专题08 指数与指数函数（8题型）--2024～2025学年高一数学上学期期末重难点讲与练（人教A版·2019）

明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题08 指数与指数函数 题型目录一览 ①指数幂的化简与求值 ②指数函数的图像与性质 ③指数函数的定义域 ④指数函数的值域 ⑤指数函数的单调性 ⑥指数函数的值域 ⑦指数函数的最值 ⑧指数函数的应用 一、知识点梳理 1.指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2.指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【常用结论】 1.指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 二、题型分类精讲 题型一 指数幂的化简与求值 策略方法指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【典例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·浙江·期末）的值为 ． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东茂名·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽·期末）（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（23-24高一上·天津·期末）下列代数式的值为1的有（    ） ①    ②   ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知常数，函数经过点，若，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、多选题 5．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 6．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽宣城·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（23-24高一上·北京延庆·期末） 9．（23-24高一上·安徽宿州·期末） ． 10．（23-24高一上·天津·期末） . 四、解答题 11．（23-24高一上·浙江金华·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)． 12．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算： (1) (2)． 13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 题型二 指数函数的图像与性质 策略方法 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 【典例3】（23-24高一上·山西运城·期末）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例4】（23-24高一上·福建泉州·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西萍乡·期末）若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．   B．   C．     D．   二、多选题 5．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数则方程的根的个数可能为（    ） A．2 B．6 C．5 D．4 三、填空题 7．（21-22高二上·江西鹰潭·阶段练习）函数且的图象必过定点 ． 8．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 9．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，指数函数与直线分别交于点A，B，C，若A，B，C的横坐标分别为，满足，则 ， ． 10．（23-24高一上·江西九江·期末）若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 四、解答题 11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数的图象恒过定点，点又在函数的图象上． (1)求a的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 12．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数且的图象过定点，函数与的图象交于点. (1)若，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 题型三 指数函数的定义域 【典例5】（22-23高二下·重庆北碚·期末）已知，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递减 C．值域为 D．的定义域为 【典例6】（23-24高一上·天津·期末）（1）已知，求函数的定义域； （2）解不等式：． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（16-17高一上·安徽·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 5．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）下列函数是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一上·广西钦州·期中）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 三、填空题 7．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 8．（2023·上海浦东新·模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 四、解答题 9．（23-24高一上·湖南娄底·期末）计算： (1)； (2)求函数的定义域. 10．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (3)解关于t的不等式. 题型四 指数函数的值域 【典例7】（22-23高一上·山东临沂·期末）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得（为常数），则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为1的是（    ） A． B． C． D． 【典例8】（23-24高一上·广东·期末）已知函数（且），且． (1)求的解析式： (2)若函数在上的最小值为0，求m的值． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京通州·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 4．（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一上·重庆南岸·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 6．（23-24高一上·广东广州·期末）设函数若，则取值可能是（    ） A．9 B．3 C．2 D． 三、填空题 7．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增； ②存在最大值； ③不等式的解集是； ④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是 . 9．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 10．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 11．