2025年河南九年级中考数学一轮复习教材梳理课件：第四章三角形第六节锐角三角函数及其应用

第四章　三角形 第六节　锐角三角函数及其应用 考点1　 锐角三角函数 1. 定义 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A为锐角，则： （1）∠A的正弦： sin A＝ ＝① 　 　. 　 （2）∠A的余弦： cos A＝ ＝② 　 　. （3）∠A的正切：tan A＝ ＝③ 　 　. 　 　 2. 一些特殊角的三角函数值 示例 α 30° 45° 60° sin α ④ ⁠ cos α ⑤ ⁠ ⑥ ⁠ tan α ⑦ ⁠ 1 ⑧ ⁠ 　 　 　 　 　 考点2　 解直角三角形 1. 解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角， 由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直 角三角形. 2. 直角三角形中的边角关系 三边 关系 a2＋⑨ ＝c2（勾股定理） 两锐角 关系 ⑩ ＋∠B＝90°（互余） 边角 关系 sin A＝ cos B＝⑪ ⁠； cos A＝⑫ ＝ ； tan A＝ ；tan B＝ b2　 ∠A　 　 sin B　 面积 关系 S△ABC＝ ab＝ ch 3. 解直角三角形的题目类型 已知 求解 斜边和 一直角边 c，a 由 sin A，得∠A，再求∠B，最后求b 两直角边 a，b 由tan A，得∠A，再求∠B，最后求c 斜边和一锐 角 c，∠A 先求∠B，再求a，b 一直角边 和一锐角 a，∠A 先求∠B，再求b，c 考点3　 仰角、俯角、坡角和方向角 1. 仰角、俯角：如图1，测量时，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水 平线上方的角叫⑬ ，视线在水平线下方的角叫⑭ ⁠. 2. 坡度（坡比）、坡角：如图2，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度（或 坡比），即i＝tan α＝⑮ ，坡面与水平面的夹角叫坡角. 仰角　 俯角　 　 3. 方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方 向旋转到目标方向时所形成的角（一般指锐角）.如图3，表示北偏东60°方 向的一个角. 东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏 西45°方向，西南方向指南偏西45°方向.一般画图的方位习惯表示为上 北、下南、左西、右东. 考点4　 锐角三角函数的实际应用 1. 解题步骤 审题：根据题意找出题目中的已知量和未知量； 构造：构造直角三角形，应用数形结合的思想将已知条件转换到直角三角形 中，也可以通过添加辅助线构造直角三角形； 列式：在直角三角形中，根据锐角三角函数关系或者勾股定理列出关系式进 而求解； 检验：求解完毕后，要检验解是否满足实际意义，还应注意结果是否为需保 留的数据. 在锐角三角函数的实际应用中，计算结果经常会根据要求取近似数. 2. 减小误差的方法 （1）选用更精确的工具；（2）多次测量求平均值；（3）改进测量方法. 考点5　 锐角三角函数的实际应用模型 模型 图形演示 关系式 模型解读 “背 对背型” 求BC的长： BC＝BD＋CD BC 通过 在三角形内部作高构 造直角三角形，利用锐角 三角函数求解 求BC的长： BC＝BE＋EF＋FC BC 模型 图形演示 关系式 模型解读 “母 子“ 型 求AB的长： AB＝AD－BD AB 通过 在三角形外部作高构 造直角三角形，利用锐角 三角函数求解 求AB的长： AB＝BE＋AE AB 提分点1　 锐角三角函数值的计算 1. （2024广东一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan A的值是（　C　） A. B. C. D. 2 第1题图 C 2. （2024汕头一模）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，3），直线OA 与x轴正半轴的夹角为α，那么 cos α的值是（　C　） A. B. C. D. 第2题图 C 3. （2024洛阳二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足 为D. 如果AD＝8，BD＝4，那么tan B的值是（　D　） A. B. C. D. D 4. （2024商丘三模）如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点D，使CD＝ BC，连接AD，若tan B＝ ，则tan ∠CAD的值为（　D　） A. B. C. D. D 求锐角三角函数值的方法 （1）直接法：找出角所对应的直角三角形，根据定义直接求解； （2）间接法：找出与所求角相等的角，再找相等角所在的直角三角形 求解； （3）构造法：以所求角为内角构造直角三角形（一般是作高），再求解. 提分点2　 解直角三角形 5. （2024南阳一模）在△ABC中，AC＝6，∠B＝45°，∠C＝60°，尺 规作图方式如图所示，AB＝（　D　） A. ＋1 B. 3 C. 2 D. 3 第5题图 D 6. （2024焦作三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点 E为AC的中点，连接DE，若AD＝3，tan∠DAC＝2，则DE的长为 （　C　） A. B. C. D. 3 第6题图 C 解直角三角形的常用方法 （1）在一般三角形中，通过构造直角三角形求三角函数值； （2）若已知三角函数值为特殊角的三角函数值，则先求出该角度； （3）若一个角存在于两个直角三角形中，则分别表示出其三角函数值，再 利用两个三角函数值相等求解. 提分点3　 锐角三角函数的实际应用 7. （2024洛阳一模）如图，某汽车车门的底边长为0.95 m，车门侧开后的 最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的 最大距离是（　B　） A. 0.95 m B. 0.95 sin 72° m C. 0.95 cos 72° m D. 0.95tan 72° m B 8. （2024兰考一模）如图所示，在坡角为α的山坡上栽树，每相邻两棵树之 间的水平距离为4 m，那么这两棵树在坡面上的距离AB为（　A　） A. m B. m C. 4 cos α m D. 4 sin α m A 9. （2024郑州四模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射 率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之 比，即折射率n＝ （i为入射角，r为折射角）.