专题10 函数的应用和函数模型（5题型）--2024～2025学年高一数学上学期期末重难点讲与练（人教A版·2019）

明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题10 函数的应用和函数模型 题型目录一览 ①求函数的零点和判断零点所在区间 ②与零点有关的参数问题 ③二分法的应用 ④常见函数模型Ⅰ-二次和分段函数 ⑤常见函数模型Ⅱ-指对幂函数 一、知识点梳理 1.函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2.方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3.零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 4.二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 5.用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步.（ 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.） 6.几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，为常数且 反比例函数模型 ，为常数且 二次函数模型 ，，为常数且 指数函数模型 ，，为常数，，， 对数函数模型 ，，为常数，，， 幂函数模型 ，为常数， 7.解函数应用问题的步骤： (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型; (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 【常用结论】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 二、题型分类精讲 题型一 求函数的零点和判断零点所在区间 策略方法 1.确定函数零点个数的方法 2.判断函数零点所在区间的方法 【题型训练】 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知函数且，若方程与方程共有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川成都·期末）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的一个单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．若函数在上没有零点，则 6．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有4个实数根，则 7．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知函数，，对都有，且的零点有且只有3个.下列选项中正确的有（　　） A． B．的取值范围为 C．使的有且只有2个 D．方程的所有根之和为 8．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 9．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 10．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 题型二 与零点有关的参数问题 策略方法 已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围 【题型训练】 11．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数恰有三个零点,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·河南南阳·期末）设集合，，函数.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·河北保定·期末）对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·广东汕尾·期末）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数有两个大于的零点，，则可以取到的值是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．4 D．5 题型三 二分法的应用 21．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   23．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·青海西宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数的零点是， B．方程有两个解 C．函数，的图象关于对称 D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上 27．（23-24高一上·宁夏银川·期末）下列说法正确的有（　　） A．函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则 B．函数可以用二分法求零点 C．方程在区间上有且只有个实根 D．函数且的图象过定点 28．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 29．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，给出函数的部分图象． (1)请在图中同一坐标系内画出函数的图象．设与在轴左边的交点为，试用二分法求出的横坐标的近似解（精确度为0.3）； (2)用表示，中的较大者，记为，请写出的解析式． 30．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 题型四 常见函数模型Ⅰ-二次和分段函数 31．（23-24高一上·北京东城·期末）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·广东汕尾·期末）某市家庭用水的使用量x（）和水费（元）满足关系．已知某家庭2023年前四个月的水费如下表： 月份 用水量（） 水费（元） 一月 3.5 4 二月 4 4 三月 15 18 四月 20 25 若五月份该家庭使用了25的水，则五月份的水费为（    ） A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 33．（22-23高一上·河北保定·期末）在大草原放牧的老杨要建个羊圈，羊圈既需要四周都用铁丝网围成长方形又要达到平均每一头羊占地不小于6平方米．他买了100m固定高为2m的铁丝网，建造羊圈时铁丝网高度2m不能改变，请问老杨养的羊数可为（    ） A．80 B．90 C．100 D．140 34．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 35．（23-24高一上·天津宁河·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元. 36．