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求实数的值； (2)若函数在上的最小值是4，救实数的值. 题型五 指数函数的单调性 【典例9】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，设，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【典例10】（23-24高一上·天津宁河·期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2010·吉林·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2018·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数为奇函数，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在定义域上是单调减函数 C． D．函数所有零点之和大于零 7．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（22-23高一上·河北保定·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为 ．（用“”连接） 9．（23-24高一上·浙江·期末）若函数是上的单调函数，且对任意实数x，都有，则 ． 10．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为 ． 四、解答题 11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 12．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 题型五 指数函数的最值 【典例9】（22-23高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例10】（22-23高一上·吉林·期末）已知函数（为常数且）的图象经过点 (1)试求的值； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 4．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·广东茂名·期末）存在实数使得函数有唯一零点，则实数可以取值为（   ） A． B． C． D．1 6．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）若实数x，y满足，则（    ） A．且 B．m的最大值为 C．n的最小值为 D． 7．（22-23高一上·重庆云阳·阶段练习）若函数 的图像经过点 ， 则（    ） A． B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 81 D． 的最小值为 三、填空题 8．（22-23高一上·上海松江·期末）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 9．（2022·江西·二模）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 ． 10．（22-23高一上·北京海淀·期末）已知，当时，的单调减区间为 ；若存在最小值，则实数的取值范围是 . 四、解答题 11．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20，记. (1)求的值； (2)求的值. 12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 题型六 指数函数的最值 【典例11】（22-23高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例12】（22-23高一上·吉林·期末）已知函数（为常数且）的图象经过点 (1)试求的值； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 4．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·广东茂名·期末）存在实数使得函数有唯一零点，则实数可以取值为（   ） A． B． C． D．1 6．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）若实数x，y满足，则（    ） A．且 B．m的最大值为 C．n的最小值为 D． 7．（22-23高一上·重庆云阳·阶段练习）若函数 的图像经过点 ， 则（    ） A． B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 81 D． 的最小值为 三、填空题 8．（22-23高一上·上海松江·期末）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 9．（2022·江西·二模）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 ． 10．（22-23高一上·北京海淀·期末）已知，当时，的单调减区间为 ；若存在最小值，则实数的取值范围是 . 四、解答题 11．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20，记. (1)求的值； (2)求的值. 12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 题型七 指数函数的应用 【典例13】（22-23高三上·贵州贵阳·期末）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：)（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．（23-24高一上·广东·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（22-23高一下·河南信阳·期中）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   4．（22-23高一上·山东菏泽·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20~79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了 120mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待小时才能驾驶．（参考数据：，）（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（22-23高一上·山西大同·期末）一个口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·湖南湘潭·期末）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满；…；连续进行次，容器中的纯酒精少于，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（22-23高一上·浙江宁波·期末）2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（    ）年（参考数据：，，） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．8.9 二、填空题 8．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知S市某所新建高中年的绿化面积为，若该校绿化面积的年平均增长率为％，则到 年（用整数年份表示），该校的绿化面积约是.（参考数据：，） 9．（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题08 指数与指数函数 题型目录一览 ①指数幂的化简与求值 ②指数函数的图像与性质 ③指数函数的定义域 ④指数函数的值域 ⑤指数函数的单调性 ⑥指数函数的值域 ⑦指数函数的最值 ⑧指数函数的应用 一、知识点梳理 1.