专题06 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（5题型）--2024～2025学年高一数学上学期期末重难点讲与练（人教A版·2019）

明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题06 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值 题型目录一览 ①函数单调性的判断与证明 ②求函数的单调区间 ③复合函数的单调性 ④函数单调性的应用 ⑤函数的最值（值域） 一、知识点梳理 1.函数的单调性 （1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； （2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数. （3）【特别提醒】 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． ②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2.函数的最值 （1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有；②存在，使得. 那么，我们称是函数的最大值. （2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有；②存在，使得. 那么，我们称是函数的最小值. （3）函数最值存在的两个结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 【常用结论】 1.∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． 2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． 3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． 4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． 5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反． 6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． 二、题型分类精讲 题型一 函数单调性的判断与证明 策略方法　1.定义法证明函数单调性的步骤 2.判断函数单调性的四种方法 (1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法． 3.证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法． 【典例1】（23-24高一上·福建南平·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集. 【详解】设，由题意知，则函数的定义域为， 又 ，所以是奇函数， 当时，为增函数，为增函数， 所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增， 由得，即， 则，解得， 所以不等式的解集为.故D正确. 故选：D 【典例2】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明； （2）根据函数单调性的定义分析证明； （3）根据函数单调性结合函数定义域分析求解. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. （2）任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上是增函数. （3）因为，且函数在区间上是增函数， 则，解得， 所以不等式的解集为. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且.有下列四个结论： ① ②为偶函数 ③ ④在区间上单调递减 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则，则，故①错误； 令，则，所以为偶函数，故②正确； 令，则，即， 则，故， 则，故，故③正确； 由为偶函数，可知的图像关于对称，由，可知的图像关于对称，故在区间上不单调，故④错误； 故选：B 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到函数在上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 4．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，，，比较的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系． 【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数， 则该函数在上为减函数，且有， 则，，， 因为，，， 即，由于函数在上为减函数， 所以，可得. 故选：C． 5．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义，据反例可得不是的充分条件；综合可得答案． 【详解】根据题意，对于：任意，，都有， 令，则有， 再令，有，变形可得， 则函数为奇函数； 设，有， 则有， 必有， 故函数是上的严格增函数， 则是的充分条件； 对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件； 故选：B． 6．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，函数在上单调递增，由对称性得出，，结合函数在上的单调性可得出结论. 【详解】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称， 当时，，则函数在上单调递增， 因为，， 且，则，即， 故选：A. 7．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集. 【详解】， 由于，所以的定义域为， 又 ，所以是奇函数， 当时，为增函数，为增函数， 所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增， 由得，即， 则，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 二、解答题 8．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使成立的实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【详解】（1）由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，， 所以， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得， 因此需满足，解得，即； 故实数a的取值范围为. 9．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明； （2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证； （3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； （2）设任意且， 由题意，， 又由（1）是奇函数， 得， ，， 已知当时，，从而有， 故，即， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上也单调递增， 故在上是增函数； （3）对任意恒成立，即， 由（2）得，在上是增函数， 所以当时，， 又（1）可知，函数是奇函数，则，即. 