专题09 对数与对数函数（6题型）--2024～2025学年高一数学上学期期末重难点讲与练（人教A版·2019）

明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题09 对数与对数函数 题型目录一览 ①对数式的化简与求值 ②对数函数的图像与性质 ③对数函数的定义域 ④对数函数的值域 ⑤对数函数的单调性 ⑥对数函数的最值 一、知识点梳理 1.对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 2.对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【常用结论】 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 二、题型分类精讲 题型一 对数式的化简与求值 策略方法 对数运算的一般思路 【题型训练】 1．（23-24高一上·天津·期末）已知，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用对数的运算性质以及换底公式，指数幂的单调性进行化简求解即可； 【详解】因为指数幂函数在上单调递减， 所以，则， ，则， 因为，所以，则. 所以. 故选：D 2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，则它的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过的奇偶性可以排除A和D选项，通过的正负性可以排除C选项. 【详解】首先有，的定义域是全体实数， 所以是偶函数，故可排除A和D. 然后又有，故可排除C. 故选：B. 3．（23-24高一上·四川凉山·期末）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数运算整理指数式，结合对数函数与指数函数的单调性，利用中间值法，可得答案. 【详解】由题意可得：，， 由，则， 根据函数在上单调递减，所以， 根据函数在上单调递减，由，则， 根据函数在上单调递增，由，则. 故选：A. 4．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）化简的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式计算. 【详解】= 故选：D 5．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】利用函数的解析式以及函数的奇偶性的性质求解函数值即可． 【详解】根据题意得，， 又因为已知是定义在上的奇函数，当时，， ， 故选：B. 6．（23-24高一上·河南·期末）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依题意，是在上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可. 【详解】对任意，都有，则在上单调递增； 所以是在上单调递增的奇函数. 对于A，函数定义域为， ，不是奇函数，A错误； 对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数， ，所以是在上单调递增的奇函数，B正确； 对于C，，易知在上单调递减，C错误； 对于D，函数定义域为R， 函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增， ，是奇函数，D正确. 故选：BD. 7．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数图象关于轴对称，且，都有．若不等式，对恒成立，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据已知可得的图象关于对称，以及函数在上单调递增.将不等式转化为，对恒成立.换元令，，整理推得.结合二次函数的性质，即可得出的取值范围. 【详解】因为函数图象关于轴对称， 所以的图象关于对称. 又，都有， 所以函数在上单调递增. 因为不等式，对恒成立， 所以，对恒成立， 即，对恒成立. 令， 因为，所以， 则，对恒成立， 即，对恒成立， 所以，对恒成立. 因为， 在上单调递减， 所以，， 所以，由可得，； ，在上单调递增， 所以，， 所以，由可得，. 综上所述，，所以C、D正确，A、B错误. 故选：CD. 8．（23-24高一上·辽宁·期末）如图，对于任意正数，．记曲线与直线，，所围成的曲边梯形面积为，并约定和．已知，则以下命题正确的有（    ） A． B． C．对任意正数k和，有 D．对任意正数k和，有 【答案】ACD 【分析】根据新定义中的运算律和及逐项计算分析即可得解. 【详解】，故A正确； ， ， ，故B错误； 对任意正数k和，因为， ，所以，故C正确； 对任意正数k和，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD 9．（23-24高一上·河南·期末） . 【答案】/0.5 【分析】直接由指数、对数运算法则求解即可. 【详解】. 故答案为：. 10．（23-24高一上·浙江·期末） ． 【答案】11 【分析】根据指数幂及对数的运算性质进行运算即可. 【详解】 ， 故答案为：11. 11．（22-23高一上·广东湛江·期末）计算． (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用有理数指数幂和对数的运算性质求解． （2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）原式． （2）原式． 【点睛】（1）主要考查了有理数指数幂的运算性质，以及对数的运算，是基础题． （2）考查了运用诱导公式化简求值，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 题型二 对数函数的图像与性质 策略方法 1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 2.比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 【题型训练】 12．（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解. 【详解】对于，必有，故CD错误； 又，故B错误； 将函数在轴下方图象翻折到上方可得函数的图象， 再将其在轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象， 进而将得到的函数图象向右平移1个单位， 可得函数的图象，故A正确. 故选：A. 13．（19-20高一·全国·课后作业）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合思想来作图分析零点大小. 【详解】由函数零点可知：，， 利用数形结合，构造三个函数它们与的交点横坐标就是对应的三个零点. 由图可知：， 故选：D. 14．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ）    A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 【答案】B 【分析】根据题意，分别由指数函数的图像特点与对数函数的图像特点，即可判断. 