2025年河南中考数学一轮复习教材梳理课件：第三章函数第七节二次函数的实际应用

第三章　函数 第七节　二次函数的实际应用 提分点1　 销售利润问题 （2024北京一模）某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查 发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示， 每月销售该商品获得的利润为W（元）. （1）分别求出y与x，W与x的函数关系式； 解：（1）设y＝kx＋b（k≠0）.代入（15，500），（35，100）两点， 得解得 ∴y与x的函数解析式为y＝－20x＋800. 根据题意得W＝y（x－10）＝（－20x＋800）（x－10）＝－ 20x2＋1 000x－8 000. （2）当商场每月销售该商品的利润为4 000元时，求该商品的定价； 解：（2）当W＝4 000时，4 000＝－20x2＋1 000x－8 000. 得x2－50x＋600＝0， 解得x1＝20，x2＝30. 答：当商场每月销售该商品的利润为4 000元时，该商品的定价为 20元/件或30元/件. （3）该商品的销售价定为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：（3）∵－20＜0，∴二次函数的开口方向向下. ∴x＝－ ＝25时，W最大，最大值为（－20×25＋800）（25－ 10）＝4 500（元）. 答：为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为25元/件，最大利润是4 500元. 提分点2　 抛物线问题 （2024周口一模）甲、乙两位同学进行抛球训练.如图，在平面直 角坐标系中，一个单位长度代表1 m长，球网为AB，甲同学在点C（8，0） 处将球拋出，球抛出点是D（8，1），球刚好擦网而过，其运动路线为抛物 线y＝a（x－4）2＋2.6的一部分，乙同学恰在E（0，c）处接住球，然后 跳起将球回传给甲同学，球抛出点在点E上方点F处，回球路线为抛物线y ＝－ x2＋ x＋c＋1.6的一部分.（把球看成点） （1）球网AB的高度是多少米？并求a，c的值； 解：（1）由y＝a（x－4）2＋2.6，最高点为（4，2.6）. ∴球网AB的高度是2.6 m. ∵点D（8，1）在抛物线y＝a（x－4）2＋2.6上， 代入得1＝a（8－4）2＋2.6，解得a＝－ ， ∴y＝－ （x－4）2＋2.6. ∵点E（0，c）在抛物线y＝－ （x－4）2＋2.6上，代入得c ＝－ （0－4）2＋2.6＝1. （2）若甲同学在x轴上方1 m的高度，且到CD的水平距离不超过1 m的范围 内可以接到球，求符合条件的n的整数值. 解：（2）由题意得，甲同学接到球的位置坐标在（7，1）、 （9，1）之间， 分别代入y＝－ x2＋ x＋2.6. 1＝－ ×72＋ ×7＋2.6，n＝ ＝3 ； 1＝－ ×92＋ ×9＋2.6，n＝ ＝5 . ∴3 ≤n≤5 ， 故符合条件的n的正整数值为4或5. 命题点1　 销售利润问题 1. （2018河南第21题，10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该 产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系.关于销 售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表： 销售单价x/元 85 95 105 115 日销售量y/个 175 125 75 m 日销售利润w/元 875 1 875 1 875 875 注：日销售利润＝日销售量×（销售单价－成本单价） （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值； 解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b. 由表格可得解得 即y关于x的函数解析式是y＝－5x＋600. 当x＝115时，m＝－5×115＋600＝25. （2）根据以上信息，填空： 该产品的成本单价是 元，当销售单价x＝ 元时，日销售利润 w最大，最大值是 元； 80　 100　 2 000　 （2）【解法提示】设该产品的成本单价为a元， 则875＝175×（85－a），解得a＝80. 根据题意得，w＝y（x－80）＝（－5x＋600）×（x－80）＝－5x2＋ 1 000x－48 000＝－5（x－100）2＋2 000. ∵－5＜0，∴当x＝100时，w取得最大值，最大值是2 000. （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售 中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系.若想实现销售单价为90元 时，日销售利润不低于3 750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多 少元？ （3）设科技创新后成本为b元. 由题意得（－5×90＋600）×（90－b）≥3 750， 解得b≤65. 答：该产品的成本单价应不超过65元. 命题点2　 抛物线问题 2. （2024河南第22题，10分）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h （m）满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0 （m/s）是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖 直向上发射小球. （1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）. 　 （2）若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度. 解： （2）当t＝ 时，h＝20. －5×（ ）2＋v0× ＝20. 解得v0＝20. 答：小球被发射时的速度是20 m/s. 解： （3）小明的说法不正确. 理由如下：由（2）得h＝－5t2＋20t. 当h＝15时，15＝－5t2＋20t. 解方程，得t1＝1，t2＝3. ∵3－1＝2（s）， ∴小明的说法不正确. （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度 相同.小明说：“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m，请判断他 的说法是否正确，并说明理由. 3. （2023河南第22题，10分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好 者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球 线路的分析. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3 m，CA＝2 m，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y （m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择 吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关 系y＝a（x－1）2＋3.2. （1）求点P的坐标和a的值； 解：（1）依题意知，点P为直线y＝－0.4x＋2.8与y轴的交点. 当x＝0时，y＝－0.4×0＋2.8＝2.8， ∴点P的坐标为（0，2.8）. ∵抛物线y＝a（x－1）2＋3.2经过点P， ∴2.8＝a＋3.2，解得a＝－0.4. 解：（2）∵OA＝3 m，CA＝2 m， ∴OC＝5 m. 若选择扣球，当y＝0时，得－0.4x＋2.8＝0， 解得x＝7. 此时球的落地点到C点的距离为7－5＝2（m）. 由（1）知，y＝－0.4（x－1）2＋3.2， 若选择吊球，当y＝0时，得－0.4（x－1）2＋3.2＝0， 解得x1＝2 ＋1，x2＝－2 ＋1（舍去）， （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式. 此时球的落地点到C点的距离为5－（2 ＋1）＝（4－2 ）m. ∵4－2 ＜2，∴应选择吊球. 4. （2022河南第21题，9分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线 形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水 平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐 标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x－h）2＋k，其中x（m）是水柱距 喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）根据题意得，抛物线顶点为（5，3.2），与y轴交点为（0，0.7）. 设抛物线的表达式为y＝a（x－5）2＋3.2， 将（0，0.7）代入，得0.7＝25a＋3.2， 解得a＝－ ， ∴抛物线的表达式为y＝－ （x－5）2＋3.2＝－ x2＋x＋ . （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m.身高1.6 m的小红在 水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离. 解：（2）当y＝1.6时，－ x2＋x＋ ＝1.6， 解得x＝1或x＝9， ∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2（m）或9－3＝6（m）. 答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2 m或6 m. $$