指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2.指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【常用结论】 1.指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 二、题型分类精讲 题型一 指数幂的化简与求值 策略方法指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【典例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 故选：A 【典例2】（23-24高一上·浙江·期末）的值为 ． 【答案】10 【分析】根据对数和幂的运算法则进行计算可得结果. 【详解】原式. 故答案为： 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东茂名·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽·期末）（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数运算、指数式与对数式的互化及换底公式计算即得. 【详解】因为，所以. 故选：B 3．（23-24高一上·天津·期末）下列代数式的值为1的有（    ） ①    ②   ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解可求得① ；利用对数换底公式并逆用对数的运算性质可求得② ；利用诱导公式化简求值得③ ；利用诱导公式和同角的基本关系式可得④ . 【详解】对于① ，，故① 式值不为1； 对于② ，，故② 式值为1； 对于③ ，，故③ 式值不为1； 对于④ ，，故④ 式值为1. 故选：B. 4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知常数，函数经过点，若，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】将点的坐标代入函数后计算即可得. 【详解】因为， ，即， ，即， 所以，所以，又因为， 所以，又因为，所以. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】由已知结合指数函数的性质及函数图象的平移可求，进而可求函数解析式，根据解析式分析相关的性质. 【详解】函数的图象过原点，则，即， 函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故是图象的一条渐近线， 则， ，A选项正确，B选项错误； 函数，定义域为R， ，是偶函数，C选项正确； 时，，所以在上单调递减，D选项错误； 故选：AC 6．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】借助指数幂与对数的运算法则逐项计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：由，故，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高一上·安徽宣城·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据换底公式即可判断A；根据指数幂的运算即可判断BC；根据指数与对数的运算即可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 8．（23-24高一上·北京延庆·期末） 【答案】15 【分析】根据指数运算和对数运算法则计算. 【详解】 . 故答案为：15 9．（23-24高一上·安徽宿州·期末） ． 【答案】2 【分析】利用对数的运算性质和分数指数幂的运算性质计算即得. 【详解】. 故答案为：2. 10．（23-24高一上·天津·期末） . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和特殊角的三角函数值可求原式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一上·浙江金华·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案； （2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案. 【详解】（1）结合题意可得： ; （2）结合题意可得： . 12．（23-24高一上·河北石家庄·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可. （2）利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1）. （2）. 13．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可； （2）根据对数的运算法则，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）原式 （2）原式 题型二 指数函数的图像与性质 策略方法 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 【典例3】（23-24高一上·山西运城·期末）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由偶函数的图象性质，以及指数函数、三角函数的值域即可求解. 【详解】由题意函数定义域为全体实数， 且，所以函数是偶函数，排除CD， 当时，，排除A，经检验，B选项符合题意. 故选：B. 【典例4】（23-24高一上·福建泉州·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据且恒成立可解决此题． 【详解】由函数（且） 令，即， 可得， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A． 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合对数函数、指数函数单调性以及它们所过的定点即可求解. 【详解】由题意若，则指数函数单调递增，并过定点， 函数单调递减，并过定点，而函数与函数关于轴对称， 所以单调递增，并过定点， 对比选项可知，只有B选项符合题意. 故选：B. 4．（23-24高一上·江西萍乡·期末）若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】D 【分析】首先由平移法则得函数表达式，结合指数函数图象与性质即可判断. 【详解】由题意可知图象上的点变换成点， 意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位， 此时对应的函数解析式为， 若，则时，且单调递减，时，且单调递增， 对比选项可知D选项符合题意. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果. 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 6．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数则方程的根的个数可能为（    ） A．2 B．6 C．5 D．4 【答案】ACD 【分析】令，则，画出的图象，结合图象及二次方程解的情况即可判断. 【详解】画出的图象如图所示： 令，则，则， 当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，即方程的根的个数为2，A正确； 当，即时，，又， 故， 当时，即，则x有2解， 当时，若，则x有3解；若，则x有2解， 故方程的根的个数为5或4，CD正确． 故选：ACD． 三、填空题 7．（21-22高二上·江西鹰潭·阶段练习）函数且的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】令，求得和的值，从而求得函数且恒过定点的坐标． 【详解】令，求得，且， 故函数且恒过定点. 故答案为：． 8．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，令，求得和，即可求解. 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 9．