（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）为了预防某种病毒，学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：h）的变化情况如右图所示，在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，写出从药物释放开始，与之间的函数关系式 .据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生方能回到教室. 37．（23-24高一上·江西上饶·期末）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 38．（23-24高一上·安徽宣城·期末）某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？ 39．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米. (1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值. 40．（23-24高一下·贵州毕节·期末）如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）.    (1)设长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当为何值时，最小？并求出这个最小值. 题型五 常见函数模型Ⅱ-指对幂函数 41．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（    ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，） A．11 B．12 C．13 D．14 42．（23-24高一上·浙江丽水·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ） A．10550年 B．7550年 C．8550年 D．9550年 44．（23-24高一上·福建三明·期末）2023年8月24日，日本政府无视国内外反对呼声，违背应履行的国际义务，单方面强行启动福岛核污染水排海．福岛核污染水中的放射性元素“锶90”的半衰期为30年，即“锶90”含量每经过30年衰减为原来的一半．若“锶90”的剩余量不高于原有的8%，则至少经过（参考数据：）（    ） A．110年 B．115年 C．112年 D．120年 45．（23-24高一上·河南三门峡·期末）医学治疗中常用放射性核素产生射线，而是由半衰期相对较长的衰变产生的．对于质量为的，经过时间t后剩余的质量为m，是以t为自变量的指数函数，其部分图象如图．从图中可以得到的半衰期为（    ）    A．67.3d B．101.0d C．115.1d D．124.9d 46．（23-24高一上·福建福州·期末）某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．23小时 B．25小时 C．42小时 D．44小时 47．（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 48．（23-24高一上·江苏无锡·期末）某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒 次 49．（23-24高一上·福建南平·期末）燕子每年都要进行秋去春来的南北大迁徙，已知某种燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度（米/秒）之间满足关系：． (1)当该燕子的耗氧量为1280时，它的飞行速度是多少？ (2)若该燕子飞行时的耗氧量增加到原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：） 50．（23-24高一上·贵州毕节·期末）人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人们能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有：（为常数）．已知人正常说话时声音约为，嘈杂的马路声音等级约为，而的声音强度是的声音强度的1000倍． (1)求函数的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声音约为，计算该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍？ 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【题型训练】 1．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围． 【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且， 由，得，则， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增，且，， ， 所以的取值范围是． 故选：B． 2．（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知函数且，若方程与方程共有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图像，将方程6个不同的实数根转化为有4个不同的实根，有2个不同的实根，即可得出结果. 【详解】当时，可知，当时，可知，所以根据正弦函数的单调性可得大致图象如图所示， 由方程与方程共有6个实数根,可知有4个不同的实根，有2个不同的实根， 所以， 解得. 故选:C. 3．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求. 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：以为整体，可得，结合正弦函数零点分析可知右端点的取值范围，进而可得的取值范围. 4．（23-24高二上·四川成都·期末）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用复数的乘法运算及模的公式得，所求式子为，令，则利用有解求得，即可得解. 【详解】设，则， 所以，即， 而， 令，则，所以， 即，记，则， 由题意，该方程存在非负根，且二次函数对称轴， 所以，所以，又，所以， 所以，即的最小值为. 故选：C 5．（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的一个单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．若函数在上没有零点，则 【答案】ACD 【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出，再由，求出的值，然后根据求出的值，进而可以判断；：利用的范围求出的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；：判断与0的关系，由此即可判断；：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断． 【详解】：由函数图象可得，则，所以， 又，则，则，结合其范围有， 由，解得，所以，故正确； ：当时，，则函数在不单调递增，故错误； ：当 时，，所以的图象关于点,对称，故正确； 的图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到的， 由题图知 在上没有零点，则 在上没有零点， 由题意得，所以，故正确． 