1.1等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质课件2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第一章 等腰三角形 我们曾经探索过等腰三角形和直角三角形的一些性质，如等腰三角形“三线合一”的性质、勾股定理等，你还记得获得这些结论的过程吗?你能根据已有基本事实和定理证明这些结论吗? 本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，还将研究直角三角形全等的判定进一步体会证明的必要性. 1.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1. 理解并掌握两个三角形全等的判别方法（AAS）以及等腰三角形的概念及性质；（重点） 2. 能运用等腰三角形的性质解决相关问题.（难点） 学 习 目 标 观察图中的等腰三角形ABC，分别指出它的腰、底边、顶角和底角. A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 复 习 导 入 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和学习过的定理证明它吗？ A D B C E F 思 考 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△ DEF. A D B C E F 证明：在△ABC和△DEF中， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°， ∴∠C=180°-（∠A+∠B）， ∠F=180°-（∠D+∠E）. ∵∠A=∠D,∠B=∠E， ∴∠C=∠F. 又∵BC=EF,∠B=∠E, ∴△ABC≌△DEF（ASA） 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 合 作 探 究 A B C A B (C) D A B C D 等腰三角形是轴对称图形; ∠B=∠C; 等腰三角形的两个底角相等. （等边对等角） 还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ 如果把该等腰三角形沿顶角平分线折叠,你有什么发现？ 思 考 D 已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C. 请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流. 分析:我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图1-2)，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形，这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等. 典 例 精 析 证明： 取BC的中点D，连接AD. ∵AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴ △ABD ≌ △ACD (SSS). ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C D 你还有其他证明方法吗？与同伴交流. 典 例 精 析 证明： 作底边BC的高AD. ∵AB=AC，AD=AD， ∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C D 方法二： 典 例 精 析 证明： 作顶角的平分线AD. ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ，AD=AD ， ∴ △ABD ≌ △ACD (SAS). ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. A B C D 方法三： 典 例 精 析 1.全等三角形的判定定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）. 2.全等三角形的定义： 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 新 知 小 结 符号语言 图形 BD＝CD ∠BAD＝∠CAD AD⊥BC 横线上填： （无顺序） A B C ∵ AB=AC， ， ∴ ， . （等腰三角形“三线合一”） 3.等腰三角形性质 （1）等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一）. D 新 知 小 结 1.在△ABC中，AB=AC． (1)如果∠B=70°，那么∠C= ，∠A= ． (2)如果∠A=70°，那么∠B= ，∠C= ． (3)如果有一个角等于120°，那么∠A= °，∠B= °， ∠C = °． (4)如果有一个角等于50°，那么另两个角为 . 70° 40° 55° 55° 120 30 30 65°、65°或50°、80° 针 对 练 习 2.（学科融合）作为“一座21世纪的美术馆”的山西大同美术馆，屋顶由四块相互连接的金字塔形结构组成，从正面看都是等腰三角形，其中一个金字塔形结构(示意图如图所示)的高AD＝30m，跨度BC＝80m，则此金字塔形结构的边AB 的长为 m. 50 针 对 练 习 1.在△ABC中，AB=AC， AD垂直于BC ，垂足为D ， ∠BAC=108°， 则 ∠BAD _____. 2.在等腰三角形中，有一个角是 50°，它的一条腰上的高与 底边的夹角是( ) B A.25° B.25°或 40° C.25°或 35° D.40° 54° 随 堂 检 测 18 3.如图，在△ABC 中， D为 AC 边上一点，以点 A 为圆心，AD为半径画弧，交 BA 的延长线于点E ，连接 ED .若∠C=50°， ∠B= 60°，则∠CDE 的度数为( ) . A A.145° B.140° C.135° D.130° 随 堂 检 测 19 4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC=BD，AD=DE=BE，则∠A= . A B C D E 【解析】如图，设某个较小的角为 x，其他的角度分别用含有 x 的式子表示. 利用外角与三角形内角和， 列方程：2x+3x+3x=180，即8x=180，求得∠A=2x=45°. x x 2x 2x 3x 3x 2x 45° A B C D E x x 2x 2x 3x 3x 2x 随 堂 检 测 全等三角形的判定定理 等腰三角形的性质 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）. 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 全等三角 形的性质 等腰三角形的性质 ①等边对等角； ②三线合一. 课 堂 总 结 $$