如图，一束光从空气射 向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射 出，已知i＝30°，AB＝15 cm，n＝1.5，则BC长为（　D　） A. 3 cm B. 4 cm C. 4.5 cm D. 5 cm D 命题点　 锐角三角函数的实际应用 1. “高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目， 其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高 和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材 的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答. 如图所示，底座上A，B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距 离CE的长为155 cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm，已知 低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线 AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.（结果精确 到1 cm，参考数据： sin 82.4°≈0.991， cos 82.4°≈0.132，tan 82.4°≈7.495， sin 80.3°≈0.983， cos 80.3°≈0.168，tan 80.3°≈5.850） 解：在Rt△ACE中， AE＝ ＝ ≈ ≈20.7（cm）. 在Rt△DBF中， BF＝ ＝ ≈ ＝40（cm）. ∴EF＝AE＋AB＋BF＝20.7＋90＋40≈151（cm）. ∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF， ∴四边形CEFH是矩形， ∴CH＝EF＝151 cm. 答：高、低杠间的水平距离CH的长约为151 cm. 2. 如图，小东在教学楼距地面9 m高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°. 升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25 m处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在 国歌播放45 s结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？ （参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 解：在Rt△BCD中， BD＝9米，∠BCD＝45°， ∴CD＝ ＝9 m. 在Rt△ACD中，∠ACD＝37°， ∴AD＝CD·tan 37°≈9 m×0.75＝6.75 m， ∴AB＝AD＋BD＝15.75 m. 旗子上升高度是15.75－2.25＝13.5（m）， ∴上升速度是 ＝0.3（m/s）. 答：国旗应以0.3 m/s的速度匀速上升. 类型二　 “母子”型 3. （2024河南第20题，9分）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所 在的位置.当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉 看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆 与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时 ∠APB为最大视角. （1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB. （1）证明：如图，设AD与圆交于M，连接BM. 则∠AMB＝∠APB. ∵∠AMB＞∠ADB， ∴∠APB＞∠ADB. （2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角 ∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6 m.求塑像AB的高（结果精 确到0.1 m.参考数据： ≈1.73）. （2）解：在Rt△APH中，∠APH＝60°，PH＝6 m， ∵tan∠APH＝ ， ∴AH＝PH·tan 60°＝6 （m）， ∵∠APB＝30°，∴∠BPH＝∠APH－∠APB＝30°， ∵tan∠BPH＝ ， ∴BH＝PH·tan 30°＝2 （m）， ∴AB＝AH－BH＝4 ≈4×1.73≈6.9（m）. 答：塑像AB的高约为6.9 m. 4. （2022河南第19题，9分）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的 《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁 DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC 方向前进15 m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的 高度为1.5 m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云 阁DC的高度.（结果精确到1 m.参考数据： sin 34°≈0.56， cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67） 解：如图，延长EF交DC于点H. 由题意得，∠DHF＝90°，EF＝AB＝15 m，CH＝BF＝AE＝1.5 m. 设FH＝x m，则EH＝EF＋FH＝（15＋x） m. 在Rt△DFH中，∠DFH＝45°， ∴DH＝FH＝x m. 在Rt△DHE中，∠DEH＝34°， ∴tan 34°＝ ＝ ≈0.67，解得x≈30.5， ∴DC＝DH＋CH＝30.5＋1.5＝32（m）. 答：拂云阁DC的高度约为32 m. 5. （2021河南第19题，9分）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻 艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景 区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同 一水平线上.