专题05 一元二次不等式及其应用（4题型）--2024～2025学年高一数学上学期期末重难点讲与练（人教A版·2019）

明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题05 一元二次不等式及其应用（精讲） 题型目录一览 ①不含参数的一元二次不等式的解法 ②含参数的一元二次不等式的解法 ③一元二次不等式恒成立问题 ④分式不等式与绝对值不等式的解法 一、知识点梳理 1.一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上. （2）①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为 ②若，解集为 2.分式不等式 （1） （2） （3） （4） 3.绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 【常用结论】 1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． 2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． 3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 二、题型分类精讲 题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 策略方法 解一元二次不等式的四个步骤 【典例1】（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求在上的解析式； (2)解不等式. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东临沂·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知关于的不等式的解集为，或，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是，或 三、解答题 7．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 策略方法 解含参不等式的分类讨论依据 【典例3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 【典例4】（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·模拟预测）定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 . 6．（2022高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为 三、解答题 7．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 8．（23-24高一上·天津·期末）函数， (1)若的解集是或，求实数，的值； (2)当时，若，求实数的值； (3)，若，求的解集. 9．（23-24高一上·安徽淮南·期末）（1）已知，若对任意，都有，求的最小值； （2）解关于x的不等式. 10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)若在区间上最大值为2，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 题型三 一元二次不等式恒成为问题 【典例5】若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【典例6】（23-24高一上·湖南永州·期末）若函数在定义域内存在实数使得，其中，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，则的取值集合是 . 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）函数的定义域为全体实数，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若，，则实数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题 6．（23-24高一上·贵州毕节·期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 7．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知函数，若，则该函数的零点为 ．若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 8．（23-24高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 三、解答题 9．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 10．（23-24高一上·安徽安庆·期末）设定义域为的奇函数，（其中为实数）． (1)求的值； (2)是否存在实数和，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型四 分式不等式与绝对值不等式的解法 策略方法 绝对值不等式和分式不等式解法 1．分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2．根式不等式绝对值不等式分类讨论或用几何意义或者平方处理． 【典例7】（23-24高一上·上海·阶段练习）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【典例8】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数（且）的图象过点. (1)求的值及的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁·期末）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 2．（2023·河南·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 4．（23-24高一上·湖南湘西·期末）不等式的解集为 ． 三、解答题 5．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 6．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设全集，集合，． (1)求； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 8．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 9．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围． 10．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 11．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合. (1)当时，求； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题05 一元二次不等式及其应用（精讲） 题型目录一览 ①不含参数的一元二次不等式的解法 ②含参数的一元二次不等式的解法 ③一元二次不等式恒成立问题 ④分式不等式与绝对值不等式的解法 一、知识点梳理 1.一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上. （2）①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为 ②若，解集为 2.分式不等式 （1） （2） （3） （4） 3.绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 【常用结论】 1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． 2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． 3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 二、题型分类精讲 题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 策略方法 解一元二次不等式的四个步骤 【典例1】（23-24高一上·重庆北碚·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解. 【详解】因为， 令，则可化为， 当时，，即，解得（负值舍去），即， 当时，，即， 而，故上述不等式无解； 综上，， 若，则，解得（负值舍去）； 若，则，解得（舍去）； 综上：. 故选：A. 【典例2】（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求在上的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解. （2）首先根据时，单调递增，从而得到在上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）设，则，当时，， 因为，所以，即， 又，所以， 所以； （2）时，单调递增，则在上是单调增函数， 不等式可化为， 所以，解得或. 所以不等式的解集为或. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性转化不等式，再求解不等式. 【详解】函数单调递增，函数单调递减，所以函数单调递增， 所以， 即，，得， 解得： 所以不等式的解集为. 故选：C 2．（23-24高一上·山东临沂·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】由题意易知或， 且开口向上，且对称轴为， 结合复合函数的单调性知在上单调递增， 所以当时不能得出在上单调递增，即不满足充分性； 而函数在上单调递增可知， 显然成立，满足必要性. 故选：B 3．（23-24高一上·湖北武汉·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解． 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，， 故． 故选：D． 4．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合B，根据交集运算求解. 