所以对任意恒成立， 设，，要使恒成立， 则，即， 解得或，所以实数的取值范围是． 10．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义即可求得; （2）利用单调性定义按步骤进行证明即可； （3）利用函数奇偶性和单调性将问题转化为不等式在时恒成立问题，再由基本不等式即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数， 所以，即， 所以，经检验符合题意， 故； （2）在上单调递增，证明如下： 因为， 任取， 所以， 则， 所以， 所以在上单调递增； （3）由（2）得在上单调递增， 又时，恒成立， 所以， 所以， 则在时恒成立， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以， 故的范围为． 11．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 题型二 求函数的单调区间 策略方法 求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行)． (2)求简单函数的单调区间． (3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”． 【典例3】（23-24高一上·辽宁·期末）设函数，则使成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出函数为偶函数，然后利用复合函数求出其单调性，从而可求解. 【详解】因为的定义域为， 又，所以为偶函数， 当时，令，则， 因为在上单调递增，是增函数，且， 所以在上单调递增， 结合偶函数的性质可得，即，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 【典例4】（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可； （2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可； （3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得. 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数，且， 所以， 所以，解得，即． 经检验，是奇函数，满足题意，所以. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递增． （3）由题意知， 令，则， 由（2）可知函数在上单调递减， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案. 【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 2．（23-24高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接得到函数的单调性，计算出，并结合零点存在性定理得到答案. 【详解】因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增． 又因为，，所以， 根据零点存在定理，得的零点所在区间为． 故选：B 3．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 4．（23-24高一上·湖南·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数单调递增， 又，， 故，所以函数的零点所在区间为. 故选：B 5．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意先得表达式，从而分类讨论即可求解. 【详解】由题意已知函数在上是奇函数，当时，， 所以当时，， 当时，，， 当时，若，只需，，解得， 当时，若，只需，解得， 综上所述，不等式的解集是. 故选：C. 二、填空题 6．（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据特殊点函数值和函数单调性得到不等式解集. 【详解】，，在严格单调递增， 故在严格单调递增， 而时，， 所以不等式解集为. 故答案为： 7．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用函数单调性的定义判断得在上单调递减，从而分类讨论即可得解. 8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】先求定义域，再由复合函数单调性得到的单调区间. 【详解】由得的定义域为 因为在上是增函数， 在单调递减， 所以在单调递减. 故答案为：. 9．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由解析式得，即关于对称，再应用定义求证上单调性，结合对称性及不等式有，即可求解集. 【详解】由，则， 所以关于对称， 当，令，则 ，而， 所以，即在上递增， 根据对称性知：在上递减， 由，则，即， 所以，即，可得， 故不等式解集为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据解析式求得，并确定区间单调性为关键. 三、解答题 10．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合． 【答案】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【详解】依题意，函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减， 所以在上单调递减， 由于， 所以， ， ， 解得， 所以满足的的集合为. 11．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a值，进而可得结论； （2）由减函数可得对任意的，都有，变形可得恒成立，又可得，可得． 【详解】（1）令，则， 若，则；若，则. 所以当时，是偶函数； 当时，是奇函数； 当时，是非奇非偶函数. （2）设，则，， ， 因为函数在上严格减函数，所以恒成立， 所以，即，恒成立， 又因为，，所以，，所以． 题型三 复合函数的单调性 策略方法 集合运算三步骤 【典例5】（23-24高一上·云南·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有．当时，．则下列结论正确的是（    ） A．函数是最小正周期为4的周期函数 B．当时， C．函数的图象关于点中心对称 D．函数在上单调递减 【答案】BC 【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，所以函数的一个周期是，故A错误； 由关于点中心对称， 又函数的一个周期是，故关于点中心对称，故C正确； 因为时，，时，，故B正确； 同理时，，即此时， 易知，所以， 故，由复合函数的单调性可知此时单调递增，故D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性部分结论总结如下， 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1.对称性： 性质定理1：对于任意函数，如果满足，那么是对称轴；此定理逆定理也成立. 性质定理2：对于任意函数，如果满足，那么是对称中心；此定理逆定理也成立. 