【详解】由指数函数的图像性质可知，①②③④为指数函数图像， 且③④为单调递增的指数函数，取可知，③④分别对应， 又①④图像关于轴对称，则①对应，即②不属于； 由对数函数的图像性质可知，⑤⑥⑦⑧为对数函数图像， 其中⑦⑧为单调递减的对数函数， 由“底大图低”可知⑧对应，⑦对应， 且⑤⑧图像关于轴对称，则⑤对应，即⑥不属于； 故选：B 15．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据定义域排除C、D选项，再由趋于正无穷时的符号，结合排除法即可得到答案. 【详解】对于B，，当趋于正无穷时，是一个负数，即为负数，排除B选项； 因为和的定义域都为不满足所给图象，排除C、D选项； 故选： A 16．（23-24高一上·新疆·期末）已知且，，则函数.与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据条件确定的范围，利用与的单调性分析即得. 【详解】因且，，则中必有一个大于1，一个小于1且大于零. 当时，有，则B项符合，当时，有，则D项符合. 故选：BD. 17．（23-24高一上·山西忻州·期末）函数（）的图象经过定点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】借助对数函数的定点问题，令，计算即可. 【详解】令，得，所以点的坐标为． 故答案为：. 18．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】令可求出过定点的横坐标，代入函数中可求出其纵坐标，从而可求得结果. 【详解】令，解得，又， 所以函数（且）的图象恒过定点. 故答案为： 19．（22-23高一上·上海·期末）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，．给出下列命题，其中正确的命题的个数为 ． （1）； （2）函数在定义域上是周期为2的周期函数 （3）直线与函数的图像有1个交点； （4）函数的值域为 【答案】 【分析】根据题意，得到当时，是周期为的周期函数，作出函数的图象，结合图象和周期性，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数为定义在上的偶函数， 当时，有，所以， 可得函数是周期为的周期函数， 又当时，， 当时，则，则， 作出函数的图象，如图所示， 则，所以（1）正确； 对于（2）中，函数在定义域上不是周期为的周期函数，所以（2）错误； 对于（3）中，由函数的图象，可得函数与只有一个交点，所以（3）正确； 对于（4）中，由函数的图象，可得函数的值域为，所以（4）正确. 故答案为：. 20．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数． (1)证明函数的图象过定点； (2)设，且，讨论函数在上的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）计算出的值，即可证得结论成立； （2）对参数、的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出函数在上的最小值. 【详解】（1）证明：因为，故函数的图象过定点. （2）当时， 由，可得，即， 由，可得，即， 即， 因为，所以， 所以，函数在上单调递增，则； 当时， 由可得，即， 由可得，即， 所以， 若，则， 此时，函数在上单调递增，则； 若，则， 当时，函数在上单调递减，此时，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则. 综上所述，在上的最小值为. 【点睛】思路点睛：本题考查含参函数在闭区间上的最值问题，对于这类问题，要注意对参数的取值进行分类讨论，并分析函数在区间上的单调性，再结合单调性求解. 题型三 对数函数的定义域 21．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】由题知：. 故选：C 22．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性求出的单调区间，即可求出参数的取值范围. 【详解】对于函数，令，解得或， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以，即的取值范围是. 故选：A 23．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出不等式求出定义域即得. 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 24．（21-22高一上·黑龙江大庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分类求解对数不等式得答案． 【详解】要使原函数有意义，则， 当时，，得，舍去； 当时，，得． 所以函数的定义域为． 故选：C． 25．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，根据二次函数以及对数函数的单调性求出复合函数的递增区间即可. 【详解】由，解得：，故函数的定义域是， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域内是单调递减函数， 根据复合函数单调性之间的关系可知，函数的单调递增区间是. 故选：D 26．（22-23高一上·四川遂宁·期末）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算得解. 【详解】由得，所以函数定义域为. 故选 ：A. 27．（22-23高一上·湖南益阳·期末）函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图像过的定点和函数的值域可判断正确选项. 【详解】，函数定义域为， 有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合. 故选：C. 28．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）函数的定义域是 ． 【答案】/ 【分析】由真数大于0，列出不等式，解得函数的定义域. 【详解】由题意，可知，即， 解得，函数定义域为. 故答案为：． 29．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：， 解得且. 故答案为：. 30．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据真数大于零及根号下大于等于零列出条件，解出即可. 【详解】由题知，， ，解得 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型四 对数函数的值域 31．（22-23高一上·江苏无锡·期末）设，计算机程序中用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数．例如； ．已知函数，其中，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简，令，，由二次函数的性质求出函数的值域，根据定义求函数的值域. 