专题03不等式与不等关系（4题型）--2024～2025学年高一数学上学期期末重难点讲与练（人教A版·2019）

明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题03 不等式与不等关系（精讲） 题型目录一览 不等式性质的应用 比较数（式）的大小 已知不等式的关系，求目标式的取值范围 不等式的综合问题 一、知识点梳理 1.比较大小基本方法 关系 方法 做差法（与0比较） 做商法(与1比较) 或 或 2.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 【常用结论】 1.作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论. 注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 2.等式形式及不等式形式解题思路 二、题型分类精讲 题型一 不等式性质的应用 策略方法 1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2．充分利用基本初等函数性质进行判断． 3．小题可以用特殊值法做快速判断． 【典例1】（23-24高一下·北京·期末）已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足． (1)求； (2)当时，判断和的大小关系． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（23-24高一上·湖北恩施·期末）某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 6．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．的最大值为8 D．的最小值为4 三、解答题 9．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 10．（23-24高一上·福建泉州·期末）某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比. 已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量. (1)写出的值，并对的值给出一个合理的解释； (2)已知， ①求 ； ②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？ 题型二 比较数（式）的大小与比较法证明不等式 策略方法 比较两个数或代数式的大小的三种方法 (1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分． (2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数． 步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论． (3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较． 【典例3】（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 【题型训练】 1．下列不等式： ①； ②； ③； ④ 其中恒成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（多选）若，，则（ ） A． B． C． D． 3．（多选）已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，都是正数. (1)若，证明：； (2)当时，证明：. 5．利用拉格朗日（法国数学家，1736-1813）插值公式，可以把二次函数表示成的形式. (1)若，，，，，把的二次项系数表示成关于f的函数，并求的值域（此处视e为给定的常数，答案用e表示）； (2)若，，，，求证：. 题型三 已知不等式的关系，求目标式的取值范围 策略方法 1．判断不等式是否成立的方法 (1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件． (2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案． (3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 2．利用不等式的性质求取值范围的方法 (1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解． (2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围． 可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围． 【典例4】（多选）（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知正数m，n满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例5】若对任意使得关于的方程有实数解的均有，求实数的最大值. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 2．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）设，且1是关于的一元二次方程的一个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津滨海新·三模）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 4．（23-24高一上·江西宜春·期末），记为不大于x的最大整数，，若，则关于x的不等式的解集为 ． 5．（22-23高一上·广东佛山·期末）若实数满足，，则的最大值为 ． 三、解答题 6．（23-24高二下·山西临汾·期末）（1）判断命题“，，”的真假，并说明理由. （2）求关于的不等式的解集. 7．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 题型四 不等式的综合问题 【典例6】已知函数，当时，恒成立. （Ⅰ）若，求实数b的取值范围； （Ⅱ）证明：，并找出一组，使得等号成立. 【典例7】（多选）（22-23高一上·浙江丽水·期末）已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型训练】 1．（22-23高一上·四川绵阳·期末）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 2．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知. (1)证明函数在上单调递减； (2)任取，且，证明. 5．（22-23高一上·江苏淮安·期末）对于定义域为的函数，区间。若满足条件：使在区间上的值域为，则把称为上的闭函数.若满足条件：存在一个常数，对于任意，如果，那么，则把称为上的压缩函数. (1)已知函数是区间上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间，并给出证明； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，，使是区间上的闭函数，若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由； (3)函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数，求满足题意的函数在上的一个解析式. 6．（23-24高一上·北京·期末）设函数，其中是的三条边长，且有．给出下列四个结论： ①若，则的零点均大于1； ②若，则对任意都能构成一个三角形的三条边长； ③对任意； ④若为直角三角形，则对任意． 