2025年河南中考数学一轮复习教材梳理课件：第二章方程（组）与不等式（组）第四节一次不等式（组）

第二章　方程（组）与不等式（组） 第四节　一次不等式（组） 考点1　 不等式及其性质 1. 不等式的概念 一般地，用符号“＞”（或“≥”）、“＜”（或“≤”）连接的式子叫做 不等式. 2. 不等式的性质 性质1 不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向 ① ，即如果a＞b，那么a±c② b±c 性质2 不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向③ ，即如果a＞b，c＞0，那么ac④ bc（或 ⑤ ⁠ ） 性质3 不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向⑥ ，即如果a＞b，c＜0，那么ac⑦ bc（或 ⑧ ⁠） 不变　 ＞　 不变 ＞　 ＞　 改变 ＜　 ＜　 3 考点2　 一元一次不等式 1. 一元一次不等式的概念 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 2. 解一元一次不等式的步骤 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1. 3. 一元一次不等式的解集在数轴上表示 解集 数轴表示 特别提醒 x＞a 方向：大于向右，小于向左 边界：“＞”“＜”用空心圆圈，“≥” 或“≤”用⑨ ⁠ x＜a x≥a x≤a 实心圆点 考点3　 一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的概念 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组. 2. 一元一次不等式组的解集 不等式组中各个不等式解集的⑩ ，就是一元一次不等式组 的解集. 3. 解一元一次不等式组的步骤 （1）先分别求出每个一元一次不等式的解集； （2）再利用数轴，找出它们解集的公共部分. 公共部分　 4. 一元一次不等式组的解集在数轴上的表示 类型 （a＞b） 数轴表示 口诀 解集 同大 取大 ⑪ ⁠ 同小 取小 x≤b x≥a　 类型 （a＞b） 数轴表示 口诀 解集 大小小大中 间找 ⑫ ⁠ ⁠ 大大小小解 不了 无解 b≤x≤a 数轴上表示解集时注意两点：（1）找界点，确定是空心圆圈还是实心圆 点；（2）找方向，小于向左，大于向右. 考点4　 一元一次不等式（组）的应用 1. 列不等式（组）解应用题的步骤 （1）审题；（2）设未知数；（3）列不等式（组）；（4）解不等式 （组）；（5）检验；（6）作答. 2. 常见的关键词对应的不等式关系 关键词 对应不等号 大于、多于、超过、高于 ＞ 小于、少于、不足、低于 ＜ 至少、不低于、不小于、不少于 ⑬ ⁠ 至多、不超过、不高于、不大于 ⑭ ⁠ 注意：未知数的取值范围既要满足题意也要符合实际意义，如人数、房间 数等必须是整数，取值时结合实际情况向下或向上取整 ≥　 ≤　 提分点1　 一元一次不等式（组）的解法及解集表示 （人教七下P129习题改编）解不等式组： （1）解不等式①，得 ⁠； （2）解不等式②，得 ⁠； x＜3　 x≥1　 （3）将不等式①与②的解集在下列数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ⁠； （5）原不等式组的最小整数解为 ⁠. 1≤x＜3　 1　 1. 从下列不等式中选择一个与x＋1≥2组成不等式组，使该不等式组的解集 为x≥1，那么这个不等式可以是（　A　） A. x＞－1 B. x＞2 C. x＜－1 D. x＜2 A 2. （2024南阳一模）不等式组的解集在数轴上表示正 确的是（　C　） A. B. C. D. C 3. （2024开封二模）不等式组的正整数解的和为 ⁠. 4. （2024平顶山三模）若实数m在数轴上的位置如图所示，则关于x的不等 式组的解集为 ⁠. 3　 x＞2　 提分点2　 一元一次不等式（组）的应用 某文具店计划购进A，B两种品牌的文具盒，其中A品牌文具盒的 进货价为23元，B品牌文具盒的进货价为18元. （1）若该文具店计划购进A，B两种品牌的文具盒共60个，且货款不超过1 230元，则A品牌文具盒最多购进多少个？ 解：设购进A品牌文具盒x个，则购进B品牌文具盒（60－x）个. 根据题意得23x＋18（60－x）≤1 230， 解得x≤30. 答：A品牌文具盒最多购进30个. （2）若该文具店再次购进A品牌文具盒40个，B品牌文具盒60个，已知A 品牌文具盒销售单价为28元，要使这批文具盒全部售完后利润不低于500 元，则B品牌文具盒的销售单价最少是多少？ 解：设B品牌文具盒的销售单价是y元. 根据题意得（28－23）×40＋60（y－18）≥500， 解得y≥23. 答：B品牌文具盒的销售单价最少是23元. （3）已知A品牌文具盒销售单价为28元，B品牌文具盒销售单价为23元.王 老师想在该文具店购买A，B两种文具盒共10个作为奖品发给学生. 该文具店推出两种优惠方案： 方案一：购买2个A品牌文具盒赠送1个B品牌文具盒； 方案二：按总价的八折付款. 若王老师认为方案二比较划算，则王老师最多购买多少个A品牌文具盒？ 解：设王老师购买A品牌文具盒m个. 方案一需付款：28m＋23（10－m－ m）＝（－ m＋230）元； 方案二需付款：[28m＋23（10－m）]×0.8＝（4m＋184）元. 