第1章　全等三角形　各模型汇总讲义　2024—2025学年苏科版数学八年级上册

苏科八上数学 期末-02 数学期末复习-全等三角形2 （各模型（方法）汇总1） 模型（方法）一、作辅助线构造全等（连接两点或延长相交） 例题1.如图，已知：，，，，则（ ） A． B． C．或 D． 【分析】 连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 例题2.（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长. （2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分. 【分析】 （1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点D、点E、点F.求证为定长,即可完成证明； （2）（面积法）过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.因为，所以，因此，得到.进而，得到，因此，即AD平分. 练习1.如图，在等腰△ABC中，，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持,连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：(1)是等腰直角三角形；四边形CDFE不可能为正方形，（3）长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则或其中正确的结论个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 练习2.已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边上时，如图1所示，易证MF+FN=BE （1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由． （2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明） 模型（方法）二、作辅助线构造全等（截长补短） 有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 例题1.数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，．求证：． 李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取，连接DE，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及_________，再证出_____________________，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能． 方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使．只要证即可．此时先证__________，再证出__________________，则结论成立．” “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 【分析】 方法一：在AC上截取，由SAS可证可得，BD=DE，根据等角对等边得到CE=DE，即可求证； 方法二：延长AB至点F，使，由AAS可证，可得AC=AF，即可证明： 例题2.阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2． （2）请你用上面学到的方法完成下面的习题． 如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积． 【分析】 （1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可； （2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证，则有FK=FH，因为HM=GH+MN易证，故可求解． 练习1.数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证； 在此问题的基础上，老师补充： 过点作于点交于点，过作交于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小白通过研究发现，与有某种数量关系； 小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论． 阅读上面材料，请回答下面问题： （1）求证； （2）猜想与的数量关系，并证明； （3）探究线段，，之间的数量关系，并证明． 练习2.在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD； （2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明； ②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 模型（方法）三、作辅助线构造全等（倍长中线） 方法1：直接倍长法 如图，在△ABC中，D为BC中点，连接AD并延长至E，使AD=ED，连接BE，则△ADC≌△EDB(SAS) 方法2:间接倍长法(1): 如图，在△ABC中，D为BC中点，过点B、C作BE、CF垂直于AD，垂足分别为E、F,则△BED≌△CFD(AAS) 方法3:间接倍长法(2): 如图，在AABC中，D为BC中点，M为AB上一点，连接MD并延长至点N,使DN=DM,连接CN，则△MDB≌△NDC(SAS) 例题.如图所示，在中，为中线，，求的度数． 【分析】 延长AD至E，使，连结，则，根据全等三角形的性质得EC=AB，，由AB=2AD可得EC=AE，可得△AEC是等腰直角三角形，即可得∠DAC的度数． 练习.如图所示，为的角平分线，分别在上，，若． 求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学期末复习-全等三角形2 （各模型（方法）汇总参考答案） 模型（方法）一、作辅助线构造全等（连接两点或延长相交） 练习1. A 【分析】 连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④． 【详解】 连接CF， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A= ，CF=AF=FB； ∵AD=CE， ∴△ADF≌△CEF(SAS)； ∴EF=DF，∠CFE=∠AFD； ∵∠AFD+∠CFD=90∘， ∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘， 又∵EF=DF ∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确). 当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误). 由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小； 即当DF⊥AC时,DE最小,此时 . ∴ (故(3)错误). ∵△ADF≌△CEF， ∴S△CEF=S△ADF ∴S四边形CDFE=S△AFC, ∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分 ∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1 即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1 当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=S△ACF= 又∵S△ADF= ∴2AD= ∴AD=(故(4)错误). 故选：A. 【点拨】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键. 练习2. （1）不成立．猜想：FN﹣MF=BE．理由见解析 （2）MF﹣FN=BE． 【解析】 试题分析：（1）对结论作出否定，猜想FN﹣MF=BE，连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN=AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，结合MN=FN﹣MF，于是证明出猜想． （1）不成立．猜想：FN﹣MF=BE．理由如下： 如图，连接AD，. ∵M、N分别是DE、AE的中点，∴MN=AD． ∵在△ACD与△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE． ∵MN=FN﹣MF，∴FN﹣MF=BE． （2）结论：MF﹣FN=BE，证明如下： 连接AD， ∵M、N分别是DE、AE的中点，∴MN=AD． ∵在△ACD与△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE．∴MN=BE． ∵MN=FM﹣FN，∴MF﹣FN=BE． 模型（方法）二、作辅助线构造全等（截长补短） 练习1. 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）利用SAS证明可得结论；（2）设，推出，，即可证明； （3）过点作交延长线于点，延长交于点，证明△ABE≌△CAM，得出和，从而证明△NFC≌△MFC，得到和，可得PN=PE，从而得出BP=AF+PF. （1）证明：∵在△ABE和△ACD中， ， （SAS）， ； （2）设， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）过点作交延长线于点，延长交于点， ，， ， 在△ABE和△CAM中， ， （ASA）， ，， ，，， （ASA）， ，， ， ， ∴. 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度. 练习2. 【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见解析． 【分析】 （1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案； （2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案； ②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案． （1）证明：∵AD为∠ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠CAD， 在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴ED=CD，∠C=∠AED=90°， ∵∠ACB=2∠B，∠C=90°， ∴∠B=45°，∴∠BDE=45°， ∴BE=ED=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD； ①AB=AC+CD．理由如下： 在AB上截取AE=AC，连接DE， ∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD， 在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴ED=CD，∠C=∠AED， ∵∠ACB=2∠B， ∴∠AED=2∠B， ∵∠B+∠BDE=∠AED， ∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD； ②AC+AB=CD．理由如下： 在射线BA上截取AE=AC，连接DE， ∵AD为∠EAC的角平分线， ∴∠EAD=∠CAD， 在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴ED=CD，∠ACD=∠AED， ∵∠ACB=2∠B， ∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x， ∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x， ∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD， ∴AB+AE=BE=AC+AB=CD． 【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键． 模型（方法）三、作辅助线构造全等（倍长中线） 练习. 【答案】详见解析 【分析】延长FD至G，使，连结CG，可证，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得 ，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论. 证明：延长FD至G，使，连结CG， ∵DC=DE，∠EDF=∠CDG， ∴， ， ， ， 又， ， ， . 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等． 参考答案1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$