性质定理3：对于任意函数，如果满足，那么是对称轴. 性质定理4：对任意函数，如满足，那么是对称中心. 性质定理5：对任意函数，如满足，那么是对称中心. 2.周期性： 结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论2：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论3：对任意函数，如满足，那么是周期. 3.对称性与周期性的关系： 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且； 性质3:若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且. 【典例6】（22-23高一上·上海崇明·期末）已知函数的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，都有，，且．则下列3个命题中是真命题的有 （填写所有的真命题序号）． ①若，则； ②若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值； ③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数． 【答案】①② 【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答. 【详解】对于①，，有，则，又，所以，①正确； 对于②，依题意，，， 则，，即当时，取得最小值，②正确； 对于③，，有，则，依题意，在上是严格减函数， 因此在上是严格增函数，即函数在上是严格增函数，③错误， 所以3个命题中是真命题的有①②. 故答案为：①② 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 则有，解得． 所以a的取值范围是. 故选：C 2．（23-24高一上·湖南张家界·阶段练习）已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出，再结合基本不等式计算即可. 【详解】易知函数定义域为R，且 ， 所以为R上的奇函数，有， 由复合函数的单调性可知单调递增， 由，得，即， 因为为正实数，则有，而， 当且仅当即时等号成立，所以，则的最大值为. 故选：B. 3．（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知函数则的大致图像是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据，转换后得到，根据复合函数的单调性，可求得的单调性，进而可得正确选项. 【详解】函数，则 根据复合函数的单调性， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增，只有A符合. 故选：A. 4．（22-23高一上·广东·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交．若不等式对任意恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数范围或指数函数图像变换得出的值，再根据函数的图象过原点，得出，即可得出函数的解析式，根据已知，得出，令，分类讨论根据函数单调性确定其范围，即可得出答案. 【详解】， 当时，，则， 当时，，不符合题意， 当时，，则， 函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，则， 函数的图象过原点，则，则， 则， ， ，则， 当，则，则， 令，设， 函数为增函数，也为增函数， 则也为增函数，则，则， 当，则，则， 令，设， 则根据对勾函数的性质可得， 在上单调递减， 则，则， 综上，， 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数无限接近某条线，通常利用函数的图像变化或根据不等式的求解来得出参数； 求解不等式恒成立问题，通常利用参变分离，构造新函数，再通过函数的单调性或最值得出参数范围使其成立. 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】变形给定不等式，构造函数并确定函数单调性，求出的大小关系，再逐项判断即可. 【详解】由，得， 令函数，函数在上分别递增、递减， 因此函数在上递增，而不等式， 则，即有，，A错误，B正确； 显然，因此，，CD正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是变形不等式，构造函数求出. 6．（23-24高一上·重庆·期末）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．    B．    C．   D．   【答案】BC 【分析】由已知分两种情况，当时，，当时，，结合函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为， 所以当时，得， 所以在定义域内单调递减，且， 函数的定义域为， 且由简单函数，复合而成， 由复合函数的单调性可知在定义域范围内单调递减， 且当趋近于时，取得无穷小， 故B正确，D错误； 当时，得， 所以在定义域内单调递增，且， 当无穷小时，无限趋近于， 此时在内单调递增， 且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误. 故选：BC. 7．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数， 则（    ） A．不关于原点对称 B． C．在上单调递减 D．的解集为 【答案】AC 【分析】先求出函数定义域检验选项A；代入求出检验选项B；结合复合函数单调性检验选项C；结合函数单调性解不等式检验选项D． 【详解】由，得，即定义域为，不关于原点对称，故A正确； 因为 ， ， 所以，B错误； 当时，， 函数 在区间 上单调递增，函数 在区间上单调递增， 则 在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 在区间上单调递减， 在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，故C正确． 对于D，由B知图象关于对称， 所以在区间上单调递减，所以在区间和上单调递减． 又时，， 所以， 时，． ①当，即时，由得，解得，即； ②当时，不等式组无解，不合题意； ③当，即时，，，不合题意； ④当，即时，，，符合题意． 综上所述，的解集为,,，D错误． 故选：AC． 【点睛】函数图象常见对称性：（1）若，则的图象关于对称；（2）若，则的图象关于对称. 8．（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上是增函数 C．当时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项，证明对数中的真数大于0即可； 对于B选项，利用复合函数单调性即可判断； 对应C选项：由函数单调性即可判断； 对于D选项：注意到与互为相反数，验证即可. 【详解】对于A选项：由，所以的定义域为；因此A选项表述正确. 对于B选项：注意到当时，有， 令，，，显然关于递增，关于递减，关于递增， 由复合函数单调性法则“同增异减”得在上是减函数；因此B选项表述错误. 对于C选项：由B选项分析可知在上是减函数，并且注意到， 即当时，；因此C选项表述错误. 对于D选项：注意到，即与互为相反数， 又 ； 因此D选项表述正确. 故选：AD. 三、解答题 9．