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，指数函数与直线分别交于点A，B，C，若A，B，C的横坐标分别为，满足，则 ， ． 【答案】 2 4 【分析】根据指数函数与对数函数的定义，求出，根据得出的值，再结合题意求出的值. 【详解】由题意知， 所以，，， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，均不为1且，， 所以. 故答案为：2；4 10．（23-24高一上·江西九江·期末）若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入幂函数解析式可得． 【详解】是幂函数，则，∴， 中，令，得，，∴定点为， ∴，又，∴． 故答案为：． 四、解答题 11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数的图象恒过定点，点又在函数的图象上． (1)求a的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据恒过定点，求出a的值； （2）将问题转化为在区间上恒成立求解. 【详解】（1）的图象恒过定点， 故，又，故. （2）， 因为， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，则， 函数的对称轴为， ①，即，在区间上单调递增，，则， 又，； ②，即， 函数在上单调递减，在区间上单调递增， 则， 则，又，所以无解； ③，即，在区间上单调递减， ，即，又，无解； 综上所述，实数的取值范围为． 12．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数且的图象过定点，函数与的图象交于点. (1)若，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）的图象过定点，利用点在的图象上求出，利用得，换元法解方程可得答案； （2）（方法一）转化为在上恒成立，令，求出可得答案；（方法二）转化为在上恒成立，令，即求时，，分、、讨论，求出可得答案. 【详解】（1）因为对任意的且，都有， 所以的图象过定点， 又因为点在的图象上， 所以，解得， 所以， 由，得， 令，则，且，整理得，即， 所以或2，即或，解得或1； （2）（方法一）， 则在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则. 因为在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围是； （方法二）， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则当时，， 图象的对称轴为直线， ①当，即时，在上单调递增， 所以，则，又，所以； ②当，即时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以，整理得无实数解； ③当，即时，在上单调递减， 所以，则，又，所以无解. 综上，实数的取值范围为. 题型三 指数函数的定义域 【典例5】（22-23高二下·重庆北碚·期末）已知，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递减 C．值域为 D．的定义域为 【答案】ACD 【分析】对于,利用奇函数的定义即可判断；对于可以利用减函数的定义进行判断；对于可利用分离常数法进行求解；对于可利用定义域的性质进行求解. 【详解】对于,由，得所以函数的定义域为， 又所以为奇函数，故正确； 对于设， 则， 因为，所以当时， 所以 则，不符合单调递减函数的定义，故错误； 对于因为， 又且，所以， 则，故正确； 对于由以上项分析函数的定义域为且，故的定义域为,故正确； 故选： 【典例6】（23-24高一上·天津·期末）（1）已知，求函数的定义域； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据给定的函数有意义，列出不等式，再解指数、对数不等式即得. （2）利用对数函数单调性解不等式即得. 【详解】（1）依题意，，解得，因此或， 所以原函数的定义域为； （2）函数在上为增函数， 则，解得， 所以原不等式的解集为． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 2．（16-17高一上·安徽·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 3．（23-24高一上·内蒙古包头·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由，再利用基本函数的性质判断. 【详解】解：因为函数，定义域和值域都为R， 所以的定义域和值域与相同，故A正确； 的定义域为，故B错误； 的值域为，故C错误； 的定义域为，故D错误； 故选：A 4．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）下列函数是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数定义域为， 可得，所以函数为奇函数，符合题意； 对于B中，由函数定义域为，且， 所以函数是偶函数，不符合题意； 对于C中，由函数定义域为， 且，所以为奇函数，符合题意； 对于D中，由函数，可得，不是奇函数，不符合题意. 故选：AC. 6．（21-22高一上·广西钦州·期中）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D. 【详解】令，则， 对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确； 对于选项B：因为，的值域为， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减， 所以C不正确，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 【答案】． 【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故答案为：. 8．（2023·上海浦东新·模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集. 【详解】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意， 所以，，由可得， 因为函数的定义域为，所以，，解得， 所以，，则， 由可得，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高一上·湖南娄底·期末）计算： (1)； (2)求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂运算和对数的运算性质即可求解； （2）结合指数函数的单调性即可求出的定义域. 【详解】（1）. （2）由知，函数有意义的条件为， 易知指数函数在R上增函数，所以，解得， 于是，即. 故函数的定义域为. 10．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (3)解关于t的不等式. 【答案】(1)； (2)单调递减，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值. （2）利用指数函数的单调性判断在上的单调性即得. （3）由奇函数的性质及函数的单调性解不等式即得. 【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得， 因此，解得， 所以实数a的值为. （2）由（1）知，函数在上单调递减. 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上单调递减，所以函数在上单调递减. （3）因为函数是上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减， 显然当时，，当时，， 不等式， 于是或或， 解，得，解，得无解，解，得， 所以不等式的解集为. 【点睛】易错点睛：借助函数单调性求解在定义域上不单调的函数不等式，必须分成在同一单调区间内和在不同单调区间内两大类求解. 