其中所有正确结论的序号是 ． 7．设a为实数，函数． （1）若，求实数a的取值范围； （2）当时，讨论方程在R上的解的个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题03 不等式与不等关系（精讲） 题型目录一览 不等式性质的应用 比较数（式）的大小 已知不等式的关系，求目标式的取值范围 不等式的综合问题 一、知识点梳理 1.比较大小基本方法 关系 方法 做差法（与0比较） 做商法(与1比较) 或 或 2.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 【常用结论】 1.作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论. 注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 2.等式形式及不等式形式解题思路 二、题型分类精讲 题型一 不等式性质的应用 策略方法 1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2．充分利用基本初等函数性质进行判断． 3．小题可以用特殊值法做快速判断． 【典例1】（23-24高一下·北京·期末）已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设得到，令，从而解出，，，，再根据条件，即可求解出结果. 【详解】由，得到， 即，令， 则，又，所以， 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足． (1)求； (2)当时，判断和的大小关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式， （2）利用作差法判断化简可得，进而判断可得出结果. 【详解】（1）由题设可知，由于为偶函数，为奇函数， 则，则， 解得，． （2） ， 由于， 则，即． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得到，，即可判断出，再利用不等式的性质及对数的单调性，即可判断出，从而得出结果. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，得到，即，所以， 故选：A. 3．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意可知，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】由题意可得，，，， ，， ， ． 故选：C． 4．（23-24高一上·湖北恩施·期末）某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】C 【分析】求出各方案降价后的价格，比较可得结论. 【详解】不妨设商品原价格为， 则方案甲两次降价后的价格为：； 方案乙两次降价后的价格为：； 方案丙两次降价后的价格为：. 所以，方案甲和方案乙两次降价后的价格相同； 又（因为，故不能取“”） 所以，方案丙两次降价后的价格最高. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一上·安徽·期末）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】对于A,用作差法比较大小即可；对于B,举特殊情况即可判断；对于C,用作差法比较即可；对于D,用作差法比较即可. 【详解】对于,因为,所以, 即,，即故，故正确; 对于,若则,故错误; 对于,即,故正确; 对于,,故错误. 故选:. 6．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质判断A、B、D，由特殊值判断C. 【详解】对于A，由及不等式的性质可知，故A正确； 对于B，由，及不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，可得，故C错误； 对于D，由及，可得，故D正确． 故选：ABD． 7．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用二次函数的基本性质可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，，则，A错； 对于B选项，因为，，且，则，可得， 所以，，则， 因为，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，，D对. 故选：CD. 8．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．的最大值为8 D．的最小值为4 【答案】AB 【分析】由基本不等式及“1”的代换求、的最值，由基本不等式求得，结合二次函数性质求的最值，由且求范围，即可判断各项正误. 【详解】由题设且， ，则，故，当且仅当时取等号，A对； ，当且仅当时取等号，B对； ， 而，整理有，则，当且仅当时取等号， 所以，即时取等号，C错； ，而，故，D错. 故选：AB 三、解答题 9．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 10．（23-24高一上·福建泉州·期末）某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比. 已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量. (1)写出的值，并对的值给出一个合理的解释； (2)已知， ①求 ； ②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？ 【答案】(1)；解释见解析 (2)①1，2；②答案见解析 【分析】（1）根据题意即可确定的值，并得出的值的一个合理的解释； （2）①根据，结合函数解析式，即可求得答案； ②求出两种方案下的残留污渍量，作差比较大小，即可得到结论. 【详解】（1）由题意得， 的值表示的含义为没有用洗涤溶液漂洗，残留污渍没有变化； （2）①，由，，得； 又，则， ②，设清洗前物品上污渍残留量为单位1， “用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”后残留污渍量为， “用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”后残留污渍量为， ， 当时，，即“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”效果好； 当时，，两种方案效果相同； 当时，，即“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”效果好. 题型二 比较数（式）的大小与比较法证明不等式 策略方法 比较两个数或代数式的大小的三种方法 (1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分． (2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数． 步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论． (3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较． 【典例3】（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据作差法证明即可； （2）由于，故，再结合（1）的结论易证. 【详解】证明：（1）因为，，所以，。 所以， 故得证； （2）由不等式的性质知，， 所以， 又因为根据（1）的结论可知，， 所以. 所以. 【题型训练】 1．