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，其中，且为奇函数． (1)求a的值； (2)若，，，求集合M； (3)若函数，讨论函数（k为常数）的零点个数． 【答案】(1)1 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性定义列出方程求解并检验即得； （2）先由函数的单调性和奇偶性推导函数的单调性和奇偶性，利用函数奇偶性化简为，利用单调性求得的范围即得. （3）依题求出，由化简得，就分成和两种情况，讨论方程的解的情况即得. 【详解】（1）因为函数为奇函数， ， ，解得．又，． 经检验,符合题意． （2）由（1）得，则， 由，因函数为奇函数， ，即为奇函数． 又， 因在上单调递减且为正数，又在定义域内为增函数， 则在上单调递减，故在上单调递减； 由． ，解得：．故集合． （3），且， ，且， 令． ①当时，有， ． 由得，即． 当时，方程在无实数解． 当时，由得，由，解得． 即当时，，而当时，． 所以，当或或时，函数在只有一个零点． 当且时，函数在有两个零点：和． ②当时，有，． 当时，函数在没有零点． 当时，，由得或． 所以，当或时，函数在有一个零点； 当时，函数在没有零点． 综上所述，当时，函数有且只有一个零点； 当时，函数有两个零点． 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用函数的性质求解不等式和判断函数的零点情况，属于难题. 对于抽象不等式的解法，一般从判断函数的奇偶性和单调性入手，将不等式等价变换，将其化成具体不等式组求解；对于含参函数的零点个数问题，一般是将其转化成方程的解的个数或者两函数的图象交点个数解决. 10．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知函数是偶函数． (1)求b的值； (2)证明：方程在有唯一的实数根，且． 【答案】(1) (2)证明过程见详解. 【分析】（1）由偶函数定义可以求得结果. （2）根据题意构造函数，利用复合函数单调性和单调性性质求得新函数得单调性。结合单调性、零点存在性定理数形结合对题目进行证明. 【详解】（1）因为是偶函数， 所以 所以 所以 （2）设 因为是上的单调递减函数，所以由复合函数单调性可知是上的单调递减函数，因为是 上的单调递减函数，所以是上的单调递减函数， 又因为，， 所以方程在有唯一的实数根， 即 所以，即. 方程在有唯一的实数根，且得证. 11．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数是奇函数. (1)求的值，并求的定义域； (2)已知实数满足，求t的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义得出，解得，则，根据具体函数定义域的求法得出其定义域； （2）根据复合函数的单调性得出函数是减函数，即可结合已知得出，即可根据一元二次不等式的解法得出答案. 【详解】（1）函数是奇函数， ，即， ，解得：， 则，其定义域为； （2）， 在定义域上为增函数，在与上为减函数， 在其定义域上为减函数， ，即， 函数是奇函数， ， ，即，解得或， 即的取值范围为. 题型四 函数单调性的应用 策略方法 1．比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 2．求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域． 3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系． 【典例7】（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C．函数存在零点 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】计算即可得A，结合复合函数的单调性的判断方式可得B，由可得C，结合单调性可得不等式，解出可得D. 【详解】 对于A，的定义域为， ， 故A错误； 对于B，， 当时，、，且都在上单调递增， 在上单调递减，故函数在上单调递减，故B正确； 对于C，，函数没有零点，故C错误； 对于D，由前可知，不等式满足或或， 解得，故D正确. 故选：BD. 【典例8】（23-24高一上·江苏镇江·期末）定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数． (1)若，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若是“距”增函数，求的取值范围； (3)若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值． 【答案】(1)是“1距”增函数，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，作差比较大小即可； （2）根据定义可知恒成立，代入转化为一元二次方程大于零恒成立，利用判别式求解即可； （3）先根据“2距”增函数的定义，利用复合函数单调性分类讨论去绝对值求出的取值范围，再由结合的范围求出的最小值即可. 【详解】（1）对任意,， 因为，， 所以，即， 所以是 “1距”增函数. （2）因为， 又是“距”增函数， 所以恒成立， 因为，所以恒成立， 所以，即， 解得. （3）因为，，其中，且为“2距”增函数， 所以当时，恒成立， 因为是增函数， 所以根据复合函数单调性可知对恒成立， 当时，，即恒成立， 只需，即，解得， 当时，，即恒成立， 所以解得， 综上所述， 又， 因为，， 所以当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数的最小值为， 当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数的最小值为， 综上. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案. 【详解】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 故选：B. 2．（23-24高一下·上海静安·期末）若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意以及对数函数的单调性性质即可直接求解. 【详解】函数在内是严格减函数， 所以，，故. 故选：D. 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的单调性列出不等式组即可求参数的取值范围. 【详解】因为函数在R上单调递增．所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A． 4．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 二、填空题 5．（23-24高一上·江西新余·期末）若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】由指对数的关系易知在定义域上的单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性判断，即可知目标函数的单调减区间. 【详解】因为与函数互为反函数，所以，在定义域上为减函数， 令，解得：， 可知的定义域为， 则在上递增，在上递减， 利用复合函数的单调性可知： 在上递减，在上递增. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 7．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由复合函数的单调性及在上恒成立，列出不等关系即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 由解得. 