【详解】由，， 所以. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】依题意可得方程的两根分别为或，且； 由韦达定理可得，即； 对于A，由可得，即A正确； 对于B，易知，即B错误； 对于C，不等式即为，同时除以即可得， 所以不等式的解集为，即C正确； 对于D，不等式即为，也即； 所以，解得或， 即不等式的解集为或，可得D错误. 故选：AC 6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知关于的不等式的解集为，或，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是，或 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；结合根与系数关系可得的关系式，由此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案. 【详解】由关于的不等式解集为或， 知-3和2是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， ， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B不正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：AD. 三、解答题 7．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据条件，利用基本不等式即可求出结果； （2）利用（1）中结果，将问题转化成求解不等式，即可解决问题. 【详解】（1）， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. （2）由（1）知函数的最小值为7， 因为恒成立，所以，解得， 所以的取值范围是. 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 策略方法 解含参不等式的分类讨论依据 【典例3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AD 【分析】分类讨论k的取值范围，结合不等式只有一个整数解，确定k的取值，即得答案. 【详解】关于的不等式即， 即， 当时，即，解集为空集，不合题意； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故， 综合得的可能取值， 故选：AD 【典例4】（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)若，求关于x的不等式的解集； (2)若，且方程有两个不相等的负根，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由，得，分类讨论的情况，从而可求解. （2）由，即，然后由，即有两个不相等的负根，再利用根的分布可得，从而可求解. 【详解】（1）当时，， 令，得或， 当时，即，此时，所以的解集为； 当时，即，此时，解得或，所以解集为； 当，即，此时，解得或，所以解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2）由，即，得， 由，即，即有两个不相等的负根， 则，解得. 故的取值为. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 2．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解. 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D 3．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据，即可求出． 【详解】关于的不等式的解集是， ∴是方程的两个根， ∴即， ∴或， ∴，， ∵， ∴， 即， 即， 解得， 综上所述，或， 故选：D. 4．（2023·全国·模拟预测）定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，结合函数图象即可求出集合，分类讨论求出集合，再根据嵌套集合的定义即可得解. 【详解】因为，所有， 由，得， 如图，作出函数的图象， 由图可知，不等式的解集为， 所以且， 由，得， 当，即时，则，不符题意； 当，即时，则， 由，得， 根据嵌套集合得定义可得，解得； 当，即时，则， 由，得， 根据嵌套集合得定义可得，无解， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 二、填空题 5．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，当时得到，即可求出的取值范围. 【详解】①当时，解得，不符合题意； 故，关于的不等式，即， ②当时，不等式即，解得或， 即它的解集为，不满足题意； ③当时，不等式即， 由于，当且仅当时取等号，故它的解集为，， 由题意，即，解得或， 则实数的取值范围为. 故答案为： 6．（2022高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】问题等价于不等式的解集中恰有个正整数，得出，且这三个正整数为，由此可求得答案. 【详解】解：因为不等式的解集中恰有个正整数， 即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为， 所以这三个正整数为，所以， 故答案为：. 三、解答题 7．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合Q，然后利用集合的运算求解即可； （2）将充分不必要条件转化为集合之间的包含关系即可. 【详解】（1）因为当时，，， 又因为解不等式，得，即， 所以； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，即， ①当时，,解得，满足条件； ②当时， （等号不同时成立），解得：， 综上，a 的取值范围为. 8．（23-24高一上·天津·期末）函数， (1)若的解集是或，求实数，的值； (2)当时，若，求实数的值； (3)，若，求的解集. 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值. （2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值. （3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解. 【详解】（1）不等式的解集为或， ，且的两根为，， ，，，. （2）， 得，. （3），， 即， （1）当时， （2）当时，则， ①当时，； ②当时，若，即时，或 ， 若，即时， ； 若，即时，或 ； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 9．（23-24高一上·安徽淮南·期末）（1）已知，若对任意，都有，求的最小值； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【分析】（1）恒成立，转化为，利用基本不等式求，可得，结合，即可得到的最小值； （2）不等式可化为，讨论二次项系数，，，再讨论方程的两根的大小关系，即可得到结论. 【详解】（1）因为对任意，都有， 所以只需要， 又因为， 当且仅当即时等号成立， 所以， 又因为，， 所以， 所以，解得或（舍） 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. （2）不等式可化为 当时，，方程的两根分别为，且，不等式的解集为； 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且，不等式的解集为或； 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且，不等式的解集为或； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)若在区间上最大值为2，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得. （2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得. 【详解】（1）函数图象的对称轴为， 当，即时，，解得，则； 当，即时，，解得，矛盾， 所以. （2）显然，而， 因此不等式为， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为， 所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 题型三 一元二次不等式恒成为问题 【典例5】若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，结合不等式对任意实数x均成立，利用分类讨论，即可求出实数a的取值范围． 【详解】时，不等式可化为，对任意实数x均成立，满足题意； 时，不等式对任意实数x均成立， 等价于， ∴． 综上，实数a的取值范围是． 故选：A． 【典例6】（23-24高一上·湖南永州·期末）若函数在定义域内存在实数使得，其中，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，则的取值集合是 . 【答案】 【分析】由题意，建立方程，利用分类讨论思想，结合一元二次方程有解问题，可得答案. 【详解】由题意得，函数恒为上的“阶局部奇函数”， 即在上有解，则有， 即有解， 当时，，满足题意； 当时，对于任意的实数，， 变形可得，解可得：， 由，故. 故答案为：. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解. 【详解】当时，则有，解得，不合题意； 当时，则，解得. 综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为， 所以一个必要不充分条件是. 故选：A. 2．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式有解得到，解一元二次不等式求范围即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，则， 所以或. 故选：C 3．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得恒有成立，结合二次不等式恒成立性质对进行分类讨论进行求解即可. 【详解】由题意得恒成立，当时, 恒成立，满足题意； 当时, ,解得,综上. 