【详解】因为 ， 令，因为，所以， 所以， 因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 当时，. 所以的值域为. 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以函数的值域为， 故选：B . 32．（23-24高一上·安徽·期中）已知函数，且，若对任意的，存在使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数在上的最小值小于函数在上的最小值求解. 【详解】解：当时，，则， 对任意的，存在，使得成立， 函数在上的最小值小于函数在上的最小值. 又当，时，，不符合题意， 则，函数在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 33．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域． 【详解】．故的值域为． 故选：B． 34．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式即可求解 【详解】因为，所以 所以， 当且仅当即时，取等号， 所以. 故选：D 35．（23-24高一上·全国·期末）已知函数，则的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【分析】根据对数函数有意义，结合指数函数的性质可求得函数定义域；求出的范围，结合对数函数单调性，即可求得值域. 【详解】令，即，因为，所以， 即函数的定义域为； 因为，，所以，所以， 则，即， 因此，函数的值域为. 故答案为：；. 36．（21-22高一上·广东珠海·阶段练习）已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ． 【答案】 【分析】分析给定函数的性质，作出图象，数形结合求出取值范围. 【详解】当时，函数在是递减，函数值集合为， 在上递增，函数值集合为，当时，是增函数，函数值集合为R， 方程的实数解个数，即为函数与直线的交点个数， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象，当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程的实数解个数为3时取值范围是. 故答案为： 37．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设函数的定义域为，且满足，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由题意利用换元法得到关于的函数，判断出的奇偶性和单调性，然后将不等式变形，由单调性和定义域得到关于的不等式，求解即可. 【详解】令，则，由，得， 所以，， 因为， 所以函数为奇函数， 因为， 而在其定义域内单调递增，则在其定义域内单调递减， 所以函数单调递增， 而不等式可变形为 ， 所以， 由，解得， 由，解得， 由，令，得，即， 所以，则， 综上，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性和单调性解不等式，脱掉“”是解有关函数不等式的常用方法. 38．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为. (1)求； (2)当时，求函数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解出不等式组即可； （2）利用换元法令，则函数等价于，，分为和两种情形，根据二次函数的单调性得其最大值. 【详解】（1）由题意知，解得， 故. （2）， 令，，可得，，其对称轴为直线， 当，即时，. 当，即时， 综上可知， 39．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； (3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 (3)是定值，1 【分析】（1）利用对数函数的单调性，即可求得答案； （2）将在上有实数解，转化为在上有实数解，结合对数函数单调性求函数值域，即可求得答案； （3）利用在区间上是增函数，化简已知和式，脱掉绝对值符号，即可求得答案. 【详解】（1）由得， 得，， 所以不等式的解集为； （2）在上有实数解， 在上有实数解， 因为在上是单调递增函数， 故， 则，即， 解得或； （3）由知，在区间上是增函数， 对任意划分， 均有， ++ ， 所以此和式为定值1. 【点睛】关键点睛：解答此题的关键是解答第三问时，要结合函数的单调性，化简和式，脱去绝对值符号，进而求解. 40．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 题型五 对数函数的单调性 41．（23-24高一上·吉林白山·期末）设，，若在上是增函数且在R上至少有3个零点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定单调区间及单调性，可得，再探讨函数的最小值，并由所在范围求出的根即可推理得解. 【详解】由在上是增函数，得，解得， 显然，，且当时，， 令，由，得，解得或，而， 由于在R上至少有3个零点，只需，又，解得； 当时，，符合题意，因此． 所以a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断． 42．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）函数在上的最大值和最小值之和为，其中且，则实数 . 【答案】/0.5 【分析】利用函数的单调性，确定最值并列式计算即得. 【详解】当且时，指数函数在R上与函数在上有相同的单调性， 因此函数在上是单调函数，其最大值和最小值的和为， 于是，即，解得， 所以. 故答案为： 43．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的定义域，结合对数函数、二次函数的性质，采用换元法求解即可. 【详解】解：因为， 由，可得， 所以的定义域为， 所以， 又， 设， 将原问题转化为求的值域， 由二次函数性质可知在上单调递增， 所以. 故选：A. 44．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在R上单调递增，，利用对数函数及指数函数的单调性可得，从而即可得答案. 【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有， 所以在R上单调递增， 又因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以 即. 故选：C. 45．（23-24高一上·广东东莞·期末）如果非常数函数对任意的正实数a，b，都满足，且当时，都有，请写出一个满足条件的函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一，，其中只要均可） 【分析】根据已知条件，分析函数的运算性质和单调性，结合所学过的常见函数给出答案. 【详解】由可知，对数函数具有这样的性质； 又，有，所以，函数为定义域上的增函数. 故答案为：（答案不唯一，只要底数大于1即可） 46．