故答案为： 三、解答题 8．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解； （2）设,然后由为上的增函数，则成立求解. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 对，， 所以函数为奇函数； 当时，的定义域为， 对，， 此时， 此时，函数是奇函数； （2）设， 则， ， 因为，所以，， 若为上的增函数，则成立， 则成立，所以成立，解得， 所以实数的取值范围是. 9．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是奇函数，且一个零点为1. (1)求，的值及解析式； (2)已知函数在单调递减，在满足，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点. 【答案】(1)，， (2) (3)0，4. 【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得的值，得到解析式，验证的奇偶性，即可得解； （2）依题意利用偶函数和单调性可得满足的条件，进而可求解的取值范围； （3）求出的解析式，依题意求出，进而可得的其他零点. 【详解】（1）因为函数的一个零点是1，所以， 是奇函数，所以， 所以，，解得， ，定义域为. ，都有， 所以，是奇函数，满足题意，故，， （2）函数满足，所以是偶函数且在单调递减 因为不等式恒成立 所以， 所以 （3）， 因为函数的一个零点为2，所以，解得. 所以， 令，得或，解得. 所以函数的其余零点为0，4. 10．（23-24高一上·辽宁·期末）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域； (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递增， (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值，根据复合函数的单调性判断的单调性； （2）根据函数平移的性质求得参数的值，再求函数的值域； （3）根据函数单调性结合题意将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，然后利用一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以，整理得，得， 所以， 所以在上单调递增； （2）由（1）得， ， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为； （3）由（1）得， 令，则在上递增， 因为函数在上的值域为， 所以，所以， 因为， 所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即t的取值范围为． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、函数图象平移的综合问题，第（3）问解题的关键就是利用转化的数学思想将问题转化为一元二次方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解. 题型五 函数的最值（值域） 策略方法 　求函数最值的五种常用方法 【典例9】（23-24高一上·河南郑州·期末）用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合不等式及函数新定义求解函数解析式，然后根据分段函数性质求解函数的最小值即可求解恒成立问题. 【详解】当时，若，则，解得或（舍去）， 若，则，解得， 所以，作出函数图象，如图： 当时，函数单调递增，所以当时，有最小值为1； 当时，函数单调递减，所以； 综上，的最小值为1，因为不等式恒成立，所以， 所以，所以实数m的最大值是2. 故选：B 【典例10】（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况，参变分离，结合函数单调性求出答案. 【详解】当时，， 故， 令，由对勾函数的性质可得在上单调递减， 故，所以，解得， 当时，， 故，其中， 所以， 综上，. 故答案为： 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知的取值范围. 【详解】因为，所以， ，即 ， 当时，有最小值， ， 故选：A 2．（23-24高一上·浙江·期末）已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由已知对的取值进行分类讨论，结合的取值范围求出函数的定义域，再结合函数的性质分别进行求解即可. 【详解】若，则恒成立，故符合题意； 若. ①当即时，，此时函数的定义域为， 所以恒成立，所以：符合题意； ②当即时，，此时函数的定义域为， 则，所以恒成立，所以：符合题意； ③当即时，函数的定义域为且 则取，则， 令，当时，，可以取得负值， 故不符合题意. 若，则函数定义域为且， 令，则. 当且时，，可以取得负值， 故不符合题意； 综上，，即的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对的取值进行分类讨论，分别判断是否恒成立. 3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意利用二次函数的单调性求的取值范围．要使对任意的，都有，只要成立即可，进而列出不等式即可求出结果． 【详解】二次函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又已知在上单调递减， 所以，可得. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，由对称性可知， 所以当时，取得最大值，即最大值为， 在当时取得最小值，即最小值为， 要使对任意的，都有，只要成立即可， 所以，解得， 又，所以的取值范围，即. 故选：A. 4．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数，若对于定义域内任意，总存在，使得，则满足条件的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可知函数在定义域内无最小值，令，从而得到函数在定义域内无最小值或，即可求出实数的取值范围. 【详解】由题意当或时，函数无意义，所以， 因为对于定义域内任意，总存在，使得， 所以函数在定义域内无最小值， 令， 则函数在定义域内无最小值或， 因为当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数且，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算性质计算判断AB；变形给定的式子，借助对勾函数的单调性判断CD. 【详解】函数，由，得， 对于AB，，则，解得，A正确，B错误； 对于C，在上单调递增，则，C错误； 对于D，， 而在上单调递增，，因此，D正确. 故选：AD 6．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是偶函数 C．的最小值为 D．方程有解 【答案】ABD 【分析】由函数的基本性质可判断ABC，由零点存在性定理可判断D. 【详解】因为， 所以，所以为偶函数，B正确； 当时，，令， 则，(也可利用复合函数的单调性说明的单调性) 故与均为增函数， 所以在区间上单调递增，A正确； 由偶函数对称性可知，在区间上单调递减， 所以，C错误； 令，所以， 由零点存在性定理可知方程有解，D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由在区间上单调递增，可得，再由对任意的恒成立，转化为，利用函数的单调性求出的最小值，从而可出的取值范围. 