题型四 指数函数的值域 【典例7】（22-23高一上·山东临沂·期末）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得（为常数），则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将问题转化为关于的方程是否存在有解问题，再根据选项中具体函数的定义域和值域，结合特殊值法逐个分析判断即可． 【详解】由题意得，则，即，将问题转化为关于的方程是否存在有解问题， 对于A，的定义域为R，值域为，当时，，此时不存在，使，所以A错误； 对于B，的定义域为，值域为R，则对于任意，总存在，使得，所以B正确； 对于C，的定义域为R，值域为，当时，，此时不存在，使，所以C错误； 对于D，，定义域为R，值域为，当时，，此时不存在，使，所以D错误． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据题意将问题转化为关于的方程是否存在有解问题． 【典例8】（23-24高一上·广东·期末）已知函数（且），且． (1)求的解析式： (2)若函数在上的最小值为0，求m的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）代入条件，即可求解； （2）首先根据（1）的结果，换元，利用二次函数的单调性，求最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得或， 所以． （2）． 令 ，设， 则 因为，所以,, 则 ，所以在单调递增，                  所以， 因为函数在上单调递增，所以．         因为在上的最小值为0，所以，解得． 综上，m的值为6． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分离常数得到，即可研究函数的值域，进而根据高斯函数定义求解即可. 【详解】，因为，所以，所以，即， 所以，即，所以. 故选：C 2．（23-24高一上·北京通州·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可. 【详解】易知，且，，故其定义域与值域均为. 显然A选项定义域与值域均为，故A错误； 因为，且恒成立，即其定义域与值域均为，故B错误； ，即其定义域为，值域为，故C错误； ，且，故其定义域与值域均为，即D正确. 故选：D 3．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或. 故选：A. 4．（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围. 【详解】由在上递增，且值域为， 由，开口向上且对称轴为， 所以，二次函数在上递减，在上递增， 要使有最小值， 当时，显然不成立； 当时，，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 二、多选题 5．（22-23高一上·重庆南岸·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】A选项，由于恒成立，故定义域为R；B选项，分离常数得到，根据，得到，求出值域；C选项，根据函数奇偶性的定义作出判断；D选项，为增函数且，推出为增函数. 【详解】A，因为，所以， 所以函数的定义域为R，故A正确； B，， ， 故， 所以函数的值域为，故B正确； C，函数定义域为R，， 所以函数是奇函数，故C正确； D，函数是增函数，且， 所以函数是减函数， 所以函数是增函数， 故是增函数，故D不正确． 故选：ABC 6．（23-24高一上·广东广州·期末）设函数若，则取值可能是（    ） A．9 B．3 C．2 D． 【答案】ACD 【分析】根据分段函数，利用分类讨论及指数、对数的运算求解即可. 【详解】令，则， 当时，，满足； 当时，，满足， 综上，或， 由可得，解得； 由可得或， 解得或， 综上，取值为， 故选：ACD 三、填空题 7．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求出两函数的值域，再根据题意转化为两个函数值域的包含关系，可分和两种情况进行分类讨论，列示求解. 【详解】当时，； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得； 当时，当，， 又，，使得， 所以， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 8．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增； ②存在最大值； ③不等式的解集是； ④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】根据给定的函数，分析单调性判断①；利用指数函数值域判断②；解指数不等式判断③；探讨函数图象的对称性判断④即得. 【详解】函数的定义域为R，函数在R上单调递减，因此在R上单调递增，①正确； 由于，则，，函数不存在最大值，②错误； 不等式，即，整理得，解得，的解集是，③正确； 由于，因此的图象关于点对称，④正确， 所以所有正确结论的序号是①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 9．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意，总存在一个三角形且其边长为，，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可. 【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需， ， ①当时，，满足题意； ②当时，在上单调递减，，故需，即； ③当时，在上单调递增，，故只需，即， 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：原问题对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，转化为对，，，总有恒成立，是解题的关键. 四、解答题 10．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a值，进而可得结论； （2）由减函数可得对任意的，都有，变形可得恒成立，又可得，可得． 【详解】（1）令，则， 若，则；若，则. 所以当时，是偶函数； 当时，是奇函数； 当时，是非奇非偶函数. （2）设，则，， ， 因为函数在上严格减函数，所以恒成立， 所以，即，恒成立， 又因为，，所以，，所以． 11．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求实数的值； (2)若函数在上的最小值是4，救实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可得解； （2）利用换元法，分类讨论的取值范围，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）若函数是上的奇函数， 则，即，此时， 经检验满足，符合题意，故； （2）令，则，原函数可化为， 因为函数在上的最小值是4， 即在时的最小值为4，故， 当时，在上单调递增，此时没有最小值，不符合题意； 当时，，当且仅当，即时取等号， 所以，即. 题型五 指数函数的单调性 【典例9】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，设，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较出、、的大小关系，结合函数的单调性与奇偶性可得出、、的大小关系. 【详解】因为指数函数为上的增函数，且，则， 因为对数函数为上的增函数，则， 所以，， 因为函数是定义在上的偶函数，且在单调递增， ，，，故. 故选：B. 【典例10】（23-24高一上·天津宁河·期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求函数解析式；利用奇偶性和单调性解不等式. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， 则当时，，. 