专题2.7 确定二次函数的表达式（11种类型）（题型梳理与方法分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.7 确定二次函数的表达式（11种类型）（题型梳理与方法分类讲解） 第一部分【题型目录】 【类型1】定义型............................................................1 【类型2】开放型............................................................1 【类型3】平移型............................................................2 【类型4】一般式............................................................2 【类型5】顶点式............................................................3 【类型6】两根式............................................................3 【类型7】折叠（对称）型....................................................3 【类型8】旋转型............................................................4 【类型9】数形结合型........................................................5 【类型10】直通中考.........................................................6 【类型11】拓展延伸.........................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】定义型 【例1】（24-25九年级上·湖北宜昌·阶段练习）若是二次函数，求这个函数解析式． 【变式】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知y关于x的二次函数解析式为，则（    ） A． B．1 C． D． 【题型2】开放型 【例2】（2023·江苏南通·一模）如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y轴上．此二次函数的解析式可以是 ． 【变式2】（22-23九年级上·天津·期末）已知抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线，请写出一个满足条件的抛物线的解析式 . 【题型3】平移型 【例3】（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点，与过点平行于轴的直线相交于点点在第一象限抛物线的顶点在直线上，对称轴与轴相交于点平移抛物线，使其经过点，，则平移后的抛物线的解析式为 ． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，若，则平移后抛物线的解析式为 ． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是 ． 【题型4】一般式 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)确定二次函数的对称轴和顶点坐标． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为 ． x 0 1 3 4 y 7 n 2 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于、两点，二次函数图象经过，，三点且． (1)求二次函数的解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点？使得的长度最短．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型5】顶点式 【例5】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式． 【变式2】（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知抛物线的顶点为，且在抛物线上，求抛物线的解析式． 【题型6】两根式 【例6】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与轴交于点，与轴交点是，求这个二次函数的解析式． 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数图象经过点． （1）求该二次函数的表达式． （2）求该抛物线顶点坐标． 【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）求下列二次函数的表达式： （1）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点； （2）已知二次函数的图象经过点，，． 【题型7】折叠（对称）型 【例7】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，正方形放置在平面直角坐标系上，抛物线经过B，C，点D在边上，连结，将沿着折叠，使点A落在此抛物线的顶点E处，若，则a的值是 ． 【变式2】（2019·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 【题型8】旋转型 【例8】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线绕原点旋转，则得到的抛物线的函数表达式为 ． 【变式1】（2021·湖南株洲·模拟预测）如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C．28 D．32 【变式2】（2022九年级下·全国·专题练习）在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． （1）点C的坐标为 ； （2）若抛物线经过点C，则抛物线的解析式为 ． 【题型9】数形结合型 【例9】（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线向右平移（）个单位得到另一抛物线，两抛物线相交于点，记的顶点为，作点关于轴的对称点．若四边形是正方形，则经过、、三点的抛物线的解析式是 ． 【变式1】已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为 ． 【变式2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边的中点，连接，点E在第一象限，且，.以直线为对称轴的抛物线过C，E两点，则这条抛物线的解析式为 ．          第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．    【例2】（2020·山东威海·中考真题）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为 ． …… …… …… …… 【题型11】拓展延伸 【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为 ． 【例2】（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角边紧靠轴上．