广东省广州市广东华侨中学2024-2025学年高二上学期十二月月考数学试题（普高班）

广东华侨中学2024学年第一学期高二级数学科十二月月考 试题（普高班） 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间为120分钟。 第1部分 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在平行六面体中，E，F，H分别为，，DE的中点．若，，，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 4．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（    ） A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立 C． D． 5．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．15 6．设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　 A． B． C． D． 8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上至少3个点到直线的距离等于1，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部份选对的得部份分。 9．已知方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．存在，使得表示圆 C．当或时，曲线表示双曲线 D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为 10．已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若为圆上一点，则的最小值为 C．若与圆相交于，两点，则 D．过上一点向圆作切线，切点为，则 11．正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是（    ） A．若，则到直线的距离的最小值为 B．若，则，且直线平面 C．若，则与平面所成角正弦的最小值为 D．若，，则，两点之间距离的最小值为 第2部分 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，若，则实数的值为 ． 13．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,若的面积为（O为坐标原点），则C的离心率为 ． 14．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程． 16．（15分）某校团委举办知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 17．（15分）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程. 18．（17分）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19．（17分）在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)不过圆心且与x轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接交轨迹E于点B （i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点； （ii）若过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 广东华侨中学2024学年第一学期高二级数学科十二月月考 参考答案（普高班） 1． C 【详解】因为直线的斜率为，故所求直线的斜率等于， 所求直线的方程为，即 2． B 【详解】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：. 3． B 【详解】由题意，, 且， ， 4． B 【详解】依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确； 显然有， 抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果： ，共36个，它们等可能， 事件AB所含的结果有：，共8个， 则有，即事件A与事件B相互独立，B正确； 显然，，C，D都错误 5． A 【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球， 从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是， 则，解得（负值舍去）. 6． A 【详解】令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得， 则，而点在椭圆上，于是，解得 7． A 【详解】由题意，点F为椭圆的左焦点，， 点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为， 设椭圆C的右焦点为，， ， ，即最大值为5，此时Q，，P共线 8． C 【详解】对A：设点， ∵，则，整理得，故C的方程为，故A正确； 对B：的圆心，半径为， ∵点到圆心的距离， 则圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确； 对C：设点，∵，则，整理得， ∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆， 又，则两圆内含，没有公共点，∴在C上不存在点M，使得，C不正确； 对D：∵圆心到直线的距离为， ∵上至少3个点到直线的距离等于1 ∴，即，解得，故D正确； 9． BC 【详解】A、B选项：当时，，，当时，， 此时曲线表示圆，A选项错误，B选项正确； C选项：当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线， 当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确； D选项：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则， 则椭圆的焦距，D选项错误； 10． ABD 【详解】对于A，若，则，得，故A正确. 对于B，设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，故B正确. 对于C，因为,化简可得， 令，解得，故过定点， 当时，取最小值，则，故C不正确. 对于D，因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而当时，取得最小值为圆心到直线的距离， 故当时，取得最小值为，故D正确. 11． BD 【详解】对于A项，因为，所以在以为球心，为半径的球上. 又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上. 因为，平面，，，所以， 所以，为以点为圆心，为半径的圆上. 如图1，，则，到直线的距离的最小值为，故A项错误； 对于B项，如图2，连结. 因为平面，平面，所以. 又，平面，平面，， 所以，平面. 又平面，所以. 同理可得，. 又平面，平面，， 所以，平面. 又，平面，所以直线平面，故B项正确； 对于C项，以点为坐标原点，分别以为轴的正方向， 如图3建立空间直角坐标系，则，，，，，，. 因为，设，，. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取，则，是平面的一个法向量. 则， 又，当时，有最小值1， 所以，，即， 所以，与平面所成角正弦的最大值为，故C项错误； 对于D项，由C项知，，. 当，，即为直线与的公垂线段时，最小. 设，且，， 则，即， 取，则. 在方向上的投影向量的模为， 所以，，两点之间距离的最小值为，故D项正确. 12．2 【详解】由，，得，， 由，得，即，即，解得， 所以实数的值为2. 13． 【详解】设C的半焦距为，则，渐近线方程为，即， 故点F到渐近线的距离为，则， 由题意可得，即， 可得，所以，即． 14． 【详解】如图，设的角平分线与轴交于点， ， ， 设， 则，解得 ，即为直角三角形 又，， ， ， 当时，，得，， ，即 15． (1) (2)或 【详解】（1）设圆的方程为，          由已知得，              解得，，，             所以圆的方程为，即； （2）① 若直线有斜率，可设的方程为，即，       由已知，则圆心到直线的距离         解得，                此时，直线的方程为，即；             ② 若直线没有斜率，则的方程为，                           将其代入，可得或， 即得，，满足条件，            综上所述，直线的方程为或． 16． (1)派乙参赛赢得比赛的概率更大 (2) 【详解】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”， 事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”， 所以表示“甲赢得比赛”，， 表示“乙赢得比赛”，， 因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大； （2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛” 由（1）知，， 所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”， 所以， 所以两人至少一人赢得比赛的概率为. 17． (1) (2) 【详解】（1）∵椭圆的焦点为，  ∴，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， ∴双曲线的方程为． （2）设弦的两端分别为，．则有： ． 弦中点为，． 故直线的斜率． 则所求直线方程为：． 18． (1)证明见解析 (2)存在； 【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 19． (1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）设动圆P的半径为R，圆心为， 即， ，即， 而动圆P与圆内切，且与圆外切， 故，则， 故动圆P的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆， 设其方程为，则， 故轨迹E的方程为. （2）（i）由题意知AB斜率存在，设其方程为，， 则， 由，得， 由于直线AB过椭圆焦点，则必有，则， 直线BM的方程为， 令，可得 ， 即N为一个定点； （ii） ，同理可得， ，则 ， 当且仅当，即时等号成立， 即四边形ADBG的面积的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$