根据题意得－ m＋230＞4m＋184， 解得m＜4 . ∵m为整数，∴m的最大值为4. 答：王老师最多购买4个A品牌文具盒. 5. （2024商丘三模）古柏渡飞黄旅游区的樱花盛开，“上春山赏繁花”已 成为年轻人的打卡新潮流！郑州大学某班级共30名同学来到景区，准备租用 汉服拍照游玩.景区有甲、乙两家汉服体验店，已知甲店每件汉服的租用价 格比乙店少20元，该班级三个小组租用汉服的部分情况如下表（每人只租一 件）： 甲店 乙店 费用 第一小组 8件 2件 m元 第二小组 4件 5件 m元 第三小组 ？ ？ ？ （1）求甲、乙两家汉服体验店每件汉服的租用价格； 解：（1）设甲店每件汉服的租用价格为x元，则乙店每件汉服的租用价格 为（x＋20）元， 根据题意得8x＋2（x＋20）＝4x＋5（x＋20），解得x＝60， ∴x＋20＝60＋20＝80. 答：甲店每件汉服的租用价格为60元，乙店每件汉服的租用价格为80元. （2）若租用汉服的班级预算不超过2 000元，则第三小组最多只能有几人选 择乙店？ 解：（2）设第三小组有y人选择乙店，则第三小组有（30－8－2－4－5－ y）人选择甲店， 根据题意得60（8＋4＋30－8－2－4－5－y）＋80（2＋5＋y）≤2 000， 解得y≤3，∴y的最大值为3. 答：第三小组最多只能有3人选择乙店. 命题点1　 一元一次不等式组的解与解集 1. （2024河南第5题，3分）下列不等式中，与－x＞1组成的不等式组无解 的是（　A　） A. x＞2 B. x＜0 C. x＜－2 D. x＞－3 A 2. 不等式组的解集在数轴上表示为 （　C　） C A. B. C. D. 3. （2022河南第12题，3分）不等式组的解集为 ⁠. 4. （2020河南第12题，3分）已知关于x的不等式组其中a，b在数 轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ⁠. 2＜x≤3　 x＞a　 5. 不等式组的解集是 ⁠. x≤－2　 命题点2　 一元一次不等式（组）的应用 6. （2023河南第21题，9分）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定 购物时只能选择其中一种. 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元.（如：所购商品原价为300 元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需 付款610元） （1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说 明理由； 解：（1）选择活动一更合算. 理由如下： 选择活动一需付款：450×0.8＝360（元）， 选择活动二需付款：450－80＝370（元）， ∵360＜370， ∴选择活动一更合算. （2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二 的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价； 解：（2）设一件这种健身器材的原价为x元， 当0＜x＜300时，选择活动一和选择活动二的付款金额不会相等； 当300≤x＜500时，根据题意得0.8x＝x－80，解得x＝400， 答：一件这种健身器材的原价是400元. （3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活 动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出 a的取值范围. 解：（3）300≤a＜400或600≤a＜800. 【解法提示】分两种情况： ①当300≤a＜600时， 根据题意得a－80＜0.8a， 解得a＜400，即300≤a＜400； ②当600≤a＜900时， 根据题意得a－160＜0.8a， 解得a＜800，即600≤a＜800. 综上所述，当300≤a＜400或600≤a＜800时，选择活动二比选择活动一更 合算. 7. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖 品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品 共需210元. （1）求A，B两种奖品的单价； 解：（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元. 根据题意得，解得 答：A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元. （2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品 数量的 .请设计出最省钱的购买方案，并说明理由. 解：（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品（30－z）个，购买奖品的花费 为W元. 由题意可得W＝30z＋15（30－z）＝450＋15z. ∵z≥ （30－z），∴z≥ . 由15＞0，得W随着z的增大而增大， 又∵z≥ ，且为正整数， ∴当z＝8时，W有最小值. 答：购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少. $$