【详解】的对称轴为， 因为在区间上单调递增，所以，得， 因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令（）， 因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，所以，得， 综上，， 即a的取值范围是. 故答案为： 8．（23-24高一上·浙江湖州·期末）设函数，，则函数的值域是 ． 【答案】 【分析】首先化解函数的解析式，再判断函数的单调性，再求函数的值域. 【详解】，， 令，设， 设， ， 因为，则，，， 即，， 所以函数在上单调递增，又也为增函数， 所以函数在单调递增，， 所以函数的值域为. 9．（23-24高一上·四川德阳·期末）函数有零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出定义域，然后将零点问题转化成方程有解问题，最终转化成求值域的问题，构造函数，根据函数的单调性即可求解. 【详解】由题得， 函数有零点， 即在有解， 即在有解， 令， 因为与都是递增的， 所以增， 所以，又当时，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一上·天津·期末）已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解； （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得； （3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可. 【详解】（1），分别为定义在上的偶函数和奇函数 所以， ①， ②， 由①②可知，， （2）取， 因为，所以，，， 所以，即， 得证； （3）由已知 由(2)得在上单调递增， ， 设， 令 ，， 而函数，在上递减，在递增 ①当时，，，显然成立 即 ②当时，，， 即 综上所述，实数的取值范围是. 11．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知； (1)若函数的定义域为，求函数的最值； (2)，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由对数函数的性质可得的值域，通过换元法及二次函数的性质可得结果； （2）由对数函数的单调性转化为对恒成立，利用基本不等式求出的最大值，转化为对恒成立，求出的最大值，根据一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，，由解得， 当时，； 所以， 当时，， 所以， 令则， 设，该函数在时单调递减， 所以，； （2）因为，且 所以， 依题意恒成立， 根据函数在上为增函数，所以对恒成立， 设，因为， 又，当且仅当， 即，所以时取等号， 所以，即对恒成立， 所以对恒成立， 又当时，在时有最大值6， 所以，即或， 故实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题关键第二问：由对数函数的单调性转化为对恒成立，利用基本不等式求出的最大值，转化为对恒成立，求出的最大值，根据一元二次不等式求解即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题06 函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值 题型目录一览 ①函数单调性的判断与证明 ②求函数的单调区间 ③复合函数的单调性 ④函数单调性的应用 ⑤函数的最值（值域） 一、知识点梳理 1.函数的单调性 （1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； （2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数. （3）【特别提醒】 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． ②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2.函数的最值 （1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有；②存在，使得. 那么，我们称是函数的最大值. （2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有；②存在，使得. 那么，我们称是函数的最小值. （3）函数最值存在的两个结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 【常用结论】 1.∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． 2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． 3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． 4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． 5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反． 6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． 二、题型分类精讲 题型一 函数单调性的判断与证明 策略方法　1.定义法证明函数单调性的步骤 2.判断函数单调性的四种方法 (1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法． 3.证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法． 【典例1】（23-24高一上·福建南平·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，且.有下列四个结论： ① ②为偶函数 ③ ④在区间上单调递减 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 6．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 8．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使成立的实数a的取值范围. 9．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 10．（23-24高一上·北京·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 11．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 题型二 求函数的单调区间 策略方法 求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行)． (2)求简单函数的单调区间． (3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”． 【典例3】（23-24高一上·辽宁·期末）设函数，则使成立的的取值范围是 . 【典例4】（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明在区间上的单调性； (3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 7．