第6章 图形的相似 单元复习试卷2024-2025学年苏科版数学九年级下册

苏科版九年级下学期《第6章 图形的相似》单元复习试卷 一．选择题（共10小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（　　） A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位 B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位 D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位 2．如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项1920×1080调整成1400×1050时，由于比例改变（1920：1080≠1400：1050），画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计算机画面分辨率从1920×1080调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域？（　　） A．1680×1050 B．1600×900 C．1440×900 D．1280×1024 3．已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 4．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 5．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 7．如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（　　） A． B． C． D． 8．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②ABAD；③GEDF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 9．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 10．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（　　） A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 二．填空题（共5小题） 11．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有　 　（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位； ④绕着OB的中点旋转180°即可． 12．若，则　 　． 13．湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是　 　千米（结果精确到1千米）． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则BC的长为 　 　cm（结果保留根号）． 15．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．已知，求的值． 17．书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度． 18．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值． 19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE＝2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q． （1）求AO的长； （2）求PQ的长； （3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值． 20．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形． ①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　 　； ②当菱形的“接近度”等于　 　时，菱形是正方形． （2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． 你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D A D C B C B 一．选择题（共10小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（　　） A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位 B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位 D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位 【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可． 【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE． 故选：D． 【点评】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键． 2．如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项1920×1080调整成1400×1050时，由于比例改变（1920：1080≠1400：1050），画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计算机画面分辨率从1920×1080调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域？（　　） A．1680×1050 B．1600×900 C．1440×900 D．1280×1024 【分析】根据比例不变，画面左右不会出现黑色区域，即可得出答案． 【解答】解：∵1920：1080＝1600：900， ∴阿成将他的计算机画面分辨率从1920×1080调整成1600×900时，画面左右不会出现黑色区域． 故选：B． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3．已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【分析】根据题意画出图形，设正多边形的边长为2a，则其边心距为a，故可得出其底角的度数，由此可判断出△OAB的形状，故可得出结论． 【解答】解：如图所示： ∵正多边形的边心距与边长之比为， ∴设正多边形的边长为2a，则其边心距为a， ∵OD⊥AB， ∴ADAB2a＝a， ∴tan∠OAD， ∴∠OAB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴n6， ∴此正多边形是正六边形． 故选：B． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 4．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据题意可知点P在以BC为直径的圆上，得出AD与此圆的位置关系即可解决问题． 【解答】解：∵PB⊥PC， ∴点P在以BC为直径的圆上． 如图所示， ∵四边形ABCD是黄金矩形， ∴令AB＝CD＝（）a，AD＝BC＝2a， ∴⊙M的半径为a． ∵0， ∴AD边与⊙M相离， ∴AD边上满足PB⊥PC的点P的个数为0． 故选：D． 【点评】本题考查黄金分割及矩形的性质，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出结论． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键． 6．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 7．如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据相似三角形的性质得出图中直角三角形的一个锐角为30°，再利用特殊角的三角函数值结合相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：因为图中12个直角三角形都相似， 所以360°÷12＝30°， 即直角三角形中较小的锐角为30°． 在Rt△OAB中， cos∠AOB， 因为∠AOB＝30°， 所以， 同理可得， ，，，， 所以． 又因为OA＝1， 所以OG． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 8．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②ABAD；③GEDF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为AD中点，点E为AB中点，设AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理分析求得AB与AD的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读GE和DF、OC和OF的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤． 【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC， ∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC， ∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°， ∴∠FGE+∠GEC＝180°， ∴GF∥CE，故①正确； 设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b， ∴CG＝OG+OC＝3a， 在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2， （3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2， 解得：ba， ∴ABAD，故②错误； 在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x， ∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2， 解得：xa， ∴DFaa，2OF＝2a＝2a， 在Rt△AGE中，GEa， ∴GEDF，OC＝2OF，故③④正确； 无法证明∠FCO＝∠GCE， ∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误； 综上，正确的是①③④， 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键． 9．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【分析】旋转得到DH＝DE，∠HDE＝2α，当点E落在边 AC上时，利用三角形的外角推出∠CED＝α＝∠C，进而得到DE＝CD，推出 DH＝CD，判断小明的说法，连接AE，HE，等边对等角，求出，进而求出∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α，推出点E在射线HE上运动，根据垂线段最短，得到AE⊥HE时，AE的长最小，进而推出△AEH∽△AHB，判断小丽的说法即可． 