下列不等式： ①； ②； ③； ④ 其中恒成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】对于①，利用不等式的性质可得解；对于②，利用作差法可知，只时，成立；对于③，利用作差法知即可判断； 对于④，利用③的结论结合不等式的性质可判断； 【详解】对于①，∵，∴，又，，故①恒成立； 对于②，，，，但符号不确定，当时，，故②不恒成立； 对于③，，∴，故③恒成立； 对于④，由③知，，，两边同时开方，可得，故④恒成立； 故恒成立的结论是①③④ 故选：B． 2．（多选）若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：取，，，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则有，故B正确； 对C：由，，则，且等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D：由，，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，故D正确. 故选：BCD. 3．（多选）已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知条件得出，且的符号不确定，利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】且，，且的符号不确定. 对于A，，，由不等式的基本性质可得，故A一定能成立； 对于B，，，，，即，故B一定能成立； 对于C，取，则，若，有，故C不一定成立； 对于D，，，，故D一定能成立. 故选：ABD 4．已知，都是正数. (1)若，证明：； (2)当时，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据基本不等式乘“1”法即可求解， （2）根据作差法即可求解. 【详解】（1）证明：由于，都是正数， ， 当且仅当时等号成立.所以. （2）证明： . 因为，，所以，，所以成立. 5．利用拉格朗日（法国数学家，1736-1813）插值公式，可以把二次函数表示成的形式. (1)若，，，，，把的二次项系数表示成关于f的函数，并求的值域（此处视e为给定的常数，答案用e表示）； (2)若，，，，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据已知写出二次项系数后可得；； （2）注意到，因此可以在不等式两边同乘以分母后化简不等式，然后比较可得（可作差或凑配证明）． 【详解】（1）由题意又，所以． 即的值域是； （2）因为，，，，所以， 因为，，，，所以， 所以， 所以， 因为，，，，所以， 所以， 所以， 综上，原不等式成立． 题型三 已知不等式的关系，求目标式的取值范围 策略方法 1．判断不等式是否成立的方法 (1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件． (2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案． (3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 2．利用不等式的性质求取值范围的方法 (1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解． (2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围． 可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围． 【典例4】（多选）（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知正数m，n满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由不等式的性质可判断选项A；利用基本不等式判断选项B、C；利用指数函数单调性判断选项D. 【详解】因为m，n为正数，且， 所以，得，所以A不正确； 由，得，即， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 因为， 当且仅当，即时取等号，所以C正确； 因为，所以， 又为上的减函数， 所以．所以D正确． 故选：BCD． 【典例5】若对任意使得关于的方程有实数解的均有，求实数的最大值. 【答案】 【分析】设方程的两根为，由韦达定理得，，不等式变形为，化为关于的表达式，再变形得最值． 【详解】设方程的两根为，则，， ， 上式右边最小值是，（时取得）， 所以． 故答案为：． 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用已知式子表示，并利用不等式的性质求的范围，验证最大值取到即可. 【详解】， 由不等式的性质，，所以 所以，所以， 当且仅当时，且已知，解得， 即的最大值为. 故选：A. 2．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）设，且1是关于的一元二次方程的一个实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到，再结合，从而关于的不等式组，再分析的正负，从而得解. 【详解】因为1是一元二次方程的一个实根，则， 所以有，则， 又，所以， 即，则， 又因为，所以，即，所以， 则不等式等价为，即，则； 所以的取值范围为，即. 故选：A. 3．（2023·天津滨海新·三模）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由换底公式和基本不等式即可求解. 【详解】由知, 结合，以及换底公式可知， ， 当且仅当，， 即时等号成立， 即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B. 二、填空题 4．（23-24高一上·江西宜春·期末），记为不大于x的最大整数，，若，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意分，两种情况结合新定义解不等式即可得解. 【详解】由题意当时，， 原不等式变为了，解得，即此时满足题意的的范围为， 当时，， 原不等式变为了，解得，即此时满足题意的的范围为； 综上所述：关于x的不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是理解新定义，然后分类讨论即可求解. 5．（22-23高一上·广东佛山·期末）若实数满足，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求出，变形得到，求出，从而求出的最大值. 【详解】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得：， 又因为，所以， 化简得：， 因为，所以，所以，即， 所以，所以， 故的最大值是. 故答案为：. 三、解答题 6．（23-24高二下·山西临汾·期末）（1）判断命题“，，”的真假，并说明理由. （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）利用不等式的基本性质求解； （2）利用含参一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）由，得， 所以，故命题是真命题； （2）原不等式可化为：， 即， 当时，，则； 当时，或； 当时，或； 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或； 7．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 【答案】(1)这所公寓的窗户面积至少为30多少平方米 (2)公寓的采光效果变好了 【分析】对于（1），设地板面积为，则窗户面积为，其中，又，据此可得答案； 对于（2），设增加的面积为，本题相当于比较与的大小. 【详解】（1）设地板面积为，窗户面积为，其中. 