形的重心，连结并延长，交与点G，过点作，交于点，交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，中位线的判定与性质，平行线分线段成比例等知识，连接，并延长交于H点，连接，根据点是的重心，可知、是的中线，即可得，，则有，进而可得，再根据，即有，问题得解． 【详解】解：连接，并延长交于H点，连接，如图， ∵点是的重心， ∴、是的中线， ∴点、点分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线与轴的交点问题，利用交点来确定不等式的解集，因为二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，所以二次函数与轴的另一个交点为，再结合开口方向向下，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴， ∴二次函数与轴的另一个交点为， 由图得出二次函数的开口方向向下， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15. 如图，已知，点是线段上的点，点是线段上的点，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，作出辅助线是解题的关键．作交于H，根据，，得出，求出，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，求出，计算得到答案即可． 【详解】解：作交于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，点是边上的动点(不与点重合)，，交延长线于点于点，连结交于点，点是的中点，连结．求： ①的度数为_______ ②当时，_______．(用的代数式表示) 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先证明，得出是等腰直角三角形，根据点是的中点，得出，进而根据得出四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得出；根据题意设，，则，连接，延长交的延长线于点，由，则点在上，证明得出，设，则，证明，得出，进而代入，即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， 在与中， ； ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 四边形是正方形， ， 且， ， ， 即． 是等腰直角三角形， 又点是的中点， ，， ， ， 四点共圆， ； ②四边形都是正方形，共线， ， ，设，，则， 如图所示，连接，延长交的延长线于点， ， ，则点在上， ， ， ， 又， ，即， ， ， 设，则， ， ， 即， 解得：，即， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了直角所对的圆周角是直径，同弧所对的圆周角相等，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识的解题的关键． 三、解答题（本题共有8个小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 17. 按要求进行计算 （1）已知，求的值． （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）4 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行化简，即可作答． （2）先设，则得，再代入，解出，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：依题意，设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 18. 如图，平面直角坐标系中，有三点． （1）经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_______； （2）点绕点逆时针旋转后的点的坐标为_______此时点旋转到点所经过的路径长为_______（结果保留）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为点M； （2）根据旋转的性质在图上作出线段，即可得到点D的坐标，得出，最后根据弧长公式即可求出点旋转到点所经过的路径长． 【小问1详解】 解：如图，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，点绕点逆时针旋转后的点的坐标为， 点旋转到点所经过的路径长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． 19. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有 人； （2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度； （3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率； （1）根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数； （2）用等级的频数除以总人数即可得出的值；用度乘以等级所占的比例即可； （3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可． 【小问1详解】 （人）， 故答案为：， 【小问2详解】 ，． 故答案为：，； 【小问3详解】 设小永用表示，其他三位同学分别用、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下： 共有种等可能出现情况，其中小永被选中的有种， 所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为． 20. 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）25 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 21. 现有成角且足够长的墙角和可建总长为栅栏的建筑材料来修建花坛．（材料要用完） （1）如图1，修建成四边形的一个花坛，使．线段为新建栅栏，设米，当为多少米时，此时花坛的面积最大？ （2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的栅栏建成如图2所示的以为圆心的圆弧，这样修建的花坛面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由． 【答案】（1）当长为时，才能使花坛的面积最大； （2）合理，理由见详解 【解析】 【分析】（1）过点作于，则四边形为矩形，再证明是等腰直角三角形，得出，则，然后根据梯形的面积公式即可求出与之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解； （2）根据扇形弧长公式求出，再根据扇形的面积求解，然后比较即可． 此题考查二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数，进一步利用函数的性质解决问题． 【小问1详解】 解：∵． ∴ 如图所示：过点作于， ∵ 则四边形为矩形，， 则， 设， 在中， 又， ， ， ， 梯形面积， 当时，； 当长为时，才能使花坛的面积最大； 【小问2详解】 解：小聪建议合理．理由如下： 由题意得， ， ， ， 小聪的建议是合理的． 22. 问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为的．筒车涉水宽度，筒车涉水深度（劣弧中点到水面的距离）是． 问题解决： （1）求该筒车半径． （2）筒车开始工作时，上处的某盛水筒到水面的距离是，经过秒后，该盛水筒旋转到点处． ①求的度数． ②当盛水筒旋转至处时，求它到水面的距离． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，解直角三角形． （1）过圆心作交于点，交于点．由垂径定理得到，，再利用勾股定理列方程求出r即可； （2）①根据题意筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．经过秒后，该盛水筒旋转到点处．列式计算即可求解； ②过点分别作交于点．求出得到，再求出，得到，由即可得到答案． 【小问1详解】 如图，过圆心作交于点，交于点． ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．经过秒后，该盛水筒旋转到点处． ∴ ②如图，过点分别作交于点． 由题知，到水面的距离是，即， ， ， ， 又 ， ， ． 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为6.25，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由二次函数为，可得抛物线为直线，可得的值，再由图象经过点，求出的值，进而可以得解； （2）依据题意，得平移后的点为，代入，计算可以得解； （3）依据题意，由，可得当时，取最小值，最小值为，再根据、和进行分类讨论，即可计算得解． 【小问1详解】 解：二次函数为， 抛物线的对称轴为直线． ． 抛物线为． 又图象经过点， ． ． 抛物线为． 【小问2详解】 解：点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 平移后的点为． 又在， ， 或（舍去）． ． 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，取最小值，最小值为，当 时， 最大值与最小值的差为． ，不符合题意，舍去． 当 时， 最大值与最小值的差为，符合题意． 当时，最大值与最小值的差为，解得 或，不符合题意，舍去． 综上所述，取值范围为． 24. 如图，等腰内接于．点是劣弧上的动点，连接与相交于点． （1）如图1，若， ①求的度数；（用含的代数式表示） ②若，求的值． （2）如图2，当刚好过圆心，且，时，求的长． 【答案】（1）①，②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用圆周角定理，三角形内角和定理即可得到各个角之间的关系，再由等腰三角形性质即可得到答案；②由①中的结论得到，，推出，由可设，，证明，得到，再证明，得到，最后根据，即可求解； （2）延长至点，使，连接，设，则，根据勾股定理得到，利用圆周角定理，得到，根据相似三角形的性质得到，在中，应用勾股定理求出，进而表示出，在中，根据勾股定理列出等量关系式，求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①，， ， ， ， ， ； ②由①可知，，， ， ， ， ， 设，， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：延长至点，使，连接， ， 设，则， 刚好过圆心， ， ∴， 在中，， ∵，， ∴ ， ， ∴即， ， 在中，， ， 在中，， 即， 解得：， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握圆的性质，灵活运用三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学独立作业问题纸 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 2. 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 若，若，，则的度数是（ ） A B. C. D. 4. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件不能判定∽的是（ ） A. ， B. C. ， D. ， 6. 如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 设二次函数（，m，n是实数），则（ ） A. 当时，函数y的最大值为 B. 当时，函数y的最大值为 C. 当时，函数y最大值为 D. 当时，函数y的最大值为 8. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的下方，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点为的中点 C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为_______．（精确到） 12. 若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c＝_____． 13. 如图，已知在中，点是三角形的重心，连结并延长，交与点G，过点作，交于点，交于点，若，则的长为_______． 14. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为_______． 15. 如图，已知，点是线段上的点，点是线段上的点，，，则_______． 16. 如图，在正方形中，点是边上的动点(不与点重合)，，交延长线于点于点，连结交于点，点是的中点，连结．求： ①的度数为_______ ②当时，_______．(用的代数式表示) 三、解答题（本题共有8个小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 17. 按要求进行计算 （1）已知，求的值． （2）已知，且，求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有三点． （1）经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_______； （2）点绕点逆时针旋转后的点的坐标为_______此时点旋转到点所经过的路径长为_______（结果保留）． 19. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有 人； （2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度； （3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率． 20. 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求的面积． 21. 现有成角且足够长墙角和可建总长为栅栏的建筑材料来修建花坛．（材料要用完） （1）如图1，修建成四边形的一个花坛，使．线段为新建栅栏，设米，当为多少米时，此时花坛的面积最大？ （2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的栅栏建成如图2所示的以为圆心的圆弧，这样修建的花坛面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由． 22. 问题情境：如图1，筒车是我国古代发明一种水利灌溉工具，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为的．筒车涉水宽度，筒车涉水深度（劣弧中点到水面的距离）是． 问题解决： （1）求该筒车半径． （2）筒车开始工作时，上处的某盛水筒到水面的距离是，经过秒后，该盛水筒旋转到点处． ①求的度数． ②当盛水筒旋转至处时，求它到水面的距离． 23. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为6.25，求的取值范围． 24. 如图，等腰内接于．点是劣弧上动点，连接与相交于点． （1）如图1，若， ①求的度数；（用含的代数式表示） ②若，求的值． （2）如图2，当刚好过圆心，且，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $