第三十一章 圆 同步练习 2024—2025学年 人教版（五四学制）数学九年级上册

第三十一章 圆 同步练习 人教版（五四学制）数学九年级上学期 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定（　　） A．与x轴相切、与y轴相离 B．与x轴、y轴都相离 C．与x轴相离、与y轴相切 D．与x轴、y轴都相切 2．圆的一条弦把圆分成度数的比为的两条弧，则弦所对的圆周角等于（ ） A． B．或 C． D．或 3．如图，是的直径，，则（　　） A． B． C． D． 4．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为0°，50°．则∠ACB的度数是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 5．如图，正方形ABCD的边长为1，点P在AD上，以P为圆心的扇形与边BC相切于点T，与正方形两边交于点E，F，若∠EPF＝60°，则弧EF的长度为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6π B． π C． π D．2π 7．如图，已知∠O=30°，点B是OM边上的一个点光源，在边ON上放一平面镜．光线BC经过平面镜反射后，反射光线与边OM的交点记为E，则△OCE是等腰三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 8．从下列4个命题中任取一个：①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弧长为．是假命题的概率是（　　） A．1 B． C． D． 9．在 Rt△ABC ，∠C=90°，AB=6．△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 10．如图，若弧AB半径PA为18，圆心角为120°，半径为2的⊙，从弧AB的一个端点A（切点）开始先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙自转的周数是（） A．5周 B．6周　　　　 C．7周　　　 D．8周 二、填空题 11．如图，在 中， ，过点A，C的圆的圆心在边 上，点M是优弧 （不与点A，C重合）上的一点，则 　 　 ． 12．如图.，在扇形OAB中，，，则阴影部分的面积是　 　 13．如图PA、PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，若∠ACB=60°，则∠P的度数为　 　. 14．如题图所示，在中存在一面积为的内切圆，其圆心为点，连接，若满足，，，则实数的值为　 　． 15．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　 　 ． 三、解答题 16．如图，在⊙O中，直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30 cm.求直径AB的长． 17．如图，与半径长为6的相切于点A，点C在上且，求图中阴影部分的面积． 18．如图，已知是的直径，是的弦，连接． （1）如图1，连接．若，求和的大小； （2）如图2，过点C作的切线，交的延长线于点E，若，求的大小． 19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE． （1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径． 20．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． （2）在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵点（2，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是2， ∴在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定与x轴相切，与y轴相离， 故答案为：A． 【分析】先求出点（2，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，再根据直线与圆的位置关系的内容得出即可． 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意知弧AB的度数为50°，故∠ACB=25° 故答案为：A. 【分析】直接由同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得结果. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：连接， 以为圆心的扇形与边相切于点， ， 四边形是边长为1的正方形， ， ， 代入弧长公式得：， 故答案为：A． 【分析】连接，由切线的性质得，四边形是边长为1的正方形，所以，而，根据弧长公式求得，即可得解． 6．【答案】A 【解析】【解答】 解：连接OB， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB=OC， ∴AB=OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC∥AB， ∴S△AOB=S△ABC， ∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB= 故答案为：A． 【分析】先根据平行四边形的性质证出AB=OA=OB，从而得∠AOB=60°；然后根据平行线之间的距离相等和三角形的面积公式证得S△AOB=S△ABC，则图中阴影部分的面积=S扇形AOB。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：分两种情况：①作OC的垂直平分线交OM于E，连接CE，∴OE=EC， ∴∠ECO=∠O=30°．∵CD⊥ON，∴∠ECD=60°，∴∠BCD=60°，∴光线BC以60°入射角经过平面镜反射后，经过点E，此时△OCE是等腰三角形． ②以O为圆心，OC为半径画圆，交OM于E′，此时△COE′是等腰三角形． ∵OC=OE′，∴∠OCE′=∠OE′C=75°，∴∠E′CD=∠BCD=90°－ 75°=15°，即光线BC以15°入射角经过平面镜反射后，经过点E′，此时△OCE′是等腰三角形． 综上所述：共有两种情况．故答案为：B． 【分析】根据已知条件△OCE是等腰三角形可作OC的垂直平分线交OM于E，连接CE，由线段的垂直平分线的性质易求解；或 以O为圆心，OC为半径画圆，交OM于E′，根据入射角与反射角相等可求解。 8．【答案】B 9．【答案】B 【解析】【解答】解：连结OA、OB、OC、OD、OE、OF（如图）， ∵⊙O是 △ABC的内切圆 ，切点分别为D、E、F， ∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，BE=BF，AD=AE， ∴∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°， ∵OD=DC， ∴四边形ODCF为正方形， ∴OD=DC=CF=OF=1， ∵BE=BF，AD=AE，AE+BE=AB=6， ∴AD+BF=6， ∴C △ABC =AD+DC+CF+FB+BE+AE=6+1+1+6=14. 故答案为：B. 【分析】根据切线长定理得BE=BF，AD=AE，即AE+BE=AD+BF=6，由切线性质得∠ODC=∠ACB=∠OFC=90°，根据正方形的判定得四边形ODCF为正方形，从而得DC=CF=1，根据三角形周长计算即可. 10．【答案】C 【解析】【分析】先求出弧AB的长，再求出⊙O的周长，继而可得出⊙O自转的周数． 【解答】弧AB的长==12π， ⊙O的周长=2πr=2π×2=4π， 则⊙O滚动的长度为2×12π=24π， 滚动过程中自转周数=24π÷4π=6， 又⊙O在点B处由外侧转到内侧自转180°，在点A处由内侧转到外侧自转180°，正好等于1周， 6+1=7， 所以最后转回到初始位置，⊙O自转7周． 故选C． 【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题注意理解题意，内侧转到外侧、外侧转到内侧不要忘记算，难度一般 11．【答案】60 【解析】【解答】解：如图，过点A，C的圆的圆心为O，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝30°， ∴∠AOC＝180°−∠OAC−∠OCA＝120°， ∴∠AMC＝ ∠AOC＝60°． 故答案为：60． 【分析】过点A，C的圆的圆心为O，连接OC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOC的度数，在根据圆周角定理得出∠AMC的度数。 12．【答案】 13．【答案】60° 【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图， ∵∠AOC=60°， ∴∠AOB=2∠ACB=120°， ∵PA、PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠PAO=∠PBA=90°， ∴∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°； 故答案为：60°. 【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB=120°，由切线的性质可∠PAO=∠PBA =90°，根据四边形内角和可得∠P=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB，据此即可求解. 14．【答案】4 【解析】【解答】解：连接，过点分别向作垂线，垂足分别为，如图所示： 由三角形内切圆性质，根据切线长定理可知，，， 该内切圆的面积为， 由圆面积公式可知该内切圆的半径为1，即， ，，在中，， ，则， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，解得或（舍去）， ， 故答案为：4． 【分析】先求出，再求出，最后求解即可。 15．【答案】5π 【解析】【解答】由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长， 然后沿着弧O1O2旋转圆的周长， 则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+×2π×5=5π， 故答案为：5π． 【分析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧，根据弧长公式求出弧长即可． 16．【答案】AB＝30 cm. 17．【答案】 18．【答案】（1）； （2） 19．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知）， ∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径）， ∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角）， 又AD是△ABC的角平分线（已知）， ∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义）， ∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等）， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）； ∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12， ∴根据勾股定理得：AB==13， ∴BE=13﹣AC=13﹣5=8； （2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°， 设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8， 在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2， 即（12﹣x）2=x2+82， 解得：x=， ∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形， ∴根据勾股定理得：AD==， 根据AD是△ACD外接圆直径， ∴△ACD外接圆的半径为：×=． 【解析】【分析】（1）由圆O的圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得得出AC=AE，进而得出BE的长； （2）由第一问的结论AE=AC，用AB﹣AE可求出EB的长，再由（1）∠AED=90°，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，用CB﹣CD表示出BD=12﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出外接圆半径． 20．【答案】（1）菱形、正方形； （2）①的最小值是4；②；③或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$