故选：ACD. 6．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有4个实数根，则 【答案】ABD 【分析】根据函数图象过，，建立方程组求出的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】由函数图象可知，， 因为在，附近单调递增， 所以，，， 又因为，所以，， 所以，A说法正确； 当时，， 所以由在单调递减可知在上单调递减，B说法正确； 因为，所以C说法错误； 令得，解得或， 方程在上有且只有4个实数根，从小到大依次为， 而第5个实数根为，所以，D说法正确； 故选：ABD 7．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知函数，，对都有，且的零点有且只有3个.下列选项中正确的有（　　） A． B．的取值范围为 C．使的有且只有2个 D．方程的所有根之和为 【答案】AC 【分析】，始终把看做一个整体，借助正弦函数的图象、最值、方程的根来对选项逐一分析即可. 【详解】，令，则， 令，即， ，， 则在上有3个零点， 则，即， 解得，故错误； ，， 则，所以，故正确； 若，即， 或，故正确； ，且的零点有且只有3个， 所以方程有四个根，从小到大分别为. ，即， 则， 则， 故，即方程的所有根之和为，故错误. 故选：. 【点睛】方法点睛：解决的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住的大致范围，如本题选项，具体方法为： （1）根据的范围，求出的范围； （2）把看成一个整体，即利用换元法，把变成来降低解决问题的难度，再借助正弦函数的图象，要使有3个零点，则的最大值就必须在之间，列出不等式即可求出的取值范围. 8．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案. 【详解】若函数有三个零点， 则与的图象有3个交点， ， 当时，， 当时，， 与轴的交点为， 的大致图象如下， 要使与的图象有3个交点， 则，解得，或.    故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 9．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解. （2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解. （3）分离参数得，将函数在上有四个零点 转化成 则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解. 【详解】（1）因为，所以的互生向量. （2）由题意可得，所以， 令，解得， 因为，所以， 所以函数在上的严格增区间为. （3）由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为， 所以， 则由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为. 【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数在上有四个零点求参数k，先分离参数得，从而将零点问题转化成函数与在上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图象，由图象即可得解. 10．（2024高二下·浙江·学业考试）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）得到不等式，结合函数单调性得到不等式，求出答案； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案 ②根据①得到，，且满足，即，计算出， 又，代入后求出. 【详解】（1）由可得，所以， 即，解得． （2）①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增， 其中，当时，， 结合图像可知； ②由①可知，所以，， 且满足，，即． ， ， 又， 所以 ， 因为，所以，， 故． 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 题型二 与零点有关的参数问题 策略方法 已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围 【题型训练】 11．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数在恰好有3个零点转化为函数在上恰有条对称轴，利用正弦曲线列不等式求解即可. 【详解】令得， 因为函数在恰好有3个零点， 所以函数在上恰有条对称轴， 当时，， 函数在上恰有条对称轴，如图：   ， 则，解得. 故选：C. 12．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数恰有三个零点,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为,对进行分类讨论,利用数形结合的方法即可得到结果. 【详解】因为, ①当时,做出两段抛物线的图像如图:    此时函数只有两个零点,不满足题意; ②当时,,做出两段抛物线的图像如图:    此时函数恰有三个零点,满足题意; ③当时,因为在有两个零点,且当时两段抛物线的函数值相等,若要满足题意,则两段抛物线的图像应该如图:    此时,满足题意; 综上实数的取值范围为. 故选:B. 13．（23-24高一上·河南南阳·期末）设集合，，函数.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数恰有两个零点转化有两个根，设，，即与函数有两个交点，作出的图象，结合图象分析实数的取值范围. 【详解】函数恰有两个零点转化有两个根，设，，则与 函数有两个交点， 由题可得：，作出的图象如下：    由题可得，，， 所以要使与函数有两个交点，则实数的取值范围. 故选：B 14．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数以及的图象，确定函数的零点，然后数形结合，分类讨论，根据函数的零点个数，即可确定参数的取值范围，即得答案. 【详解】作出函数以及的图象， 的零点为0，的零点为，    由于函数恰有两个零点， 结合图象可知，当时，时，无零点， 当时，有零点为， 此时恰有两个零点，符合题意； 当时，时，有零点0， 当时，有零点为， 此时恰有三个零点，不符合题意； 当时，时，有零点0， 当时，有零点为， 此时恰有两个零点，符合题意； 当时，时，有零点0， 当时，没有零点， 此时恰有一个零点，不符合题意； 综合可知t的取值范围为， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点个数问题，要根据零点个数求解参数的范围，解答的关键是结合函数以及的图象，分类讨论，从而根据零点个数确定参数范围. 15．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，画出的图象，数形结合，即可求得的范围. 