（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）的单调递减区间是 . 9．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则的解集为 ． 三、解答题 10．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数是定义域在上的奇函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合． 11．（24-25高一上·上海·期末）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围． 题型三 复合函数的单调性 策略方法 集合运算三步骤 【典例5】（23-24高一上·云南·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有．当时，．则下列结论正确的是（    ） A．函数是最小正周期为4的周期函数 B．当时， C．函数的图象关于点中心对称 D．函数在上单调递减 【典例6】（22-23高一上·上海崇明·期末）已知函数的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，都有，，且．则下列3个命题中是真命题的有 （填写所有的真命题序号）． ①若，则； ②若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值； ③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南张家界·阶段练习）已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知函数则的大致图像是（    ） A．B． C． D． 4．（22-23高一上·广东·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交．若不等式对任意恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期末）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．    B．    C．   D．   7．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数， 则（    ） A．不关于原点对称 B． C．在上单调递减 D．的解集为 8．（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上是增函数 C．当时， D． 三、解答题 9．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，其中，且为奇函数． (1)求a的值； (2)若，，，求集合M； (3)若函数，讨论函数（k为常数）的零点个数． 10．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知函数是偶函数． (1)求b的值； (2)证明：方程在有唯一的实数根，且． 11．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数是奇函数. (1)求的值，并求的定义域； (2)已知实数满足，求t的取值范围. 题型四 函数单调性的应用 策略方法 1．比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 2．求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域． 3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系． 【典例7】（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C．函数存在零点 D．不等式的解集为 【典例8】（23-24高一上·江苏镇江·期末）定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数． (1)若，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若是“距”增函数，求的取值范围； (3)若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海静安·期末）若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·江西新余·期末）若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是 ． 6．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 7．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 三、解答题 8．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 9．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是奇函数，且一个零点为1. (1)求，的值及解析式； (2)已知函数在单调递减，在满足，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点. 10．（23-24高一上·辽宁·期末）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域； (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 题型五 函数的最值（值域） 策略方法 　求函数最值的五种常用方法 【典例9】（23-24高一上·河南郑州·期末）用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例10】（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为 . 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江·期末）已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数，若对于定义域内任意，总存在，使得，则满足条件的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数且，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 6．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是偶函数 C．的最小值为 D．方程有解 三、填空题 7．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是 ． 8．（23-24高一上·浙江湖州·期末）设函数，，则函数的值域是 ． 9．（23-24高一上·四川德阳·期末）函数有零点，则的取值范围是 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·天津·期末）已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 11．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知； (1)若函数的定义域为，求函数的最值； (2)，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$