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】利用指数函数过定点可得，再根据对数函数以及二次函数性质，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得结果. 【详解】由指数函数图象性质可知，令，可得, 因此函数的图象经过定点； 即；所以， 显然，解得或； 即函数的定义域为； 利用二次函数单调性可得函数在上单调递减，在上单调递增； 又在定义域内单调递减， 利用复合函数单调性可得的单调增区间为. 故答案为： 47．（23-24高一上·广东深圳·期末）若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数在上是增函数，则每一段都是增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解. 【详解】函数的定义域为， 对任意，都有成立， 则函数是上的单调递增函数， 解得， 的取值范围是. 故答案为：. 48．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)单调递增，. 【分析】(1)由于为奇函数，可得，即可得出； (2)利用单调性的定义，通过作差即可证明； (3)利用(2)求函数在上的单调性，再结合零点存在性定理即可得出m取值范围． 【详解】（1）为奇函数， ， ，即， ，整理得， （时，不合题意而舍去）． （2）由(1)，故， 设， 时，，，， ，即， 函数在上是减函数； （3）由(2)知，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在单调递增， 又在R上单调递增， 在单调递增， 在区间上只有一个零点， ， 即， 解得. 【点睛】方法点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及有几个零点时，还需考虑函数的图象在参数范围不同时的交点个数； （3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题； （4）转化为两熟悉的函数图象交点问题，从而构建不等式求解. 49．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数， ； (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可求证， （2）根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）函数在区间上是增函数，证明如下：    设，且，                                  则， 所以，                                         故函数在区间上是增函数. （2）由                由，即；可得；     所以且 解得或                    因此不等式的解集为： 50．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解不等式，求出定义域，根据复合函数单调性得到单调递增区间； （2）求出，根据对数函数单调性得到，结合，求出不等式解集. 【详解】（1）令，解得或， 所以的定义域为， 由于在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 由复合函数单调性可知，的单调递增区间为； （2），故，， 即， 故，所以， 又，故不等式的解集为， 题型六 对数函数的最值 【题型训练】 51．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为， 所以，解得， 因为的值域为,， 所以的最小值为9，所以， 解得， 所以． 故选：A． 52．（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上的单调性可求其最大值. 【详解】因为，则函数在上为减函数，则. 故选：A. 53．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】将用表示，并求出的范围，根据双勾函数的性质即可判断A；根据对数的运算性质及二次函数的性质即可判断B，令，则，即，从而可得，再结合二次函数的性质即可判断C；易得，再结合双勾函数的性质即可判断D. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 对于A，，令， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 即，故A正确； 对于B，， 由，得，所以， 即，故B正确； 对于C，令，则， 即，即， 则， 由，得， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为，即的最大值为，故C正确. 对于D，， 令，则， 则， 令， 由双勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 所以， 即，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：令，结合换底公式得出，是解决C选项的关键. 54．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数 【答案】BC 【分析】求出的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质，从而可得正确的选项. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，则，， ， 则函数为偶函数，图象关于轴对称，所以B正确，A错误； 函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以C正确，D错误. 故选：BC. 55．（2023·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 . 【答案】8 【分析】由求出的定义域为，然后换元，令，，得，根据二次函数的单调性可求出最大值. 【详解】， 由得，即的定义域为， 令，因为，所以， 所以在上为增函数， 所以时，. 故答案为：. 56．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【答案】2 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 57．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，其中. (1)解关于的不等式：； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的定义域与单调性，结合可得出关于x的不等式组，解之即可； （2）求出函数的定义域，结合对数型复合函数的单调性可得出的最小值的表达式，结合a的取值范围可解得结果. 【详解】（1）不等式，即，因为， 所以，即，故不等式的解集为. （2）对于函数，由，得，即函数的定义域为， 又，设， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以， 因为，的最小值为，所以，得. 58．