【详解】方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 又， 当时，都是单调增函数，故也是单调增函数； 当时，都是单调增函数，故也是单调增函数； 则有两个不相等的实数根，也即的图象有两个不同的交点； 在直角坐标系中，作出的图象如下所示： 数形结合可知，要满足题意，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键一是：合理的构造；二是：能够熟练掌握方程的根、函数的零点、图象的交点之间的转化关系；三是：准确的画出的图象；考察内容综合，对学生基本素质要求较高. 16．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、分段函数的图象与性质结合函数的单调性计算即可. 【详解】设，则，故可转化为， 即的图像与直线有4个不同的交点， 对应横坐标从小到大依次为， 如图所示，可知， 且， ， 则， 令，易知在上单调递减，即此时， 所以：. 故选:D 【点睛】难点点睛：对于函数零点求参问题可适当积累一些结论，如函数，若有，则，同时注意利用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质求解即可. 17．（23-24高一上·河北保定·期末）对于函数，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别求得函数的零点，结合题意，得出不等式或，即可求解. 【详解】令，即，解得，即的零点为， 再令，即，解得或，即的零点为和， 因为与互为“零点相邻函数”，所以或， 则或，解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 18．（23-24高一上·广东汕尾·期末）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则有，作出函数的图象，结合图象即可得答案. 【详解】由，得， 作出函数的图象，如图所示： 令，则， 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 从而函数有3个零点， 但对恒成立，即对恒成立， 又，则， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 19．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数有两个大于的零点，，则可以取到的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的分布求出a的取值范围，利用根与系数的关系将化为关于a的二次函数，结合其单调性，即可求得答案.. 【详解】由已知函数有两个大于的零点，， 即有两个大于的不等实数根，， 得，解得； 又， 故， 由于在上单调递增， 故，即， 故结合选项可知可以取到的值是10， 故选：D 20．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】由二次函数的零点与二次函数的系数之间的关系即可得解. 【详解】由题意二次函数的零点为和3， 所以， 所以. 故选：A. 题型三 二分法的应用 21．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案. 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以. 故选：B. 22．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由函数零点存在性定理和二分法概念对选项逐一判断可得结论. 【详解】根据零点存在性定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线，若在区间上满足，则函数在区间上存在零点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点. 故选：C 23．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】由二分法可知，第一次计算，又， 由零点存在性定理知零点在区间上，所以第二次应该计算， 又，所以零点在区间. 故选：B. 24．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法，可得答案. 【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点， 由于，则第二次需计算， 故选：C． 25．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 26．（23-24高一上·青海西宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数的零点是， B．方程有两个解 C．函数，的图象关于对称 D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上 【答案】BC 【分析】对于A，零点不是点，而是函数与轴交点的横坐标，由此即可判断；对于B，由零点存在定理判断存在两个零点就可以了；对于C，由互为反函数的两个函数的位置关系即可判断；对于D，由零点存在定理即可判断. 【详解】对于A，令，解得，即函数的零点是和2，故A错误； 对于B，令，则， ， 所以由零点存在定理可知（其图象连续不断）在内各有一个零点，故B正确； 对于C，函数，互为反函数，所以函数，的图象关于对称，故C正确； 对于D，用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，， 则方程的根落在区间上，故D错误. 故选：BC. 27．（23-24高一上·宁夏银川·期末）下列说法正确的有（　　） A．函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则 B．函数可以用二分法求零点 C．方程在区间上有且只有个实根 D．函数且的图象过定点 【答案】AC 【分析】由增函数和奇函数的定义可判断A；由二分法的定义可判断B；由零点存在性定理可判断C；由对数函数的性质可判断D. 【详解】对于A，函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增，因为，则， 则，所以，故A正确； 对于B，画出的图像，如下图， 函数无变号零点，故不可以用二分法求零点，故B错误； 对于C，令，在区间上单调递减， 因为，， 由零点存在性定理可知，方程在区间上有且只有个实根.故C正确； 对于D，函数且的图象过定点，故D错误. 故选：AC. 28．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ． 【答案】7 【分析】利用二分法的定义列出不等式求解即可. 【详解】设至少需要计算次，则满足，即， 由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 故答案为：7 29．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，给出函数的部分图象． (1)请在图中同一坐标系内画出函数的图象．设与在轴左边的交点为，试用二分法求出的横坐标的近似解（精确度为0.3）； (2)用表示，中的较大者，记为，请写出的解析式． 【答案】(1)函数图像见解析， (2).（或） 【分析】（1）根据函数零点的存在性定理，进行计算，确定零点所在的区间，当区间长度小于或等于时，可以用区间内的任意一点的横坐标作为问题的答案； （2）数形结合，先确定方程的解，再判断各区间上与的大小. 