函数和在R上都单调递增，则在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以在R上单调递增， 由，得， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：； 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 2．（2010·吉林·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数单调性即可分类求解. 【详解】①函数单调性递增， 则满足，即 ， 解得. ②若函数单调性递减， 则满足即，此时无解. 综上实数取值范围为：. 故选：D. 3．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，，，比较的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系． 【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数， 则该函数在上为减函数，且有， 则，，， 因为，，， 即，由于函数在上为减函数， 所以，可得. 故选：C． 4．（2018·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数和对数函数的单调性得出即可. 【详解】， 所以， 故选：D 5．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性转化不等式，再求解不等式. 【详解】函数单调递增，函数单调递减，所以函数单调递增， 所以， 即，，得， 解得： 所以不等式的解集为. 故选：C 二、多选题 6．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数为奇函数，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在定义域上是单调减函数 C． D．函数所有零点之和大于零 【答案】AC 【分析】根据求解可判断A；取特值验证可判断B；通过观察法求值域可判断C；根据奇函数的对称性即可判断D. 【详解】对A，由得的定义域为， 因为为奇函数，所以，解得，A正确； 对B，由上知，， 因为， 所以，显然不满足减函数定义，B错误； 对C，因为，所以， 所以，所以， 所以，C正确； 对D，因为函数和均为奇函数， 所以是定义在上的奇函数， 由对称性可知，若是的一个零点，则也是的一个零点， 所以，的所有零点之和等于0，D错误. 故选：AC 7．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】变形给定不等式，构造函数并确定函数单调性，求出的大小关系，再逐项判断即可. 【详解】由，得， 令函数，函数在上分别递增、递减， 因此函数在上递增，而不等式， 则，即有，，A错误，B正确； 显然，因此，，CD正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是变形不等式，构造函数求出. 三、填空题 8．（22-23高一上·河北保定·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】. 【分析】先根据条件得出的对称轴，利用指数函数、对数函数的性质结合的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可知的图象关于轴对称， 则在上单调递减， 又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 即， 所以，而， 故，则. 故答案为： 9．（23-24高一上·浙江·期末）若函数是上的单调函数，且对任意实数x，都有，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由单调性的性质可得为常数，则设，分析可得，解可得的值，即可得函数的解析式，将代入计算可得答案． 【详解】根据题意，函数是上的单调函数，且对任意实数，都有成立， 则为常数，设，则， 又由，则， 由于函数均为单调递增函数，所以单调递增，且，故， 则， 故答案为： 10．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性和偶函数的对称性可解. 【详解】当时，， 令，得，解得， 因为是定义在上的偶函数， 所以不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题 11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解. 【详解】（1）当时，. 设，因为，所以. 则，. 因为该函数在上单调递减，在上单调递增. 且， ， 所以，所求函数的值域为： （2）设，因为，所以. 问题转化为：方程在上有两个不等实根. 所以. 所以，实数的取值范围是： 12．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)0. (2)或. 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解； （2）分和两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解. 【详解】（1）若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. （2）由（1）可得（且）. 当时，在上单调递增，，解得. 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 题型五 指数函数的最值 【典例9】（22-23高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，得到，问题转化为，换元后进行求解，得到答案. 【详解】作出的图象，如图所示：      由，可得， 则， 令， 则， 故． 故选：D． 【典例10】（22-23高一上·吉林·期末）已知函数（为常数且）的图象经过点 (1)试求的值； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，解出即可；（2）不等式参变分离后可化为，求得的最小值为2，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数图像经过， 所以，解得， 故的值为，的值为 （2）原不等式为， 即在时恒成立， 而在时单调递减， 故在时，有最小值为2， 故． 所以实数的取值范围是． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边取对数，得到，继而换元，令，再结合求解二次函数的最值问题，即可求得答案. 【详解】由，设， 故， 令，则， 当时，取到最大值， 故y的最大值为，即函数的最大值为， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合函数解析式的结构特点，采用两边取对数再结合换元的方法，将原问题转化为求二次函数的最值问题. 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数的图象，并结合端点的取值，结合函数的图象，以及最值，即可判断的取值. 【详解】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数的图象，并根据最值，分析端点值的取值范围. 3．（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A 4．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件结合分段函数的图象与性质解不等式即可 【详解】因为，所以时，， 此时有， 令，由题意可知， 易知，， 所以时，， 则恒成立，即且， 解之得. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一上·广东茂名·期末）存在实数使得函数有唯一零点，则实数可以取值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】AB 【分析】转化为有唯一的解，构造函数，结合基本不等式，得到关于的方程有根，考虑与，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，存在实数使得有唯一的解， 令，其中，当且仅当， 即时，等号成立， 故关于的方程有根， 即，当时，，此时，满足要求， 当时，由得，， 综上，和满足要求. 