将一条不可伸缩的（与等长）绳子的一端固定于点处，另一端固定在轴正半轴上的点处，铅笔笔尖紧靠着三角板边把绳子绷紧，当三角板沿着轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知，，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了，则新抛物线的表达式为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 确定二次函数的表达式（11种类型）（题型梳理与方法分类讲解） 第一部分【题型目录】 【类型1】定义型............................................................1 【类型2】开放型............................................................2 【类型3】平移型............................................................3 【类型4】一般式............................................................6 【类型5】顶点式............................................................9 【类型6】两根式...........................................................10 【类型7】折叠（对称）型...................................................12 【类型8】旋转型...........................................................14 【类型9】数形结合型.......................................................17 【类型10】直通中考........................................................21 【类型11】拓展延伸........................................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】定义型 【例1】（24-25九年级上·湖北宜昌·阶段练习）若是二次函数，求这个函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中，，是常数，的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义得：且，由此即可求出的值即可得答案． 解：根据二次函数的定义得：且， 由解得：，由解得：， ． 这个函数解析式是． 【变式】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知y关于x的二次函数解析式为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义得，进行计算即可得． 解：∵y关于x的二次函数解析式为， ∴ 解得，， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，正确计算． 【题型2】开放型 【例2】（2023·江苏南通·一模）如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质判断即可； 解：①图象经过点；②图象经过第四象限；可排除B； ③当时，y随x的增大而减小，可直接排除A； 对于，其对称轴为：， ∴在，y随x的增大而增大，故排除C； 对于，其对称轴为：， ∴当时，y随x的增大而减小，故D都符合； 故选：D． 【点拨】本题主要考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解本题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下，②顶点在y轴上．此二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出，是解题的关键．根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象顶点在y轴上的特征可得出，取取，，为任何数即可得出结论． 解：设二次函数的解析式为． ∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线顶点在y轴上， ∴，为任何数， 则取，，时，二次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（22-23九年级上·天津·期末）已知抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线，请写出一个满足条件的抛物线的解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知对称轴，设顶点坐标为，又开口向上，设，根据顶点式写出二次函数解析式，随着设的数不同，解析式也不同，本题答案不唯一． 解：根据题意设顶点坐标为，二次项系数， 由顶点式，得． 故答案为：（答案不唯一）． 【点拨】本题考查了根据题意确定二次函数解析式的方法，需要熟练掌握． 【题型3】平移型 【例3】（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点，与过点平行于轴的直线相交于点点在第一象限抛物线的顶点在直线上，对称轴与轴相交于点平移抛物线，使其经过点，，则平移后的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据二次函数图像的对称性确定出顶点的纵坐标是解题的关键，解题的关键是根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数； 先求出点的坐标，再根据中位线定理可得顶点的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出的值，再求出点的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为，把点、的坐标代入进行计算即可得解． 解：令，则， 点，， 抛物线的对称轴为，直线的解析式为， 抛物线的顶点在直线上， ， 顶点的纵坐标为， 即， 解得，， 由图可知，， ， ， 对称轴为直线， 点的坐标为， 设平移后的抛物线的解析式为， 则， 解得：， 所以． 故答案为：． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，若，则平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了抛物线的性质，等边三角形的性质，三角函数值求特殊角度，设平移后的抛物线解析式为，由推出，得到是等边三角形，进而得到，将其代入即可求出抛物线的解析式． 解：设平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，设抛物线与x轴正半轴交点为B， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 将代入，得， 解得（舍）或， ∴抛物线的解析式为， 故答案为． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线图象的性质，平移的性质，设沿轴向左平移个单位，列出平移后的抛物线解析式，再根据经过点，将其代入即可得出的值，再将代入即可得出答案． 解：设沿轴向左平移个单位后，抛物线经过点， ∵， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴， 解得：或， ∴平移后的抛物线解析式为或， 故答案为：或． 【题型4】一般式 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)确定二次函数的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；二次函数的性质； （1）设该二次函数的表达式为 ，将A、B、C的坐标代入，待定系数法求二次函数的解析式； （2）配方法化为顶点式，即可求解． 解：（1）设该二次函数的表达式为 ， 把代入， 得，解得， ∴二次函数的表达式为； （2） ， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为 ． x 0 1 3 4 y 7 n 2 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解． 解：把点代入中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，． 故答案为：． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于、两点，二次函数图象经过，，三点且． (1)求二次函数的解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点？使得的长度最短．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)在抛物线的对称轴上存在点使得的长度最短，点的坐标为． 【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，然后利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）、关于抛物线的对称轴对称，所以抛物线的对称轴与直线的交点就是点，利用对称轴的解析式和一次函数的解析式即可求出点的坐标． 解：（1）当时，， 点的坐标为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）在抛物线的对称轴上存在点使得的长度最短．点的坐标为， 理由：如下图所示， 把二次函数的解析式化为顶点坐标式， 可得：， 抛物线y＝的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴与直线交于点， 直线为线段的垂直平分线， ， ， 此时点使得的长度最短． 令，则， 在抛物线的对称轴上存在点使得的长度最短，点的坐标为． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法求函数的解析式，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【题型5】顶点式 【例5】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求． 由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把二次函数解析式设为顶点式，再把代入解析式中求解即可． 解：设该抛物线的解析式为， 把代入中得：，解得， ∴该抛物线的解析式为． 【变式2】（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知抛物线的顶点为，且在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查利用待定系数法求二次函数的解析式，题目中给的是顶点坐标，直接设成顶点式，然后带入坐标即可求解解析式． 解：由题可知，设函数解析式为，； 把点带入中得，； 即，； ∴； ∴抛物线解析式为：． 【题型6】两根式 【例6】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与轴交于点，与轴交点是，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，将点代入，即可求解． 解：依题意，设二次函数解析式为，将点代入，得 ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数图象经过点． （1）求该二次函数的表达式． （2）求该抛物线顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设二次函数表达式为，再将代入求即可得到答案； （2）由（1）中求得表达式，化为顶点式即可得到答案． （1）解：二次函数图象经过点， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， 该抛物线顶点坐标为． 【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）求下列二次函数的表达式： （1）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点； （2）已知二次函数的图象经过点，，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式： （1）设所求函数表达式，把代入，即可求解； （2）设所求函数表达式为，把代入，即可求解． （1）解：设所求函数表达式． 根据题意，当时，． ∴．解得． ∴所求表达式为． （2）解：设所求函数表达式为． 根据题意，当时，． ∴． 解得． ∴所求表达式为． 【题型7】折叠（对称）型 【例7】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的几何变换、对称的性质的知识．根据旋转的性质，折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，设折叠后得到的函数解析式为，将代入得，即可得到答案． 解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴折叠后的函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点， ∴设折叠后得到的函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴折叠后得到的函数解析式为， 故选：B． 【变式1】（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，正方形放置在平面直角坐标系上，抛物线经过B，C，点D在边上，连结，将沿着折叠，使点A落在此抛物线的顶点E处，若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据二次函数的性质、正方形的性质结合折叠的性质可得出、，利用勾股定理可求出点的坐标，再根据点、、的坐标，利用待定系数法即可求出值． 解：过点作轴于点，如图所示． 抛物线经过、，点为抛物线的顶点， ． 四边形为正方形，， ，，． 由翻折可知，． 在中，，， ， 点的坐标为． 将、、代入， ， 解得：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质、正方形的性质、翻折变换、勾股定理以及待定系数法求二次函数解析式，利用勾股定理求出顶点的坐标是解题的关键． 【变式2】（2019·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 【答案】A 【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答． 解：抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3， 即y＝﹣x2+2x+3， 故选A． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点． 【题型8】旋转型 【例8】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线绕原点旋转，则得到的抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据绕原点O旋转得到图形关于原点对称横纵坐标互为相反数，代入求解即可得到答案； 本题考查图形的旋转及函数图像上点的问题，解题的关键是根据旋转得到中心对称将点代入． 