故选:C. 4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）函数的定义域为全体实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题知，时，恒成立，讨论和两种情况，列出条件，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为全体实数， 则时，恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，则， 解得， 综上知，， 故选：C. 5．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若，，则实数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】令，根据单调性可求出的取值范围，将转化成在上恒成立，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，所以， 令， 因为恒成立，所以恒成立，亦即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故，所以. 故选：B 二、填空题 6．（23-24高一上·贵州毕节·期末）命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意确定为真命题，则只需，设，根据二次函数的性质求得在上的最大值，即可求得答案. 【详解】若是假命题，则为真命题，故， 只需， 设，则在上单调递减， 在上单调递增，其中， 故，所以,即实数的取值范围是, 故答案为: 7．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知函数，若，则该函数的零点为 ．若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 /0.75 【分析】当时，解方程求出零点；，，令，分，和三种情况，结合函数特征得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】时，，令， 解得或（舍去）， ，，即， 令， 当时，满足要求， 当时，开口向下，要想成立， 则，解得或（舍去）， 当时，开口向上，要想成立， 则要，解得，故， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：； 8．（23-24高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对任意的恒成立，故只需，结合基本不等式求解即可，注意取等条件. 【详解】由题意对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，故只需， 而由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 9．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可. （2）将题意转化为对于恒成立，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件； 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去； 所以. （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 等价于对于恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故，则. 10．（23-24高一上·安徽安庆·期末）设定义域为的奇函数，（其中为实数）． (1)求的值； (2)是否存在实数和，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）由是定义在的奇函数，利用，即可求出的值，再利用定义验证. （2）先证明函数单调性脱去不等式中的，转化为不等式恒成立问题，通过分离参数转化为函数最值问题求解. 【详解】（1）由是定义在的奇函数，则有，得，把代入函数得， 而，所以符合题意. （2），因为函数且在单调递增， 所以在上单调递减，从而在上单调递减. 因为在上单调递减. 所以 设函数，要想满足题意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可， 由双勾函数的性质可知在递减，在递增，在上递减， 所以在上的最小值为，在上的最大值为. 所以存在. 题型四 分式不等式与绝对值不等式的解法 策略方法 绝对值不等式和分式不等式解法 1．分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2．根式不等式绝对值不等式分类讨论或用几何意义或者平方处理． 【典例7】（23-24高一上·上海·阶段练习）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）分别求解出分式不等式、绝对值不等式的解集为集合，再根据交集运算求解出； （2）先表示出集合，然后根据列出关于的不等式组，由此求解出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以； （2）因为，所以，所以， 又因为，且即， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 【典例8】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数（且）的图象过点. (1)求的值及的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1), (2)奇函数 【分析】（1）代点求值，对数真数大于0求定义域. （2）一求定义域是否关于原点对称，二找的关系. 【详解】（1）已知函数（且）的图象过点， ∴，即. 又，即, 解得. ∴的定义域为. （2）为奇函数，理由如下： 由（1）知：， 的定义域为，定义域关于原点对称， 又，即， ∴为奇函数. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁·期末）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以的两根是或2，由韦达定理可得：， 所以可转化为，解得或. 所以原不等式的解集为， 故选：B. 2．（2023·河南·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，进而可得，即，再根据“1”的整体代换求出的最小值，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以，解得. 故选：A. 二、填空题 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 4．（23-24高一上·湖南湘西·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由所给分式不等式，根据分子非负可转化为不等式组，利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】由可得， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 三、解答题 5．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 由可得，解得，则， 因此，. （2）解：因为，所以. 当时，，得，满足题意； 当时，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 6．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解； （2）由，得到，分， ， ，讨论集合A求解. 【详解】（1）当时，集合 , ， ， 所以； （2）因为， 所以， 当时，， 则，解得，此时； 当时，，符合题意； 当时，， 则，解得，此时无解； 综上：实数的取值范围是. 7．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设全集，集合，． (1)求； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算得解； （2）讨论，由建立不等式求解即可. 【详解】（1），， 所以. （2）由（1）知， 因为， 当时，，解得， 当时，则 或，解得， 综上，实数的取值范围为. 8．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）当时，得或，解分式不等式化简集合，由交集的概念即可得解. （2）由包含关系列出不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，或， 或， 所以或. （2）因为，所以集合不可能是空集， 若，所以或， 解得或，即实数的取值范围为. 9．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数函数的性质直接解不等式即可； （2）先转化方程为，利用二次函数的零点分布计算即可. 【详解】（1）当时，， ∵在上单调递增，∴， 解之得，∴不等式的解集为． （2）关于的方程在区间内恰有一个实数解， 化简方程得， 即方程在区间内恰有一个实数解， 即方程在区间内恰有一个实数解，且， 即方程区间内恰有一个实数解，且， 故有，解得． 10．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式求出集合，根据，解出集合，进行交集运算即可； （2）先解出，根据，先考虑是否可以为空集，再考虑非空时，进而解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，解得，所以， 又因为，所以，解得，所以， 所以； （2）因为，所以，所以， 又因为，且，所以， 所以，所以， 所以实数a的取值范围是. 11．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合. (1)当时，求； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式求得集合A，由并集定义可得结果； （2）根据必要不充分条件的定义可得集合B是集合A的真子集，分和两种情况，由此可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）由得：，解得：，即； 当时，； 所以. （2）由（1）可知：， 若是成立的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得：，检验符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$