故选：AB 【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 6．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）若实数x，y满足，则（    ） A．且 B．m的最大值为 C．n的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C，根据指数幂的运算判断D． 【详解】因为，若，则，又，显然不成立，即， 同理可得，所以，即且，故A正确； 又，即， 所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确； 又 ， 当且仅当，即时取等号，n的最小值为9，故C错误； ， 因为，所以，即，即， 即，因为，所以，即，故D正确； 故选：ABD． 7．（22-23高一上·重庆云阳·阶段练习）若函数 的图像经过点 ， 则（    ） A． B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 81 D． 的最小值为 【答案】AC 【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可. 【详解】对于:由题意得  ， 得 ,故正确; 对于:令函数 ， 则该函数在上单调递减，在 上单调递增． 因为 是减函数， 所以在上单调递增， 在 上单调递减， 故错误; 对于:因为在上单调递增， 在 上单调递减, 所以 ,无最小值．故正确, 错误; 故选:. 三、填空题 8．（22-23高一上·上海松江·期末）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据求出，进而得到，即，由函数单调性得到，由题干条件得到，列出不等式组，求出答案. 【详解】，故， 故，解得：， 即， 因为，所以， 要想保证对于任意的，都存在，使得成立， 需要满足， 所以，解得：， 故. 故答案为： 9．（2022·江西·二模）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 由，求得的范围，再求得的单调性，讨论，时函数在的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为， 当时函数单调递减且， 当时，可得在时函数单调递减，在单调递增， 若，，则在处取得最大值，不符题意； 若，，则在处取得最大值， 且，解得， 综上可得的范围是． 故答案为： 10．（22-23高一上·北京海淀·期末）已知，当时，的单调减区间为 ；若存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】空一：分开求解单调性；空二：分和两种情况讨论. 【详解】当时， 当时函数单调递增， 当时函数，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以函数的单调减区间为 因为函数 并且，所以函数在上单调递增，没有最小值； ，要想函数有最小值则满足即 故答案为：， 四、解答题 11．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20，记. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2)1011 【分析】（1）根据指数函数的单调性进行求得，再利用代入法，结合指数幂的运算性质进行求解即可； （2）结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20， 而函数在上是单调函数，∴， 解得或（舍去），则，故， 所以 ； （2）由（1）知，. ∵，，…，. ∴ 【点睛】关键点睛：利用指数函数的单调性、指数幂运算性质是解题的关键. 12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解； （2）根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为上的偶函数，则， 即， 即，即恒成立， 所以. （2）解：由（1）知， 可得， 令，因为函数在都是增函数， 所以函数在上为递增函数，则， 所以， 因为函数的对称轴为，所以函数在递增， 所以，当时，， 要使得，都有成立，则，即实数的取值范围. 题型六 指数函数的最值 【典例11】（22-23高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，得到，问题转化为，换元后进行求解，得到答案. 【详解】作出的图象，如图所示：      由，可得， 则， 令， 则， 故． 故选：D． 【典例12】（22-23高一上·吉林·期末）已知函数（为常数且）的图象经过点 (1)试求的值； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，解出即可；（2）不等式参变分离后可化为，求得的最小值为2，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数图像经过， 所以，解得， 故的值为，的值为 （2）原不等式为， 即在时恒成立， 而在时单调递减， 故在时，有最小值为2， 故． 所以实数的取值范围是． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边取对数，得到，继而换元，令，再结合求解二次函数的最值问题，即可求得答案. 【详解】由，设， 故， 令，则， 当时，取到最大值， 故y的最大值为，即函数的最大值为， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合函数解析式的结构特点，采用两边取对数再结合换元的方法，将原问题转化为求二次函数的最值问题. 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数的图象，并结合端点的取值，结合函数的图象，以及最值，即可判断的取值. 【详解】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数的图象，并根据最值，分析端点值的取值范围. 3．（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A 4．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件结合分段函数的图象与性质解不等式即可 【详解】因为，所以时，， 此时有， 令，由题意可知， 易知，， 所以时，， 则恒成立，即且， 解之得. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一上·广东茂名·期末）存在实数使得函数有唯一零点，则实数可以取值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】AB 【分析】转化为有唯一的解，构造函数，结合基本不等式，得到关于的方程有根，考虑与，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，存在实数使得有唯一的解， 令，其中，当且仅当， 即时，等号成立， 故关于的方程有根， 即，当时，，此时，满足要求， 当时，由得，， 综上，和满足要求. 故选：AB 【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 6．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）若实数x，y满足，则（    ） A．且 B．m的最大值为 C．n的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C，根据指数幂的运算判断D． 【详解】因为，若，则，又，显然不成立，即， 同理可得，所以，即且，故A正确； 又，即， 所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确； 又 ， 当且仅当，即时取等号，n的最小值为9，故C错误； ， 因为，所以，即，即， 即，因为，所以，即，故D正确； 故选：ABD． 7．（22-23高一上·重庆云阳·阶段练习）若函数 的图像经过点 ， 则（    ） A． B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 81 D． 