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知函数. (1)写出函数的定义域并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【答案】(1)定义域为，偶函数 (2) (3). 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，由不等式，得出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为，结合对数型函数的单调性，求得，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上偶函数. （2）解：由函数， 可得， 又由，可得，解得， 即实数的取值范围为. （3）解：若存在使得不等式成立，即， 由，其中， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 可得，所以，即， 所以实数的最大值为. 59．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知t为实数，函数，其中 (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)当时，的图象始终在的图象的下方，求t的取值范围； (3)设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数a的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由是偶函数，得到对任意恒成立，列出方程，即可求解； （2）设，根据题意，化简得到不等式，进而得到在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意，得到在上递减，在递增，由时，函数的值域为，令，求得或，进而得出的最小值为，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为是偶函数，可得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 所以，可得. （2）解：设， 因为当时，的图象始终在的图象的下方， 可得在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，且，可得， 即在上恒成立， 又由， 所以，当时，，所以，即实数的取值范围为. （3）解：因为且，可得函数， 可得函数在上单调递减，在单调递增， 因为当时，函数的值域为，且， 所以（其中，等号不能同时取得）， 令，可得，解得或， 又因为，所以， 所以的最小值为，解得. 60．（22-23高一下·四川泸州·期末）已知函数的图象关于原点对称． (1)判断函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设函数（且）在上的最小值为1，求的值． 【答案】(1)函数在定义域内单调递增，证明见详解 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得，再结合单调性的定义分析证明； （2）利用换元，根据对数函数的性质分析可得：当时恒成立，进而可得且，并结合二次函数的性质以及对数函数的单调性分析求解. 【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，则， 即，整理得， 又因为，则， 所以，解得，即， 可知函数在定义域内单调递增，证明如下： 任取，且， 因为在定义域内单调递增，则， 可得，即， 则，即， 所以函数在定义域内单调递增. （2）令，由（1）可知在内单调递增，且， 即，则， 可得， 由题意可知：当时恒成立， 当时，则，符合题意，所以； 当时，则当时恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以且； 综上所述：且. 当，则开口向上，对称轴， 可知当时，取到最大值， 且在定义域内单调递减， 则，可得，解得（舍去）； 当时，则开口向上，对称轴， 可知当时，取到最小值， 且在定义域内单调递增， 则，可得，解得或（舍去）； 综上所述：的值为. 【点睛】关键点睛：1.对于对数函数问题，要首先保证对数的真数大于0，从而可以得出参数的范围，进而分析求解； 2.当对数的底数不确定时，应分和两种情况讨论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题09 对数与对数函数 题型目录一览 ①对数式的化简与求值 ②对数函数的图像与性质 ③对数函数的定义域 ④对数函数的值域 ⑤对数函数的单调性 ⑥对数函数的最值 一、知识点梳理 1.对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 2.对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【常用结论】 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 二、题型分类精讲 题型一 对数式的化简与求值 策略方法 对数运算的一般思路 【题型训练】 1．（23-24高一上·天津·期末）已知，， ，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，则它的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川凉山·期末）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）化简的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．0 D．2 6．（23-24高一上·河南·期末）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数图象关于轴对称，且，都有．若不等式，对恒成立，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·辽宁·期末）如图，对于任意正数，．记曲线与直线，，所围成的曲边梯形面积为，并约定和．已知，则以下命题正确的有（    ） A． B． C．对任意正数k和，有 D．对任意正数k和，有 9．（23-24高一上·河南·期末） . 10．（23-24高一上·浙江·期末） ． 11．（22-23高一上·广东湛江·期末）计算． (1)； (2)已知，求的值． 题型二 对数函数的图像与性质 策略方法 1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 2.比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 【题型训练】 12．（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 13．（19-20高一·全国·课后作业）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ）    A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 15．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·新疆·期末）已知且，，则函数.