【详解】（1）如图.               令，则当时，方程的近似解等价于求函数在内的零点， 因为，， 所以，由零点存在定理可知，. 又因为， 所以，由零点存在定理可知. 又因为， 故，由零点存在定理可知. 因为，所以可取为. （2）由，得，或. 结合（1）的图象，可得.（或） 30．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【详解】（1）在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 题型四 常见函数模型Ⅰ-二次和分段函数 31．（23-24高一上·北京东城·期末）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设铁丝的一段长度为，则另一段铁丝长为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设铁丝的一段长度为，（其中），则另一段铁丝长为， 两个正方形的面积之和为， 根据题意，可得， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故选：D. 32．（23-24高一上·广东汕尾·期末）某市家庭用水的使用量x（）和水费（元）满足关系．已知某家庭2023年前四个月的水费如下表： 月份 用水量（） 水费（元） 一月 3.5 4 二月 4 4 三月 15 18 四月 20 25 若五月份该家庭使用了25的水，则五月份的水费为（    ） A．32元 B．33元 C．34元 D．35元 【答案】A 【分析】由表知一月份、二月份用水量和水费，结合分段函数解析式可得，结合三四月份用水量及水费代入分段函数中求出，即可得答案. 【详解】根据一月份用水量，水费4元，根据二月份用水量，水费4元， 可知， ，解得， 所以， 所以令. 故选：A. 33．（22-23高一上·河北保定·期末）在大草原放牧的老杨要建个羊圈，羊圈既需要四周都用铁丝网围成长方形又要达到平均每一头羊占地不小于6平方米．他买了100m固定高为2m的铁丝网，建造羊圈时铁丝网高度2m不能改变，请问老杨养的羊数可为（    ） A．80 B．90 C．100 D．140 【答案】ABC 【分析】设长方形的一边长为m，则另一边长为()m,求出长方形面积的最大值即可得答案. 【详解】解：设长方形的一边长为m，则另一边长为()m, 则长方形的面积， 所以当时，取最大值为. 所以可养羊的只数，又， 所以. 故选：ABC. 34．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 【答案】ACD 【分析】根据图象可直接判断A，B选项；对C，计算出采用A，B方案核算的计件工资可判断；对D，由图可知产品件数为1000时，A方案核算的计件工资最多，求出函数关系式运算得解. 【详解】从图中可得，A正确，B错误； 若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用A方案核算的计件工资为3000元，采用方案核算的计件工资为元， 因为，所以该员工采用方案核算的计件工资更多，C正确； 从图中易得当时，员工采用A方案核算的计件工资（单位：千元） 与生产的产品件数（单位：百件）的函数关系式为， 则当时，，即当某员工生产的产品件数为1000时， 该员工的计件工资最多为14200元，D正确. 故选：ACD. 35．（23-24高一上·天津宁河·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元. 【答案】1680 【分析】分和两种情况得到利润函数，根据二次函数性质结合基本不等式计算最值，比较得到答案． 【详解】由题意可得：当时，利润为， 当时，， 故； 若，， 由二次函数的性质可知，在上单调递增，在,上单调递减， 所以当时，万元， ②若， 当且仅当时，即时，万元． 所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元． 故答案为：1680 36．（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）为了预防某种病毒，学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：h）的变化情况如右图所示，在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据图中提供的信息，写出从药物释放开始，与之间的函数关系式 .据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生方能回到教室. 【答案】 / 【分析】分与两种情况，代入，求出函数关系时，令，根据指数函数单调性解不等式，求出答案. 【详解】当时，设，将代入得， ，解得，故， 当时，将代入得， 解得，故， 综上，， 令，即， 故，解得， 故至少需要小时后，学生方能回到教室. 故答案为：，. 37．（23-24高一上·江西上饶·期末）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【详解】（1）由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． （2）当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 38．（23-24高一上·安徽宣城·期末）某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？ 【答案】(1) (2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元 【分析】（1）由利润，代入即可得； （2）利用二次函数以及基本不等式分别求出分段函数在上的最大值，比较即可得答案. 【详解】（1）； （2） 当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立． 由得当时，． 所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元． 39．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米. (1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值. 【答案】(1)，； (2)长9米、宽3米，周长的最小值为24米. 【分析】（1）根据给定信息，利用矩形面积公式即可求解. （2）由（1）的结论，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由宽为米、长为米的长方形展牌, 得, 整理得， 由，得，即，解得， 所以关于的函数解析式是，. （2）展牌的周长， 当且仅当 ，即时取等号，此时， 所以设计展牌的长为9米和宽为3米，才能使展牌的周长最小，最小值为24米. 40．（23-24高一下·贵州毕节·期末）如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）.    (1)设长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1) (2)， 元. 