的最小值为 【答案】AC 【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可. 【详解】对于:由题意得  ， 得 ,故正确; 对于:令函数 ， 则该函数在上单调递减，在 上单调递增． 因为 是减函数， 所以在上单调递增， 在 上单调递减， 故错误; 对于:因为在上单调递增， 在 上单调递减, 所以 ,无最小值．故正确, 错误; 故选:. 三、填空题 8．（22-23高一上·上海松江·期末）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据求出，进而得到，即，由函数单调性得到，由题干条件得到，列出不等式组，求出答案. 【详解】，故， 故，解得：， 即， 因为，所以， 要想保证对于任意的，都存在，使得成立， 需要满足， 所以，解得：， 故. 故答案为： 9．（2022·江西·二模）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 由，求得的范围，再求得的单调性，讨论，时函数在的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为， 当时函数单调递减且， 当时，可得在时函数单调递减，在单调递增， 若，，则在处取得最大值，不符题意； 若，，则在处取得最大值， 且，解得， 综上可得的范围是． 故答案为： 10．（22-23高一上·北京海淀·期末）已知，当时，的单调减区间为 ；若存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】空一：分开求解单调性；空二：分和两种情况讨论. 【详解】当时， 当时函数单调递增， 当时函数，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以函数的单调减区间为 因为函数 并且，所以函数在上单调递增，没有最小值； ，要想函数有最小值则满足即 故答案为：， 四、解答题 11．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20，记. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2)1011 【分析】（1）根据指数函数的单调性进行求得，再利用代入法，结合指数幂的运算性质进行求解即可； （2）结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20， 而函数在上是单调函数，∴， 解得或（舍去），则，故， 所以 ； （2）由（1）知，. ∵，，…，. ∴ 【点睛】关键点睛：利用指数函数的单调性、指数幂运算性质是解题的关键. 12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解； （2）根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为上的偶函数，则， 即， 即，即恒成立， 所以. （2）解：由（1）知， 可得， 令，因为函数在都是增函数， 所以函数在上为递增函数，则， 所以， 因为函数的对称轴为，所以函数在递增， 所以，当时，， 要使得，都有成立，则，即实数的取值范围. 题型七 指数函数的应用 【典例13】（22-23高三上·贵州贵阳·期末）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知信息可得出，将，代入指数模型求出的值，然后解不等式，结合对数运算可求得结果. 【详解】由题中信息可得，，则， 当时，，即，解得，即， 由，可得， 所以，， 故学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为. 故选：C. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：)（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得，再由指数函数的性质以及对数运算，即可求解. 【详解】设此人休息小时才能驾驶，由题意可得，即， 由于函数再定义域内单调递减， 所以， 所以此人至少要休息小时. 故选：C 2．（23-24高一上·广东·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】直接根据指数函数定义求解即可. 【详解】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量， 经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量， 经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量， ， 经过天后，剩留的质量，. 故选：A. 3．（22-23高一下·河南信阳·期中）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先根据函数奇偶性排除选项C，D；再利用特殊值排除选项B即可求解． 【详解】∵，定义域为， 又，可知函数为奇函数，故排除选项C，D； 又由时，，，有，，可得； 当时，，，有，，可得； 故当时，，故排除选项B； 而A选项满足上述条件，故A正确． 故选:A． 4．（22-23高一上·山东菏泽·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20~79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了 120mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待小时才能驾驶．（参考数据：，）（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式，利用对数函数的单调性及对数的运算性质求解． 【详解】想要在不违法的情况下驾驶汽车，则每100mL血液中酒精含量小于20mg， 即t小时后，，则， 两边取对数得， 即小时， 所以至少需要等待8个小时， 故选：D． 5．（22-23高一上·山西大同·期末）一个口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设月平均增长率为，去年12月份的产量为1.建立方程关系，进行求解即可． 【详解】设这一年该口罩厂的月平均增长率为，去年12月份的产量为1. 因为今年12月份的产量是去年12月份产量的倍， 所以，即，即. 故选：B. 6．（22-23高一上·湖南湘潭·期末）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满；…；连续进行次，容器中的纯酒精少于，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用指数的运算性质求解即可. 【详解】由题意可得，， 因为，所以， 故选：A 7．（22-23高一上·浙江宁波·期末）2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（    ）年（参考数据：，，） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．8.9 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】设世界人口达到90亿至少需要年，由题意，得 ， 因此世界人口达到90亿至少需要8.5年， 故选：B 二、填空题 8．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知S市某所新建高中年的绿化面积为，若该校绿化面积的年平均增长率为％，则到 年（用整数年份表示），该校的绿化面积约是.（参考数据：，） 【答案】 【分析】设经过n年后，该校的绿化面积约是，由已知可得n的关系式，再通过两边取对数，利用对数运算求解即可． 【详解】设经过n年后，该校的绿化面积约是， 则由已知得，即， 两边取对数得， ， 故答案为：． 9．（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时. 【答案】72 【分析】根据题意列出方程组，求出，确定函数解析式，再代入求值即可. 【详解】由题意得：，①÷②得：，故， 则，，故 故当时，. 故答案为：72 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$