【解答】解：∵将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE， ∴DH＝DE，∠HDE＝2α， 当点E落在边AC上时，如图： ∵∠HDE＝∠C+∠CED，∠C＝α， ∴∠CED＝α＝∠C， ∴DE＝CD， ∴DH＝CD， ∴D为CH的中点， 故小明的说法是正确的； 连接AE，HE， ∵DH＝DE，∠HDE＝2α， ∴， ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHD＝90°， ∴∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α， ∴点E在射线HE上运动， ∴当AE⊥HE时，AE的长最小， ∴当AE的长最小时，∠AEH＝∠AHB＝90°， 又∵∠B＝∠C＝α＝∠AHE， ∴△AEH∽△AHB，， ∴AH2＝AB•AE， 故小丽的说法正确； 故选：C． 【点评】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点E的轨迹，是解题的关键． 10．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（　　） A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【解答】解：如图： ∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△EDC， ∴， 即， ∴DE＝8（m）， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答． 二．填空题（共5小题） 11．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有　②③④　（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位； ④绕着OB的中点旋转180°即可． 【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 【解答】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位， 或绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换是解题的关键． 12．若，则　1　． 【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：∵， ∴1＝2﹣1＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质． 13．湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是　5500　千米（结果精确到1千米）． 【分析】由比例尺的定义计算可得． 【解答】解：我国南北的实际距离大约是82.09×6700000＝550003000（cm）≈5500（km）， 故答案为：5500． 【点评】本题主要考查比例线段，熟练掌握比例尺的定义是解题的关键． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则BC的长为 　（）　cm（结果保留根号）． 【分析】根据题意可得出四边形ANPB是矩形，进而得出AB的长，再根据BC与AB的比值即可解决问题． 【解答】解：∵四边形MNPQ是正方形， ∴∠N＝∠P＝90°， 又∵AB∥NP， ∴∠BAN+∠N＝180°， ∴∠BAN＝90°， ∴四边形ABPN是矩形， ∴AB＝NP＝2cm． 又∵， ∴BC＝（）cm． 故答案为：（）． 【点评】本题主要考查了黄金分割及平行线的性质，熟知黄金分割的定义及平行线的性质是解题的关键． 15．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 　　． 【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【解答】解：∵AO＝2，OF＝1， ∴AF＝AO+OF＝2+1＝3， ∵AB∥EF∥CD， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．已知，求的值． 【分析】首先设k，即可得x＝3k，y＝4k，z＝6k，然后将其代入，化简即可求得的值． 【解答】解：设k， 则x＝3k，y＝4k，z＝6k， ∴． 【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，注意设k是解此题的关键． 17．书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度． 【分析】根据题意得到AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m，根据a＝b，c＝d，c＝2a，得到方程，解方程即可得到结论． 【解答】解：由题意得，AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m， ∵a＝b，c＝d，c＝2a， ∴AB＝（1.2+c+d）m＝（1.2+4a）m，AD＝（0.8+a+b）m＝（0.8+2a）m， ∵AB与AD的比是16：10， ∴（1.2+4a）：（0.8+2a）＝16：10， ∴a＝0.1， ∴b＝0.1，c＝d＝0.2， 答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m． 【点评】本题考查了比例方程，正确地理解题意，列出比例方程是解题的关键． 18．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值． 【分析】（1）依据题意，将m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解； （2）依据题意，将b2﹣2mb＝4变形为（）2+m•（）﹣1＝0，从而可以看作a，是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，将m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0， ∴x1，2． ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵b2﹣2mb＝4， ∴b2﹣2mb﹣4＝0． ∴（）2+m•（）﹣1＝0． 又b≠﹣2a， ∴a，是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根． ∴a•（）＝﹣1． ∴ab＝2． （3）由题意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②， ∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q， （p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q． 又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q）， ∵p，q为两个不相等的实数， ∴p﹣q≠0， ∴（p+q）+n＝﹣1． ∴p+q＝﹣n﹣1． 又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q． ∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1． ∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1． ∴pq＝n． ∴pq﹣n＝0． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE＝2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q． （1）求AO的长； （2）求PQ的长； （3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值． 【分析】（1）由△ABC∽△ACO，得，由此即可求出OA． （2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，在Rt△PFQ中，求出PF，QF即可解决问题． （3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，由PF∥GQ，推出△PMF∽△QMG，推出，由PM+QM，可以求出PM，QM，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中， ∵CO⊥AB， ∴∠AOC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACO， ∴， ∵AB13， ∴OA． （2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF， 则PF∥ED，FQ∥BC， ∵DE∥AC，AC⊥BC， ∴DE⊥BC， ∴PF⊥FQ， ∵PFED＝1，FQBC＝6， 在Rt△PFQ中，PQ． （3）如图3中，取AD中点G，连接GQ， ∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED， ∴PF∥GQ， ∴△PMF∽△QMG， ∴， ∵PM+QM， ∴PM，MQ， ∴|PM﹣QM|． 【点评】本题考查三角形相似综合题、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形以及相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 20．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形． ①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　40　； ②当菱形的“接近度”等于　0　时，菱形是正方形． （2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． 你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义． 【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形； （2）不合理，举例进行说明． 【解答】解：（1）①∵内角为70°， ∴与它相邻内角的度数为110°． ∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40． ②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形． （2）不合理． 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等． 合理定义方法不唯一． 如定义为， 越接近1，矩形越接近于正方形； 越大，矩形与正方形的形状差异越大； 当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形． 【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$