解：∵抛物线绕原点O旋转， ∴在旋转后的图形上， ∴， 化简得：， 故答案为：． 【变式1】（2021·湖南株洲·模拟预测）如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C．28 D．32 【答案】D 【分析】根据旋转可知，AB=BC=CD=4，得出点B的坐标，把点A、B的坐标代入函数关系式，得出二次函数关系式，从而求出二次函数的顶点坐标，即可求阴影部分的面积． 解：∵根据旋转可知，AB=BC=CD=4，点A的坐标为（-3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）， 把点A、B的坐标代入得： ， 解得：， ∴函数关系式为： ， ∴顶点坐标为（-1，4）， ∵根据旋转可知，与x轴围成的图形面积等于与x轴围成的图形面积， ∴图中阴影部分的面积为：，故D正确． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质和二次函数的性质，熟练掌握图形的变换是解题的关键． 【变式2】（2022九年级下·全国·专题练习）在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． （1）点C的坐标为 ； （2）若抛物线经过点C，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 （3，-1） 【分析】（1）过点C作轴，垂足为D，，根据全等三角形的性质即可求解； （2）将点代入解析式，求解即可． 解：（1）过点C作轴，垂足为D， 如下图： 由题意可得：，则， 又∵ ∴， 又∵，且由已知有， ∴，∴ ∴ 点C的坐标为； 故答案为. （2）∵ 抛物线，经过点， ∴ ，解得， ∴ 抛物线的解析式为 故答案为. 【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求解二次函数解析式，解题的关键是构造全等三角形求得点的坐标． 【题型9】数形结合型 【例9】（2023·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线向右平移（）个单位得到另一抛物线，两抛物线相交于点，记的顶点为，作点关于轴的对称点．若四边形是正方形，则经过、、三点的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数相似，二次函数的平移，正方形的性质；根据题意得出，代入，进而可得，，求得待定系数法求解析式，即可求解． 解：如图所示，过点作轴于点， 依题意，， ∵四边形是正方形， ∴，则 ∵在上， ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∵点关于轴的对称点为． ∴， 设经过、、三点的抛物线的解析式为，将代入， 解得： ∴抛物线解析式为， 故答案为：． 【变式1】已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为 ． 【答案】y= 【分析】由正方形的边长为2，求得对角线AC=2，则C点坐标为（，），设此抛物线的解析式为y=ax2，代入点C求得答案即可． 解：∵正方形的边长为2， ∴对角线AC=2， ∴C点坐标为（，）， 设此抛物线的解析式为y=ax2， 则=2a， a=， 抛物线的解析式为y=x2． 故答案为y=x2． 【点拨】此题考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，求得点C或A坐标是解决问题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边的中点，连接，点E在第一象限，且，.以直线为对称轴的抛物线过C，E两点，则这条抛物线的解析式为 ．          【答案】 【分析】设抛物线的解析式为，先求出，过点E作轴于点F，证明，得到，求出，利用待定系数法求出二次函数解析式即可． 解：∵为抛物线的对称轴， ∴设抛物线的解析式为， ∵正方形边长为2 ∴， ∵经过和E两点， 过点E作轴于点F，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴和两点代入， 得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式、正方形的性质、二次函数的图象和性质等知识点，数形结合是解题的关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【例2】（2020·山东威海·中考真题）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为 ． …… …… …… …… 【答案】 【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案． 解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点代入函数关系式，得： 解得：， ∴函数的表达式为：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法． 【题型11】拓展延伸 【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式等知识；设直线交y轴于点M，过F作轴于N；由可求得与x轴的两个交点坐标，由为等腰直角三角形，则可得点M的坐标，从而求出直线解析式，联立直线解析式与解析式可求得点F的坐标，则可求得点E的坐标，由二次函数图像的平移则可求得的解析式． 解：如图，设直线交y轴于点M，过F作轴于N； 令，解得：， 即， ∴； ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为，把A、M的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； 联立直线解析式与解析式得， 解得：（舍去）， 当时，， ∴点F的坐标为， ∴，， ∴点E的坐标为； ∵抛物线由抛物线向右平移后得到，抛物线顶点的纵坐标不变， ∴， 把点E坐标代入得：， 解得：，， 即或； 当时，，， 即点F不在图像上，不符合题意， ∴， 即． 故答案为：． 【例2】（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角边紧靠轴上．将一条不可伸缩的（与等长）绳子的一端固定于点处，另一端固定在轴正半轴上的点处，铅笔笔尖紧靠着三角板边把绳子绷紧，当三角板沿着轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知，，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了，则新抛物线的表达式为 ．    【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，先找到抛物线的顶点，然后求得点能到达的最左边的位置点，进而待定系数法求解析式，根据题意新抛物线的开口最大宽度增加了，结合图形，即可求解． 解：当与轴重合时， ∵，， ∴， 设抛物线解析式为 当重合时，则，如图所示，过点作轴于点    又∵的纵坐标为，则， ∴ ∴ 代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 如图所示，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了， 设 ∴，， ∴ 解得：， ∴新的抛物线的顶点坐标为 设新抛物线解析式为， 将点代入， 解得： ∴新的抛物线解析式为 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$