已知佛像头部BC为4 m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为 45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度.（结果精确到0.1 m. 参考数据： sin 37.5°≈0.61， cos 37.5°≈0.79，tan 37.5°≈0.77） 解：设佛像BD的高度为x m. 在Rt△BDA中，∠BDA＝90°，∠BAD＝45°， ∴AD＝BD＝x m. ∵佛像头部BC为4 m，∴CD＝（x－4）m. 在Rt△CDA中，∠DAC＝37.5°， ∴tan∠DAC＝ ＝ ≈0.77，解得x≈17.4. 答：佛像BD的高度约为17.4 m. 6. （2020河南第18题，9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是 中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学 们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面 一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角 为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°. 测角仪的高度为1.6 m. （1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1 m.参考数据： sin 22°≈0.37， cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40， ≈1.41）； 解：（1）如图，过点A作AD⊥PM于点D，延长BC交AD于点E，则四边 形BMNC，四边形CNDE是矩形. ∴BC＝MN＝16 m，DE＝CN＝BM＝1.6 m. 设AE＝x m. 在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°， ∴CE＝AE＝x m. 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝22°， ∴tan 22°＝ ＝ ≈0.40， 解得x≈10.67，符合题意， ∴AD＝AE＋DE＝10.67＋1.6≈12.3（m）. 答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3 m. （2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m.请计算本次测量结果的误 差，并提出一条减小误差的合理化建议. 解：（2）本次测量结果的误差为12.6－12.3＝0.3（m）. 可以通过多次测量取平均值来减小误差.（合理即可，答案不唯一） 7. 某数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑 像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上， 在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测 得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.（精确到1 m.参考数 据： sin 34°≈0.56， cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67， ≈1.73） 解：在Rt△ACE中， ∵∠CAE＝34°，CE＝55 m， ∴AC＝ ≈ ≈82.1（m）. ∵AB＝21 m，∴BC＝AC－AB＝61.1 m. 在Rt△BCD中，∠CBD＝60°， ∴CD＝BC·tan 60°≈61.1×1.73≈105.7（m）， ∴DE＝CD－CE＝105.7－55≈51（m）. 答：炎帝塑像DE的高度约为51 m. 8. 如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域 巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此 时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方 向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/时，B 船的航速为25海里/时，则C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan 53°≈ ， ≈1.41） 解：过点C作CE⊥AB于点E. 设AE＝x海里. 在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠A＝45°， ∴AE＝EC＝x海里，则BE＝（x－5）海里. 在Rt△BCE中，tan 53°＝ ， ∴ ≈ ，解得x＝20.∴AE＝EC＝20海里， ∴AC＝ ＝20 ≈28.2海里，BC＝ ≈25海里， ∴A船到C船的时间约为 ＝0.94（小时），B船到C船的时间约为 ＝ 1（小时）.∵0.94＜1，∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援. 9. 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸 大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6 m到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度.（结果保留整数.参考数据： sin 48°≈0.74， cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11， ≈1.73） 解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥CE于点H，则四边形DHCG 为矩形， ∴DG＝CH，CG＝DH. 在Rt△AHD中， ∵∠FAE＝30°，AD＝6 m，∴DH＝3 m，AH＝3 m， ∴CG＝3. 设BC＝x m，则BG＝（x－3） m. 在Rt△ABC中，AC＝ ≈ m， ∴DG＝（3 ＋ ） m. 在Rt△BDG中，∵BG＝DG·tan 30° m， ∴x－3＝（3 ＋ ）× ，解得x≈13. 答：大树的高度约为13米. $$