与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·山西忻州·期末）函数（）的图象经过定点，则点的坐标为 ． 18．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点 . 19．（22-23高一上·上海·期末）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，．给出下列命题，其中正确的命题的个数为 ． （1）； （2）函数在定义域上是周期为2的周期函数 （3）直线与函数的图像有1个交点； （4）函数的值域为 20．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数． (1)证明函数的图象过定点； (2)设，且，讨论函数在上的最小值． 题型三 对数函数的定义域 21．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 24．（21-22高一上·黑龙江大庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 25．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高一上·四川遂宁·期末）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高一上·湖南益阳·期末）函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）函数的定义域是 ． 29．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的定义域为 . 30．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的定义域为 ． 题型四 对数函数的值域 31．（22-23高一上·江苏无锡·期末）设，计算机程序中用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数．例如； ．已知函数，其中，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·安徽·期中）已知函数，且，若对任意的，存在使得成立，则实数的取值范围是 . 33．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 34．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·全国·期末）已知函数，则的定义域为 ，值域为 . 36．（21-22高一上·广东珠海·阶段练习）已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ． 37．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设函数的定义域为，且满足，则不等式的解集是 . 38．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为. (1)求； (2)当时，求函数的最大值. 39．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； (3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 40．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 题型五 对数函数的单调性 41．（23-24高一上·吉林白山·期末）设，，若在上是增函数且在R上至少有3个零点，则a的取值范围是 ． 42．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）函数在上的最大值和最小值之和为，其中且，则实数 . 43．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 44．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 45．（23-24高一上·广东东莞·期末）如果非常数函数对任意的正实数a，b，都满足，且当时，都有，请写出一个满足条件的函数的解析式 ． 46．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为 . 47．（23-24高一上·广东深圳·期末）若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 48．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 49．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数， ； (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求不等式的解集. 50．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求不等式的解集. 题型六 对数函数的最值 【题型训练】 51．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 52．（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D． 54．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数 55．（2023·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 . 56．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 57．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，其中. (1)解关于的不等式：； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 58．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知函数. (1)写出函数的定义域并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 59．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知t为实数，函数，其中 (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)当时，的图象始终在的图象的下方，求t的取值范围； (3)设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数a的值. 60．（22-23高一下·四川泸州·期末）已知函数的图象关于原点对称． (1)判断函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设函数（且）在上的最小值为1，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$