又由题有， 则，当且仅当时取等号. 即这所公寓的窗户面积至少为30多少平方米. （2）设增加面积为，由（1），面积未增加前窗户面积与地板面积比值为， 面积增加后窗户面积与地板面积比值为. 又由题可知，. 则， 即公寓的采光效果变好了. 题型四 不等式的综合问题 【典例6】已知函数，当时，恒成立. （Ⅰ）若，求实数b的取值范围； （Ⅱ）证明：，并找出一组，使得等号成立. 【答案】（1）；（2）证明见解析， 【解析】（1）由条件当时，恒成立，取，求出，从而确定二次函数的对称轴位置，利用单调性，判断函数的最值，根据，可知，进而求得实数b的取值范围 （2）特殊赋值，求出，，，利用绝对值不等式求得，再通过上式分类讨论符号，从而求得，进而证得. 【详解】（1）由，得 由条件当时，恒成立， 取，，得， 故的对称轴， 所以当时，，解得 综上，实数b的取值范围是： （2）证明：当时，， 当时，，当时，， 由绝对值不等式性质可得： 化简得，即 由，当同号时，有 由，当异号时，有 综合可得， 所以，当时，等号成立. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，考查学生的综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力，属于难题． 【典例7】（多选）（22-23高一上·浙江丽水·期末）已知函数为自然对数的底数），，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意结合的单调性易得，根据已知零点判断A、C；应用零点存在性判断的范围，由求范围判断B；放缩法可得，作差法比较的大小关系判断D. 【详解】由题意，即， 而在定义域上递增，故， 所以，即，A对，C错； 由，，故零点， 所以，B对； 由，则， 而，显然，则，故， 综上，，D对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：注意函数形式得到，结合单调性得到，进而有为关键. 【题型训练】 1．（22-23高一上·四川绵阳·期末）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【答案】D 【分析】易得，.又， 比较与0的大小即可. 【详解】，因函数在上单调递增， 则，. ，因，则 . 故，综上有. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因，难以找到中间量，故结合换底公式做差，后再利用基本不等式比较大小. 2．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 对，恒成立，等价于； 对，恒成立，等价于. 3．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得且，，构造研究单调性，进而得到，即可判断各项正误. 【详解】由题设，且，， 令，且在上单调递增， 所以，即，故，B错，D对； 若时，，则，存在使成立，此时，A错. 若，显然与矛盾，C错； 故选：D 【点睛】关键点点睛：将方程变形得到，进而构造判断单调性为关键. 4．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知. (1)证明函数在上单调递减； (2)任取，且，证明. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明； （2）代入函数，作差，然后换元化简证明即可. 【详解】（1）， 任取，且， ， 因为，且，所以， 所以， 所以函数在上单调递减. （2） , 令，且, 则上式可化为， 所以对任意，且恒成立， 所以对任意的，且， . 5．（22-23高一上·江苏淮安·期末）对于定义域为的函数，区间。若满足条件：使在区间上的值域为，则把称为上的闭函数.若满足条件：存在一个常数，对于任意，如果，那么，则把称为上的压缩函数. (1)已知函数是区间上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间，并给出证明； (2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，，使是区间上的闭函数，若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由； (3)函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数，求满足题意的函数在上的一个解析式. 【答案】(1)（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解 (2)见详解 (3)（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解 【分析】（1）取，，结合题意证明； （2）假定存在，根据的定义域、值域以及零点，分，两种情况，结合函数的单调性、零点分析判断； （3）取，，结合题意证明. 【详解】（1）设，则函数是区间上单调递增， 不妨设任意，令，则，故， 则， ∵，则， ∴，则， 故函数是区间上的压缩函数. （2）不存在，理由如下： 假定存在实数，，使是区间上的闭函数， 函数的定义域为，值域为，且函数的零点为，则或， 当时，则在区间上单调递减， 则可得，整理得，两式相减得，不合题意，舍去； 当时，则在区间上单调递增，则可得， 即有两个零点，则， 故函数在区间上有两个零点，则必须满足， 解得， ∵函数的零点为，符合题意； 综上所述：若，不存在实数，，使是区间上的闭函数； 若，存在实数，，使是区间上的闭函数. （3）若，则函数在区间上单调递增，且， 则函数在区间上的值域为，故函数是区间上的闭函数； 不妨设任意，令， 则，即， 则函数是上的压缩函数； 综上所述：函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数. 6．（23-24高一上·北京·期末）设函数，其中是的三条边长，且有．给出下列四个结论： ①若，则的零点均大于1； ②若，则对任意都能构成一个三角形的三条边长； ③对任意； ④若为直角三角形，则对任意． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】令，则有，求出的范围可判断①；利用构成三角形的条件可判断②④；利用可判断③． 【详解】对于①，因为，所以， 令，则有， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以， 所以当时，函数的零点大于1，故正确； 对于②，因为， 当时，， 此时，不能够成三角形的三边，故错误； 对于③，因为，所以， 所以当时，，故正确； 对于④，因为为直角三角形，所以， 所以（时等号成立），故正确． 所以说法正确的是：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】思路点睛：对于③，要根据题意认真分析解决每一步，提取后进行放缩得证，判断都要有理有据. 7．设a为实数，函数． （1）若，求实数a的取值范围； （2）当时，讨论方程在R上的解的个数． 【答案】（1）；（2）答案见解析.. 【解析】（1）根据得到关于 的不等式，对分类讨论，从而求解出的取值范围； （2）记，采用分类讨论的方法分析的零点个数，从而分析得到方程在上的解的个数. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，显然成立， 当时，，解得， 综上可知：； （2）设， 当时，的对称轴，所以在上单调递减， 又因为，所以在上无零点； 当时，的对称轴为，所以在上单调递减， 又因为，所以在上有个零点； 当时，的对称轴为，所以在上单调递增， 又因为，所以在上有个零点； 综上可知：方程在上有两个解. 【点睛】结论点睛：函数零点的个数、方程根的数目、函数图象的交点个数三者间的关系： 已知函数，则的零点个数方程根的数目图象与图象的交点数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$