【分析】（1）由题意得，求出即可； （2）根据题意表示出每一部分的面积，再乘以相应的每平方米的造价，然后相加可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】（1）由题意得， 解得， 由于，得， 所以； （2）由题意得， 所以， ， 当且仅当，即时取“ 所以当时，最小，且元. 题型五 常见函数模型Ⅱ-指对幂函数 41．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（    ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】依题意建立通过月后性能指数y与之间的函数关系式，得到不等式，通过两边取对数，整理化简即得. 【详解】设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则． 由题意得，即，两边取常用对数，可得． ∵，∴． 又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸． 故选：C. 42．（23-24高一上·浙江丽水·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题中给出的信息，设他至少要经过小时后才可以驾驶机动车，则，然后利用指数与对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答案． 【详解】某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了， 则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后， 他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少， 他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车．则，， ． 他至少经过个小时才能驾驶． 故选：D. 43．（23-24高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ） A．10550年 B．7550年 C．8550年 D．9550年 【答案】D 【分析】根据已知指数函数模型列方程组求得，推测此古生物的死亡时间为年，再列方程求得（利用对数的运算）． 【详解】由已知，解得，即， 推测此古生物的死亡时间为年，则，， 所以，． 故选：D． 44．（23-24高一上·福建三明·期末）2023年8月24日，日本政府无视国内外反对呼声，违背应履行的国际义务，单方面强行启动福岛核污染水排海．福岛核污染水中的放射性元素“锶90”的半衰期为30年，即“锶90”含量每经过30年衰减为原来的一半．若“锶90”的剩余量不高于原有的8%，则至少经过（参考数据：）（    ） A．110年 B．115年 C．112年 D．120年 【答案】A 【分析】由对数函数单调性解不等式即可求解. 【详解】设至少经过年（是正整数），“锶90”的剩余量不高于原有的8%，原有“锶90”含量为1， 则，解得,即， 若“锶90”的剩余量不高于原有的8%，则至少经过110年. 故选：A. 45．（23-24高一上·河南三门峡·期末）医学治疗中常用放射性核素产生射线，而是由半衰期相对较长的衰变产生的．对于质量为的，经过时间t后剩余的质量为m，是以t为自变量的指数函数，其部分图象如图．从图中可以得到的半衰期为（    ）    A．67.3d B．101.0d C．115.1d D．124.9d 【答案】C 【分析】设，根据图象列方程，化简求得半衰期. 【详解】设，且， 由图可知，所以， 所以半衰期为. 故选：D 46．（23-24高一上·福建福州·期末）某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．23小时 B．25小时 C．42小时 D．44小时 【答案】D 【分析】由图象首先得，进一步由指对互换、换底公式以及对数运算性质即可得解. 【详解】由题意时，，时，，解得， 令， 解得， 对比选项可知污染物减少至少需要的时间约为44小时. 故选：D. 47．（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中的数据及散点图中点的变化趋势，逐项分析判断即得. 【详解】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型不符合，A不是； 若选择作为与的函数模型，将代入，得，解得， 则，显然当时，；当时，；当时，， 与表格中的实际值相同，因此适合作为与的函数模型，B是； 模型在处无意义，模型不符合，C不是； 散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型不符合，D不是. 故选：B 48．（23-24高一上·江苏无锡·期末）某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒 次 【答案】 【分析】可设喷洒次，根据题意可得出，代入即可求出，从而得出答案． 【详解】设喷洒次，则：， ， ，且， ， ，即至少喷洒次． 故答案为： 49．（23-24高一上·福建南平·期末）燕子每年都要进行秋去春来的南北大迁徙，已知某种燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度（米/秒）之间满足关系：． (1)当该燕子的耗氧量为1280时，它的飞行速度是多少？ (2)若该燕子飞行时的耗氧量增加到原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：） 【答案】(1)35（米/秒） (2)8（米/秒） 【分析】（1）由题意可列出指数方程，结合指数运算，即可求得答案； （2）设该燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，可设燕子的耗氧量为时，飞行速度为，由题意列式，化简可得，两边取对数，结合对数运算，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，有，即，. 又， 所以，所以， 解得，故该燕子的飞行速度是35（米/秒）． （2）设该燕子原来的耗氧量为，飞行速度为， 则该燕子的耗氧量为，飞行速度记为， 依题意，有， 所以，则， 则，所以它的飞行速度大约增加8（米/秒）. 50．（23-24高一上·贵州毕节·期末）人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，其中是人们能听到的等级最低的声音．一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有：（为常数）．已知人正常说话时声音约为，嘈杂的马路声音等级约为，而的声音强度是的声音强度的1000倍． (1)求函数的解析式； (2)若某种喷气式飞机起飞时，声音约为，计算该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】（1）设的声音强度是的声音强度是，根据题意可列出方程组，即可求得a的值，即得答案； （2）设喷气式飞机起飞时的声音强度为，根据可列出方程组，化简，即可求得答案. 【详解】（1）设的声音强度是的声音强度是， 则， 所以，所以， 所以，所以， 所以． （2）设喷气式飞机起飞时的声音强度为， 所以，所以， 所以， 故喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的倍． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$